G单元 立体几何

G单元立体几何目录G单元立体几何 1G1空间几何体的结构 2G2空间几何体的三视图和直观图 2G3平面的基本性质、空间两条直线 2G4空间中的平行关系 2G5空间中的垂直关系 2G6三垂线定理 2G7棱柱与棱锥 2G8多面体与球 2G9空间向量及运算 2G10空间向量解决线面位置关系 2G11空间角与距离的求法 2G12单元综合 2G1空间几何体的结构【数学文卷·2015届贵州省贵阳市普通高中高三8月摸底考试（201408）】18．（本小题满分12分）在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，底面ABCD,F为BE的中点.（1）求证：平面ACF；（2）若CE=1，AB=,求三棱锥E-ACF的体积.【知识点】空间中的位置关系；体积求法.G1G4G5【答案解析】（1）略；（2）解析：（1）证明如下：连接OF.由四边形ABCD是正方形可知，点O为BD中点.又F为BE中点，所以.又平面ACF,平面ACF,所以平面ACF.6分（2）因为在中，的中点，CE=1，BC=所以又因为底面ABCD是正方形，底面ABCD所以所以AB平面BCE所以三棱锥E-ACF的体积12分【思路点拨】（1）根据线面平行的判定定理，需要在平面ACF中找到直线与直线DE平行，为此连接OF即可；（2）等体积转化.【数学文卷·2015届贵州省贵阳市普通高中高三8月摸底考试（201408）】16．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球的表面积之比为.【知识点】空间几何体的三视图；几何体的表面积.G1G2【答案解析】解析：该几何体是边长为1的正八面体，其表面积为，其外接球的半径为，故外接球表面积为，所以所求比值为.【思路点拨】由三视图得该几何体是边长为1的正八面体，从而求得其表面积及其外接球的表面积，进一步求出所求比值.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【数学文卷·2015届广东省深圳市高三上学期第一次五校联考（201409）】18．（本小题满分13分）如图甲，在平面四边形ABCD中，已知，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．（1）求证：DC平面ABC；（2）设，求三棱锥A－BFE的体积．【知识点】空间位置关系的判定与性质；几何体体积的计算.G1G4G5【答案解析】(1)略；（2）解析：（1）证明：在图甲中，∵且∴,即………………1分又在图乙中，∵平面ABD平面BDC，且平面ABD平面BDC＝BD∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．…………3分∵，∴DC⊥BC…………4分又由…………5分∴DC平面ABC．…………6分（2）∵点E、F分别为AC、AD的中点∴EF//CD………………7分又由（1）知，DC平面ABC∴EF⊥平面ABC…………8分于是EF即为三棱锥的高，∴……………9分在图甲中，∵,∴,由得,……………11分∴∴………12分∴………………13分（若有其他解法，可视情况酌情给分）【思路点拨】（1）根据线面垂直的判定定理，只需在平面ABC中找到两条相交直线都与直线DC垂直即可，显然平面ABC中的两条相交直线是BC和BA；（2）∵点E、F分别为AC、AD的中点，∴EF//CD，又由（1）知，DC平面ABC，∴EF⊥平ABC，=.G2空间几何体的三视图和直观图【数学（理）卷·2015届黑龙江省大庆市高三第一次教学质量检测（201409）word版】（7）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（A）（B）（C）（D）【知识点】三视图G2【答案解析】B解析：由三视图可知该几何体左边为半个圆锥，右边为底面是正方形的四棱锥，所以其体积为，则选B.【思路点拨】由三视图求几何体的体积的关键是正确分析原几何体的特征.【数学（文）卷·2015届黑龙江省大庆市高三第一次教学质量检测（201409）word版】4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.6B.C.3D.【知识点】三视图G2【答案解析】D解析：由三视图可知该几何体为一个倒放的正三棱柱，所以其体积为，则选D.【思路点拨】由三视图求几何体的体积，关键是由三视图正确分析几何体的特征.【数学理卷·2015届贵州省贵阳市普通高中高三8月摸底考试（201408）】15、某几何体的三视图如右图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的体积为【知识点】三视图.G2【答案解析】解析：解：由三视图知：几何体是一半圆柱与长方体的组合体，长方体的长、宽、高分别为5、4、4；半圆柱的高为5，底面半径为2，∴几何体的底面积为：底面周长为：4×3+π×2=12+2π，∴几何体的表面积S=2×（16+2π）+5×（12+2π）=92+14π．几何体的体积V=5×（16+2π）=80+10π．【思路点拨】根据题意求出几何体的数值，由于是组合体所以要分开计算.【数学理卷·2015届湖南省长沙市长郡中学高三上学期第一次月考（201409）】7.已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示,则该几何体的体积为() A. B.C. D.【知识点】由三视图求面积、体积．