A无穷级数常数项级数的审敛法课件

第十一章无穷级数第一节常数项级数的概念与性质实例概念性质必要条件小结、作业1/26第十一章无穷级数第一节常数项级数的概念与性质1例无穷级数概念的引入

问题：如何理解无穷多个数相加(这是“不可完成”的！)得出一个数？历史争论：Zeno’sParadox(芝诺悖论)例无穷级数概念的引入问题：如何理解无穷多个数相加(这是“2Zeno：这是一个没有终结的过程，因此永远跑不到原点。实际经验告诉我们：若等速行进，跑一半路程化时间T，则跑完全程应化时间2T，即有如何理解此等式?？Zeno：这是一个没有终结的过程，因此永远跑不到实际经3解决此悖论，要引进极限方法：先算前n项之和：让，上述和．(与实际经验相符！)可见，要把无限多项之“和”＝2T理解为前n项之和，当时的极限。解决此悖论，要引进极限方法：让4但是，如果以如下方式减速前进：此时需化为若先考虑，则有？实际经验不能给我们任何启示！在这种情况下，Zeno是有道理的：

永远不能到达终点。但是，如果以如下方式减速前进：此时需化为若先考虑5几点结论：1．无穷级数是以加法形式出现的极限问题；2．正由于本质是极限，故出现“极限是否存在”的问题，即无穷多项“相加”可能是“没有和”的；3．正由于本质是极限，故加法的性质(如交换律、结合律等)不可以无条件平移过来；

几点结论：6一、实例1.计算圆的面积A---割圆术正六边形的面积正十二边形的面积正边形的面积2/26一、实例1.计算圆的面积A---割圆术正六边形的面积正十二73/263/268二、概念1.级数的定义:——(常数项)无穷级数，一般项部分和2.级数的收敛与发散:余项4/26二、概念1.级数的定义:——(常数项)无穷级数，一般项部分9解收敛;发散;发散.发散.综上,5/26解收敛;发散;发散.发散.综上,5/2610解为等比级数，解6/26解为等比级数，解6/2611三、性质即:收敛的级数可以逐项相加与逐项相减.9/26思考:收敛级数与发散级数的和的收敛性如何?三、性质即:收敛的级数可以逐项相加与逐项相减.9/26思考12解10/26解10/261311/26注意收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛.发散.收敛;11/26注意收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛.发散.收14四、收敛的必要条件*证级数收敛的必要条件:注意1.一般项不趋于零级数发散;

发散2.条件不充分：一般项趋于零级数收敛.13/26四、收敛的必要条件*证级数收敛的必要条件:注意1.一般项不15例514/26例514/26168项4项2项2项

项由性质4推论,调和级数发散.或由15/268项4项2项2项项由性质4推论,调和级数发17例6判别收敛性：解解解16/26例6判别收敛性：解解解16/2618解17/26解17/2619五、小结一、常数项级数的概念:二、基本审敛法：18/26五、小结一、常数项级数的概念:二、基本审敛法：18/2620*无穷级数收敛性举例：Koch雪花.做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．19/26*无穷级数收敛性举例：Koch雪花.做法：先给定一个正三角形21观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推20/26观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推20/2622观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推21/26观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推21/2623观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推22/26观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推22/2624观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推23/26观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推23/2625观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推24/26观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推24/2626观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推25/26观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推25/2627周长为面积为于是结论：雪花的周长是无限的，而面积有限．第n次分叉：26/26周长为面积为于是结论：雪花的周长是无限的，而面积有限．第n次28第十一章无穷级数第一节常数项级数的概念与性质实例概念性质必要条件小结、作业1/26第十一章无穷级数第一节常数项级数的概念与性质29例无穷级数概念的引入

问题：如何理解无穷多个数相加(这是“不可完成”的！)得出一个数？历史争论：Zeno’sParadox(芝诺悖论)例无穷级数概念的引入问题：如何理解无穷多个数相加(这是“30Zeno：这是一个没有终结的过程，因此永远跑不到原点。实际经验告诉我们：若等速行进，跑一半路程化时间T，则跑完全程应化时间2T，即有如何理解此等式?？Zeno：这是一个没有终结的过程，因此永远跑不到实际经31解决此悖论，要引进极限方法：先算前n项之和：让，上述和．(与实际经验相符！)可见，要把无限多项之“和”＝2T理解为前n项之和，当时的极限。解决此悖论，要引进极限方法：让32但是，如果以如下方式减速前进：此时需化为若先考虑，则有？实际经验不能给我们任何启示！在这种情况下，Zeno是有道理的：

永远不能到达终点。但是，如果以如下方式减速前进：此时需化为若先考虑33几点结论：1．无穷级数是以加法形式出现的极限问题；2．正由于本质是极限，故出现“极限是否存在”的问题，即无穷多项“相加”可能是“没有和”的；3．正由于本质是极限，故加法的性质(如交换律、结合律等)不可以无条件平移过来；

几点结论：34一、实例1.计算圆的面积A---割圆术正六边形的面积正十二边形的面积正边形的面积2/26一、实例1.计算圆的面积A---割圆术正六边形的面积正十二353/263/2636二、概念1.级数的定义:——(常数项)无穷级数，一般项部分和2.级数的收敛与发散:余项4/26二、概念1.级数的定义:——(常数项)无穷级数，一般项部分37解收敛;发散;发散.发散.综上,5/26解收敛;发散;发散.发散.综上,5/2638解为等比级数，解6/26解为等比级数，解6/2639三、性质即:收敛的级数可以逐项相加与逐项相减.9/26思考:收敛级数与发散级数的和的收敛性如何?三、性质即:收敛的级数可以逐项相加与逐项相减.9/26思考40解10/26解10/264111/26注意收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛.发散.收敛;11/26注意收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛.发散.收42四、收敛的必要条件*证级数收敛的必要条件:注意1.一般项不趋于零级数发散;

发散2.条件不充分：一般项趋于零级数收敛.13/26四、收敛的必要条件*证级数收敛的必要条件:注意1.一般项不43例514/26例514/26448项4项2项2项

项由性质4推论,调和级数发散.或由15/268项4项2项2项项由性质4推论,调和级数发45例6判别收敛性：解解解16/26例6判别收敛性：解解解16/2646解17/26解17/2647五、小结一、常数项级数的概念:二、基本审敛法：18/26五、小结一、常数项级数的概念:二、基本审敛法：18/2648*无穷级数收敛性举例：Koch雪花.做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．19/26*无穷级数收敛性举例：Koch雪花.做法：先给定一个正三角形49观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推20/26观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推20/2650观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推21/26观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推21/2651观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推22/26观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推22/2652观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推23/2