数学知识一次函数知识的现实应用举例

一次函数知识的应用我们学过一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，还学过一次函数的性质．直线是最简单、最常有的几何图形，也是线段、射线的看法的基础，而两点确定一条直线、两点之间线段最短，于是，与直线或线段有关的最大或最小值问题，最多或最少等问题，必然反响到现实生活、生产实践或商品经济大潮中，摘选几例，予以说明．[例1]以下列图，两村的坐标地址各为A(－3，3)、B(5，1)．x轴表示一条运河，两村拟在河旁合建一座扬水站C，使C到两村所用的管道最省，试确定点C的地址(坐标单位：千米)．点B关于x轴的对称点)．解：作点B(5，1)关于x的对称点B′(5，－1)．由两点A、B′之间线段最短，连结AB′交x轴于点C，且CB′＝CB．设直线AB′为y＝kx＋b，则点A、B′在这条直线上，于是即扬水站建在图中的点C(3，0)处，可使C到两村所铺设的管道最省．[例2]已知A市和B市各存机床12台和6台，现运往C市10台、D市8台．若从A市运一台到C市、D市各需4万元和8万元，若从B市运一台到C市、D市各需3万元和5万元．(1)设B市运往C市x台，求总花销y关于x的函数关系式．(2)若总花销不高出95万元，问共有几种调运方法？(3)求总花销最低的调运方法，最低花销是多少万元？解：(1)由题意，得B市运往D市(6－x)台，A市运往C市(10－x)台，A市运往D市[12(10－x)]台，于是y＝3x＋(6－x)×5＋(10－x)×4＋(2＋x)×8，即y＝2x+86(0≤x≤．6)(2)依照题意，得2x＋86≤95．解得x≤4．5，由实质意义，应取x≤4．结合原函数的x取值范围，得0≤x≤4．所以x可取0，1，2，3，4这五个数，即总花销不高出95万元的调运方法共有五种．(3)由一次函数y＝2x＋86的性质知，y随x的增大而增大，而0≤x≤4，所以x＝0时，y取最小值86．即最低花销是86万元，调运方法是B市运往D市6台，A市运往C市10台、运往D市2台．说明：本题用到了某个范围内的一次函数的最值的性质：当m≤x≤n(m＜n)、k＞0时，若x＝m，则y＝kx＋b获取最小值km＋b；若x＝n，则y＝kx＋b取最大值kn＋b．当m≤x≤n(m＜n)、k＜0时，若x＝m，则y＝kx＋b获取最大值km＋b；若x＝n，则y＝kx+b取最小值kn＋b．下面给出练习思虑题：(1)在边防沙漠区，巡逻车每天行驶200千米，每辆巡逻车装载供行驶14天的汽油．现有5辆巡逻车同时由驻地A出发，完成任务再返回A．为让其余3辆尽可能向更远距离巡逻(尔后一起返回)，甲、乙两车行至途中B后，仅留足自己返回A必定的汽油，将节余的油给另3辆用，问另3辆行驶的最远距离是多少千米．(2)30名劳力承包75亩地，这些地可种蔬菜、玉米和杂豆．每亩蔬菜需0.5个劳力，预计亩产值2000元；每亩玉米需0.25个劳力，预计亩产值800元；每亩杂豆需0.125个劳力，预计亩产值550元．怎样安排种植计划，才能使总产值最大？最大产值是多少元？提示与略解：(1)设巡逻车行至B处用x天，从B到最远处用y天，则2[3(x＋y)＋2x]＝14×5，即又x＞0，y＞0，14×5－(5＋2)x≤14×3，所以x＝4时，y取最大值5．另三辆车行驶最远距离：(4＋5)×200＝18