G22B2AC2B2ACDP11三视图可以借用长方体将其还原为直观图如右所示,(由简到繁)，由俯视图侧视图正视图直观图,其为四棱锥,所以,选B.【思路点拨】几何体是四棱锥，结合其直观图，利用四棱锥的一个侧面与底面垂直，作四棱锥的高线，求出棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算．【数学理卷·2015届湖南省师大附中高三第一次月考（201409）】8．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为()A.eq\f(\r(3),4)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(3)D．2eq\r(3)【知识点】三视图.G2【答案解析】D解析：如图所示，四面体为棱长为2的正四面体，.【思路点拨】根据题意转化为正方体内的正四面体，可知其棱长再求面积即可.【数学理卷·2015届浙江省绍兴一中高三上学期回头考试（201409）】3．已知某四棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该四棱锥的体积是（） A． B． C． D．【知识点】三视图，棱锥体积G2G7【答案解析】A解析：由三视图可知该四棱锥的底面是长和宽分别为4,2的矩形，高为,所以其体积为，所以选A.【思路点拨】由三视图求几何体的体积，应先由三视图分析原几何体的特征（注意物体的位置的放置与三视图的关系），再利用三视图与原几何体的数据对应关系进行解答.【数学理卷·2015届浙江省嘉兴市高三上学期学科基础测试（201409）】14．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是.【知识点】空间几何体的三视图.G2【答案解析】32解析：由三视图可知：此几何体是四棱锥，其底面是邻边长分别为6,4的矩形，且棱锥高为4，所以该几何体的体积是.【思路点拨】先由三视图获得此几何体的结构，底面特点，棱的特点，然后求此几何体的体积.【数学理卷·2015届广西桂林中学高三8月月考（201408）】18．（本小题满分为12分）已知四棱锥P—ABCD及其三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点。（Ⅰ）求四棱锥P—ABCD的体积；（Ⅱ）不论点E在何位置，是否都有BDAE？试证明你的结论；(Ⅲ)若点E为PC的中点，求二面角D—AE—B的大小。【知识点】三视图；线面垂直的性质定理；二面角.G2G5【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析(Ⅲ)120°解析：（Ⅰ）由三视图知PC⊥面ABCD，ABCD为正方形，且PC=2，AB=BC=1，4分（Ⅱ）∵PC⊥面ABCD，BD⊂面ABCD∴PC⊥BD,而BD⊥AC，AC∩AE=A，∴BD⊥面ACE，而AE⊂面ACE∴BD⊥AE7分(Ⅲ)法一：连接AC，交BD于O．由对称性，二面角D-AE-B是二面角O-AE-B的2倍，设θ为二面角O-AE-B的平面角．注意到B在面ACE上的射影为O∴θ=60°∴二面角D-AE-B是120°12分法二：以C为坐标原点，CD所在直线为x轴建立空间直角坐标系则D（1，0，0），A（1，1，0），B（0，1，0），E（0，0，1），从而=（-1，0，1），=（0，1，0），（1，0，0），（0，-1，1）设平面ADE和平面ABE的法向量分别为（x1，y1，z1），=（x2，y2，z2）则-x1+z1=0，y1=0,x2=0，-y2+z2=0令z1=1，z2=-1，则（（1，0，1），=（0，-1，-1）设二面角D-AE-B的平面角为θ，则|cosθ|=|二面角D-AE-B为钝二面角．∴二面角D-AE-B是120°12分【思路点拨】本试题主要考查了立体几何中的线面的垂直，以及二面角的求解的综合运用。【数学理卷·2015届广东省广州市第六中学高三上学期第一次质量检测（201409）(1)】5.若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（）A. B.C. D.【知识点】三视图G2【答案解析】C解析：由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示，所以几何体的体积为，所以选C.【思路点拨】本题考查三视图的识别以及多面体的体积问题．根据三视图得出几何体的形状及长度关系是解决问题的关键.【数学理卷·2014届河南省实验中学高三第三次模拟考试（201405）】15.如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为.【知识点】由三视图求面积、体积．G2【答案解析】8+2π解析：该几何体由一个长方体和两个半圆柱构成，则圆柱的体积为V1=π×12×2=2π，长方体的体积为V2=1×4×2=8，则该几何体的体积为V=V1+V2=8+2π，故答案为8+2π．【思路点拨】该几何体由一个长方体和两个半圆柱构成，代入求解．【数学理卷·2014届河南省实验中学高三第三次模拟考试（201405）】4.如图，网格纸上的正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）（A）30（B）50（C）75（D）150【知识点】由三视图求面积、体积．G2【答案解析】B解析：该几何体是四棱锥，其底面面积S=5×6=30，高h=5，则其体积V=S×h=30×5=50．故选B．【思路点拨】由三视图可知：该几何体是四棱锥．【数学文卷·2015届浙江省绍兴一中高三上学期回头考试（201409）】3．已知某四棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该四棱锥的体积是（） A． B． C． D．【知识点】三视图，棱锥体积G2G7【答案解析】A解析：由三视图可知该四棱锥的底面是长和宽分别为4,2的矩形，高为,所以其体积为，所以选A.【思路点拨】由三视图求几何体的体积，应先由三视图分析原几何体的特征（注意物体的位置的放置与三视图的关系），再利用三视图与原几何体的数据对应关系进行解答.【数学文卷·2015届浙江省嘉兴市高三上学期学科基础测试（201409）】14．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是.【知识点】空间几何体的三视图.G2【答案解析】32解析：由三视图可知：此几何体是四棱锥，其底面是邻边长分别为6,4的矩形，且棱锥高为4，所以该几何体的体积是.【思路点拨】先由三视图获得此几何体的结构，底面特点，棱的特点，然后求此几何体的体积.【数学文卷·2015届广西桂林中学高三8月月考（201408）】13.一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是.【知识点】由三视图求面积、体积．G2【答案解析】（20+4）cm2解析：三视图复原的组合体是下部是棱长为2的正方体，上部是底面边长为2的正方形，高为1的四棱锥，组合体的表面积为：5×2×2+4××2×=（20+4）cm2故答案为：（20+4）cm2【思路点拨】三视图复原的组合体是下部是正方体，上部是四棱锥，根据三视图数据，求出表面积即可．【数学文卷·2015届广东省深圳市高三上学期第一次五校联考（201409）】12.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为.【知识点】几何体的三视图.G2【答案解析】解析：由三视图可知此几何体是底面半径为2，高为3的半圆柱，所以其体积为.【思路点拨】由几何体的三视图得该几何体的形状，从而求该几何体的体积.【数学文卷·2015届天津一中高三上学期零月月考（201409）】10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为.【知识点】三视图的意义.G2【答案解析】108+3解析：该几何体的体积=.【思路点拨】由三视图可知该几何体是由两个底面边长是6，高是1.5的正四棱柱，和一个底面半径是1，高是3的圆柱组成的几何体.【数学文卷·2014届河南省实验中学高三第三次模拟考试（201405）】14.右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为________．【知识点】由三视图求面积、体积．G2【答案解析】解析：由三视图知：几何体是圆柱与球体的组合体，圆柱的高为1，圆柱底面圆的半径与球的半径都为1，∴几何体的体积V=π×12×1+×π×13=．故答案为：．【思路点拨】几何体是圆柱与球体的组合体，根据三视图判断圆柱的高及圆柱的底面圆半径，判断球的半径，把数据代入圆柱与球的体积公式计算．G3平面的基本性质、空间两条直线【数学理卷·2015届贵州省贵阳市普通高中高三8月摸底考试（201408）】18、如图，在直三棱柱中，分别是的中点.(I)证明：；(II)求二面角的余弦值【知识点】直线与平面的位置关系；二面角.G3,G4【答案解析】解析：(I)证明：如图，E是的中点，取为BC的中点G，连接EG、AG、ED，在中，四边形ADEF为平行四边形，，又所以(II)解：如图，以B为原点，BC，BA，,分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系则直三棱柱，，如图，连接BD，在，即，BD是CD在平面内的射影，，所以二面角的余弦值为【思路点拨】根据已知条件可判定直线与平面平行，再建立空间坐标系求出二面角的余弦值.G4空间中的平行关系【数学（理）卷·2015届黑龙江省大庆市高三第一次教学质量检测（201409）word版】（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，为平行四边形，且平面，，为的中点，．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．【知识点】直线与平面平行、二面角G4G11【答案解析】（Ⅰ）略（Ⅱ）解析：(Ⅰ)证明：连接，设与相交于点，连接，因为四边形为平行四边形，所以点为的中点，又因为为的中点，所以为的中位线，所以∥，………3分又因为平面，平面，所以∥平面.…………6分(Ⅱ)因为平面，∥，所以平面，又因为，所以两两垂直，故可以建立空间直角坐标系(如图所示)，………8分则，，，，，所以，，，因为平面,故平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则即，令，则，可取，…………10分从而，故所求二面角的余弦值为.…………12分.【思路点拨】证明直线与平面平行一般利用直线与平面平行的判定定理转化为线线平行证明；求二面角一般通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角解答.【数学理卷·2015届贵州省贵阳市普通高中高三8月摸底考试（201408）】18、如图，在直三棱柱中，分别是的中点.(I)证明：；(II)求二面角的余弦值【知识点】直线与平面的位置关系；二面角.G3,G4【答案解析】解析：(I)证明：如图，E是的中点，取为BC的中点G，连接EG、AG、ED，在中，四边形ADEF为平行四边形，，又所以(II)解：如图，以B为原点，BC，BA，,分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系则直三棱柱，，如图，连接BD，在，即，BD是CD在平面内的射影，，所以二面角的余弦值为【思路点拨】根据已知条件可判定直线与平面平行，再建立空间坐标系求出二面角的余弦值.【数学理卷·2015届湖南省长沙市长郡中学高三上学期第一次月考（201409）】18.(本小题满分12分)直三棱柱中,,点在上.(Ⅰ)若是中点,求证:平面;(Ⅱ)当时,求二面角的余弦值.【知识点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．G4G11【答案解析】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)解析：ACDBC1A1B1E(Ⅰ)ACDBC1A1B1E因为直三棱柱中侧面为矩形,所以为的中点,又是中点,于是,且面,AC1⊄平面B1CD所以平面;…………6分(Ⅱ)由知,即,又直三棱柱中面,于是以为原点建立空间yxzACDBC1yxzACDBC1A1B1又,由平面几何易知,显然平面的一个法向量为,又设平面的一个法向量为,则由,得,解得,取,则,设二面角的平面角为,则,又由图知为锐角,所以其余弦值为.…………………12分【思路点拨】(Ⅰ)通过作平行线，由线线平行证明线面平行；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，利用向量法求二面角的余弦值．【数学理卷·2015届浙江省绍兴一中高三上学期回头考试（201409）】4.设表示三条不同的直线，表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若∥，，则∥；B．若，则；C．若∥，∥，，则∥；

D．若，则．【知识点】空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系G4G5【答案解析】C解析：对于A，直线l还有可能在平面α内，所以错误，对于B，若m∥n，则直线l与平面α不一定垂直，所以错误，对于D，若，两面可以平行和相交，不一定垂直，所以错误，则选C.【思路点拨】判断空间位置关系时，可用相关定理直接判断，也可用反例排除判断.【数学理卷·2015届浙江省嘉兴市高三上学期学科基础测试（201409）】7．对于空间的一条直线m和两个平面，下列命题中的真命题是A.若则B..若则C.若则D.若则【知识点】空间中的平行关系；空间中的垂直关系.G4G5【答案解析】C解析：若则平面可能平行可能相交，所以A,B是假命题；显然若则成立，故选C.【思路点拨】根据线面平行的性质，线面垂直的性质得结论.【数学理卷·2015届安徽省示范高中高三第一次联考试题（201409）】(4)已知为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是A.B.C.D.【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系．G4G5【答案解析】D解析：A选项可能有，B选项也可能有，C选项两平面可能相交，故选D.【思路点拨】分别根据线面平行和线面垂直的性质和定义进行判断即可．【数学文卷·2015届贵州省贵阳市普通高中高三8月摸底考试（201408）】18．（本小题满分12分）在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，底面ABCD,F为BE的中点.（1）求证：平面ACF；（2）若CE=1，AB=,求三棱锥E-ACF的体积.【知识点】空间中的位置关系；体积求法.G1G4G5【答案解析】（1）略；（2）解析：（1）证明如下：连接OF.由四边形ABCD是正方形可知，点O为BD中点.又F为BE中点，所以.又平面ACF,平面ACF,所以平面ACF.6分（2）因为在中，的中点，CE=1，BC=所以又因为底面ABCD是正方形，底面ABCD所以所以AB平面BCE所以三棱锥E-ACF的体积12分【思路点拨】（1）根据线面平行的判定定理，需要在平面ACF中找到直线与直线DE平行，为此连接OF即可；（2）等体积转化.【数学文卷·2015届贵州省贵阳市普通高中高三8月摸底考试（201408）】10．已知两个平面垂直，给出下列四个命题：①一个平面内的已知直线必垂直另一平面内的任意一条直线.②一个平面内的已知直线必垂直另一平面内的无数条直线.③一个平面内的任一条直线必垂直另一平面.④在一个平面内一定存在直线平行于另一平面.其中正确命题的个数是A.0B.1C.2D.3【知识点】线面位置关系的判定与性质.G4G5【答案解析】C解析：①只有当一个平面内的这条已知直线垂直另一平面时，它才垂直另一平面内的任意一条直线，所以①是错误的；②一个平面内的已知直线必与另一平面内和两平面交线垂直的无数直线垂直，所以②正确；③只有一个平面内垂直于两平面交线的直线才垂直于另一平面，所以③是错误的；④其中一个平面内平行于两平面交线的直线一定平行于另一平面，所以④正确.故选C.【思路点拨】根据线面位置关系的判定与性质，逐一分析①②③④这四个命题的正误.【数学文卷·2015届湖南省衡阳八中高三上学期第二次月考（201409）】18．（本小题满分12分）如图所示的多面体中，是菱形，是矩形，面,．求证:.若【知识点】空间平行关系的证明；几何体的体积.G4G5G1【答案解析】(1)略；（2）解析：证明：（1）由是菱形3分由是矩形∴.6分（2）连接，由是菱形，由面,，10分则为四棱锥的高由是菱形，，则为等边三角形，由；则，，13分【思路点拨】(1)只需证明平面BCF中两条相交直线BC、BF都与平面AED平行即可；（2）易证四棱锥的高是菱形ABCD对角线AC的一半，而底面是正方形BDEF,由此得出四棱锥A-BDEF的体积.【数学文卷·2015届湖南省师大附中高三第一次月考（201409）】5．已知a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列命题中正确的是()A．若α∥b，β∥b，则α∥βB．若α∥a，α∥b，则a∥bC．若a⊥α，b⊥β，则α∥βD．若a⊥α，a⊥β，则α∥β【知识点】空间中线线、线面间的位置关系.G4G5【答案解析】D解析：对于A：若α∥b，β∥b，则α∥β或相交，故A错误；对于B：若α∥a，α∥b，则a与b平行、相交或异面.故B错误；对于C：明显错误；对于D：若a⊥α，a⊥β，则α∥β，正确.故选D.【思路点拨】依据定理、公理依次排除即可.【数学文卷·2015届浙江省绍兴一中高三上学期回头考试（201409）】19．（本小题满分8分）如图，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE（1）设M为线段A1C的中点，求证：BM//A1DE；（2）当平面A1DE⊥平面BCD时，求直线CD与平面A1CE所成角的正弦值．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角G4G11【答案解析】（1）略（2）解析：(1)证明：取A1D的中点N，连接MN，NE，因为MN∥DC，，EB∥DC，,则MN∥EB且MN=EB，所以四边形MNEB为平行四边形，则MB∥NE，，所以BM//A1DE；3分(2)解：(1)略；3分（2）由矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，可得ED2=22+22=8=CE2，CD2=42=16，∴CE2+ED2=CD2，∴∠CED=90°，∴CE⊥ED．又∵平面A1DE⊥平面BCD，∴CE⊥平面A1DE，∴CE⊥DA1．又∵DA1⊥A1E，A1E∩EC=E，∴DA1⊥平面A1CE，∴∠A1CE即为直线CD与平面A1CE所成的角．在Rt△A1CD中，sin∠A1CD==．…………8分.【思路点拨】证明直线与平面平行通常结合直线与平面平行的判定定理，在平面内找到一条直线与已知直线平行；求直线与平面所成角，通常先找出其平面角，再利用三角形求角.【数学文卷·2015届浙江省绍兴一中高三上学期回头考试（201409）】4.设表示三条不同的直线，表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若∥，，则∥；B．若，则；C．若∥，∥，，则∥；

D．若，则．【知识点】空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系G4G5【答案解析】C解析：对于A，直线l还有可能在平面α内，所以错误，对于B，若m∥n，则直线l与平面α不一定垂直，所以错误，对于D，若，两面可以平行和相交，不一定垂直，所以错误，则选C.【思路点拨】判断空间位置关系时，可用相关定理直接判断，也可用反例排除判断.【数学文卷·2015届浙江省嘉兴市高三上学期学科基础测试（201409）】7．对于空间的一条直线m和两个平面，下列命题中的真命题是A.若则B..若则C.若则D.若则【知识点】空间中的平行关系；空间中的垂直关系.G4G5【答案解析】C解析：若则平面可能平行可能相交，所以A,B是假命题；显然若则成立，故选C.【思路点拨】根据线面平行的性质，线面垂直的性质得结论.【数学文卷·2015届河南省天一大联考（开封高级中学等）高三阶段测试（一）（201409）】(19)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC-的侧棱底面ABC,是棱的中点，F是AB的中点，AC=BC=1，.（Ⅰ）求证;CF平面;（Ⅱ）求三棱锥在底面上的高.【知识点】空间线面位置关系的判定与证明；空间距离的求法.G4G11【答案解析】（Ⅰ）略；（Ⅱ）解析：（Ⅰ）取的中点，连接，因为分别是的中点，所以，因为为侧棱的中点，所以，………（3分）所以四边形是平行四边形，则，因为平面，平面，所以平面.……………（6分）（Ⅱ）因为三棱柱的侧棱底面，所以平面，又平面，所以，又，所以，因为，所以平面，所以，得，…………………（10分）因为，所以，因为，所以三棱锥在底面上的高为.…（12分）【思路点拨】（Ⅰ）在平面上求得直线与直线CF平行，为此取的中点，连接，因为分别是的中点，所以，因为为侧棱的中点，所以，所以四边形是平行四边形，则，因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）利用等体积转化法，即由，而易求，面积可求，从而求得三棱锥在底面上的高.【数学文卷·2015届广东省深圳市高三上学期第一次五校联考（201409）】18．（本小题满分13分）如图甲，在平面四边形ABCD中，已知，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．（1）求证：DC平面ABC；（2）设，求三棱锥A－BFE的体积．【知识点】空间位置关系的判定与性质；几何体体积的计算.G1G4G5【答案解析】(1)略；（2）解析：（1）证明：在图甲中，∵且∴,即………………1分又在图乙中，∵平面ABD平面BDC，且平面ABD平面BDC＝BD∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．…………3分∵，∴DC⊥BC…………4分又由…………5分∴DC平面ABC．…………6分（2）∵点E、F分别为AC、AD的中点∴EF//CD………………7分又由（1）知，DC平面ABC∴EF⊥平面ABC…………8分于是EF即为三棱锥的高，∴……………9分在图甲中，∵,∴,由得,……………11分∴∴………12分∴………………13分（若有其他解法，可视情况酌情给分）【思路点拨】（1）根据线面垂直的判定定理，只需在平面ABC中找到两条相交直线都与直线DC垂直即可，显然平面ABC中的两条相交直线是BC和BA；（2）∵点E、F分别为AC、AD的中点，∴EF//CD，又由（1）知，DC平面ABC，∴EF⊥平ABC，=.【数学文卷·2015届广东省深圳市高三上学期第一次五校联考（201409）】3．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是A． B． C． D．【知识点】空间中线面平行、垂直的判定与性质.G4G5【答案解析】D解析：对于选项A:m,n平行、相交、异面都有可能；对于选项B:可能平行、可能相交；对于选项C：可能平行、可能相交；所以选项A、B、C都不正确，故选D. 【思路点拨】依次分析各选项得选项A、B、C都不正确，故选D. 【数学文卷·2015届天津一中高三上学期零月月考（201409）】17.(本小题13分)已知在四棱锥P-ABCD中，AD//BC,PA=PD=AD=2BC=2CD,E,F分别为AD,PC的中点.（Ⅰ）求证平面PBE;（Ⅱ）求证PA//平面BEF;（Ⅲ）若PB=AD,求二面角F-BE-C的大小.【知识点】空间中的平行关系；空间中的垂直关系；空间角的求法.G4G5G11【答案解析】（Ⅰ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ）解析：（Ⅰ）证明：因为PA=PD=AD，E为AD中点，所以,又AD//BC,得,因为PE,BE都在平面PBE内，且,所以平面PBE;（Ⅱ）证明：连接AC交BE于点G，连接FG,因为BC平行且等于AE，所以G为BE中点，又F为PC中点，所以,因为平面BEF，平面BEF,所以PA//平面BEF;（Ⅲ）取CD中点H,连接GH,FH,即为所求二面角的平面角，,而,.【思路点拨】（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理证明结论；（Ⅱ）利用线面平行的判定定理证明结论；（Ⅲ）先寻找所求二面角的平面角，然后根据等角定理得结论.【数学文卷·2014届河南省实验中学高三第三次模拟考试（201405）】19．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF平面ABCD，BF=3，G积H分别是CE和CF的中点、(1)求证：AF//平面BDGH:(2)求【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．G4G8【答案解析】（1）见解析（2）1解析：（1）证明：设，连接，在中，因为，，所以，又因为平面，平面，所以平面.………………（6分）（2）解：因为四边形是正方形，所以.又因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面.得平面………（8分）则H到平面的距离为CO的一半又因为，三角形的面积，所以………………（12分）【思路点拨】（1）设AC∩BD=O，连接OH，证明OH∥AF，即可证明AF∥平面BDGH；（2）由面面垂直的性质可证AC与平面BDEF垂直，可得H到平面BDEF的距离为CO的一半，再利用等体积转换，即可得出结论．G5空间中的垂直关系【数学（理）卷·2015届黑龙江省大庆市高三第一次教学质量检测（201409）word版】（8）已知两个平面垂直，下列命题中：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确命题的个数有（A）（B）（C）（D）【知识点】两面垂直的性质G5【答案解析】A解析：①若一个平面内已知直线垂直于另一个平面内的任意一条直线，则该直线与另一个平面垂直，显然错误；②因为一个平面有无数条垂线，所以对于一个平面内已知直线在另一个平面内一定有的无数条直线和它垂直，则说法正确；③一个平面内的任意一条直线不一定垂直于另一个平面，所以错误；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，因为该垂线不一定在平面内，所以此垂线不一定垂直于另一个平面，说法错误，所以选A.【思路点拨】理解直线与平面垂直的概念，掌握两个平面垂直的性质定理是解题的关键.【数学（文）卷·2015届黑龙江省大庆市高三第一次教学质量检测（201409）word版】19.(本小题满分12分)如图：四棱柱-中，侧棱垂直与底面，，E为CD上一点，DE=1,EC=3,(Ⅰ)证明：；（Ⅱ）求点到平面的距离。【知识点】直线与平面垂直的判定，点到平面的距离G5G11【答案解析】(Ⅰ)略（Ⅱ）解析：（=1\*ROMANI）证明：过作的垂线交于，则在中，，在中，.在中，因为，所以.由平面，得，所以平面.……6分（=2\*ROMANII）三棱锥的体积，在中，同理，因此.10分设点到平面的距离为，则三棱锥的体积,从而12分.【思路点拨】证明直线与平面垂直一般结合其判定定理通过线线垂直得到线面垂直；求点到面的距离可直接作出其距离进行解答，若直接计算不方便时可用体积转化法，平行线转移法等进行转化求值.【数学理卷·2015届浙江省绍兴一中高三上学期回头考试（201409）】4.设表示三条不同的直线，表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若∥，，则∥；B．若，则；C．若∥，∥，，则∥；

D．若，则．【知识点】空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系G4G5【答案解析】C解析：对于A，直线l还有可能在平面α内，所以错误，对于B，若m∥n，则直线l与平面α不一定垂直，所以错误，对于D，若，两面可以平行和相交，不一定垂直，所以错误，则选C.【思路点拨】判断空间位置关系时，可用相关定理直接判断，也可用反例排除判断.【数学理卷·2015届浙江省嘉兴市高三上学期学科基础测试（201409）】20．(本题15分)如图，三棱锥P-ABC中，底面ABC，是正三角形，AB=4，PA=3，M是AB的中点.（1）求证：平面PAB；（2）设二面角A-PB-C的大小为，求的值.【知识点】线面垂直的判定；二面角的求法.G5G11【答案解析】（1）证明：略；（2）． 解析：（1）因为底面，所以． ┅3分因为△是正三角形，是的中点，所以． ┅6分所以，平面． ┅7分（第20题）（2（第20题）作于，连，则．所以，是二面角的平面角． ┅11分因为，，所以，．从而，故． ┅15分（向量法）以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图．平面的一个法向量． ┅10分（第20题），．（第20题）设是平面的法向量，则，取法向量． ┅13分故． ┅15分【思路点拨】（1）只需证明直线CM与平面PAB中两条相交直线AB、AP垂直；（2）（几何法）作出二面角的平面角，构造含此角的三角形求解.(向量法)建立空间直角坐标系，确定所求二面角中每一个半平面的一个法向量，因为两法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补，所以只需求这两法向量夹角的余弦值即可.【数学理卷·2015届浙江省嘉兴市高三上学期学科基础测试（201409）】7．对于空间的一条直线m和两个平面，下列命题中的真命题是A.若则B..若则C.若则D.若则【知识点】空间中的平行关系；空间中的垂直关系.G4G5【答案解析】C解析：若则平面可能平行可能相交，所以A,B是假命题；显然若则成立，故选C.【思路点拨】根据线面平行的性质，线面垂直的性质得结论.【数学理卷·2015届广东省广州市第六中学高三上学期第一次质量检测（201409）(1)】18.（本小题满分13分）如图，在直三棱柱中，平面侧面，且(1)求证：；(2)若直线与平面所成的角为，求锐二面角的大小.【知识点】空间直线垂直的判定、二面角的求法G5G11【答案解析】(1)略；(2)解析：（1）证明：如图，取的中点，连接，因，则，由平面侧面，且平面侧面，得，又平面，所以.因为三棱柱是直三棱柱，则，所以.又，从而侧面，又侧面，故.解法一：连接，由（1）可知，则是在内的射影∴即为直线与所成的角，则在等腰直角中，，且点是中点，∴，且，∴过点A作于点，连，由（1）知，则，且，∴即为二面角的一个平面角，在直角中：，又，，∴，且二面角为锐二面角∴，即二面角的大小为解法二（向量法）：由（1）知且，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设，则，，，，，，，，设平面的一个法向量，由，得：令，得，则，设直线与所成的角为，则，得，解得，即，又设平面的一个法向量为，同理可得，设锐二面角的大小为，则，且，得，∴锐二面角的大小为.【思路点拨】证明两直线垂直通常可转化为线面垂直进行证明；求二面角可通过寻求其平面角通过三角形求解，也可用向量的方法通过求平面的法向量的夹角解答.【数学理卷·2015届安徽省示范高中高三第一次联考试题（201409）】（17）（本小题满分12分）如图，直角三角形中,分别为边的中点。将沿折起,使二面角的余弦值为，求：（1）四棱锥的体积;（2）二面角的余弦值.【知识点】线面垂直、面面垂直的判定；棱锥的体积；二面角.G5G7G11【答案解析】(1)（2）解析：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0为二面角SKIPIF1<0的平面角，所以SKIPIF1<03分SKIPIF1<06分SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.10分所以SKIPIF1<0为二面角SKIPIF1<0的平面角，SKIPIF1<0.12分【思路点拨】本题考查线面平行，线面垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．【数学理卷·2015届安徽省示范高中高三第一次联考试题（201409）】(4)已知为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是A.B.C.D.【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系．G4G5【答案解析】D解析：A选项可能有，B选项也可能有，C选项两平面可能相交，故选D.【思路点拨】分别根据线面平行和线面垂直的性质和定义进行判断即可．【数学理卷·2014届河南省实验中学高三第二次模拟考试（201405）】19、如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥，，平面⊥底面，为的中点，是棱上的点，，，．（Ⅰ）求证：平面⊥平面；（Ⅱ）若为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值；（Ⅲ）若二面角大小为30°，求的长．【知识点】异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．G11G5【答案解析】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）解析：（Ⅰ）∵AD//BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD//BQ．……1分∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD=AD，……2分∴BQ⊥平面PAD．……3分PABCPABCDQMxyz∴平面PQB⊥平面PAD．……………4分（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．…………5分如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则，，，，∵M是PC中点，∴…………6分∴设异面直线AP与BM所成角为则=…………7分∴异面直线AP与BM所成角的余弦值为…………8分，（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面BQC的法向量为…………9分由，且，得……10分又，∴平面MBQ法向量为．……………11分∵二面角M-BQ-C为30°，∴，∴．∴……………12分【思路点拨】（Ⅰ）由题意易证QB⊥AD，由面面垂直的性质可得BQ⊥平面PAD，可得结论；（Ⅱ）易证PQ⊥平面ABCD，以Q为原点建立空间直角坐标系，则可得相关点的坐标，可得向量和的坐标，可得夹角的余弦值，由反三角函数可得答案；（Ⅲ）可得平面BQC的法向量为，又可求得平面MBQ法向量为，结合题意可得λ的方程，解方程可得λ，可得所求．【数学理卷·2014届河南省实验中学高三第二次模拟考试（201405）】9、在三棱锥P－ABC中，PA＝PB=PC=,侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（）A．B.C.4D.【知识点】直线与平面所成的角；球的体积和表面积；球内接多面体．G5G11【答案解析】D解析：过点P作PH⊥平面ABC于H，则∵AH是PA在平面ABC内的射影∴∠PAH是直线PA与底面ABC所成的角，得∠PAH=60°，∴Rt△PAH中，AH=PAcos60°=，PH=PAsin60°=设三棱锥外接球的球心为O，∵PA=PB=PC，∴P在平面ABC内的射影H是△ABC的外心由此可得，外接球心O必定在PH上，连接OA、OB、OC∵△POA中，OP=OA，∴∠OAP=∠OPA=30°，可得PA==∴三棱锥外接球的半径R=OA=1因此该三棱锥外接球的体积为V=πR3=,故选：D【思路点拨】过点P作PH⊥平面ABC于H，可得∠PAH是直线PA与底面ABC所成的角，得∠PAH=60°．由PA=PB=PC，得外接球心O必定在PH上，连接OA，可得△POA是底角等于30°的等腰三角形，从而得到外接球的半径R=OA=1，再用球的体积公式可得该三棱锥外接球的体积．【数学理卷·2014届河南省实验中学高三第三次模拟考试（201405）】19.（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且分别是的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求锐二面角的余弦值.【知识点】直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．G5G11【答案解析】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）解析：（Ⅰ）连结，∵是等腰直角三角形斜边的中点，∴.又三棱柱为直三棱柱，∴面面，∴面，.2分设，则.∴，∴.4分又，∴平面.6分（Ⅱ）以为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系如图，设，则，，.8分由（Ⅰ）知，平面，∴可取平面的法向量.设平面的法向量为，由∴可取.10分设锐二面角的大小为，则.∴所求锐二面角的余弦值为.12分【思路点拨】（Ⅰ）由已知中三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，D，E，F分别是B1A，CC1，BC的中点，结合等腰三角形性质及直三棱柱的几何特征，我们易判断出AF⊥B1F，B1F⊥EF，进而根据线面垂直的判定定理即可得到B1F⊥平面AEF；（Ⅱ）B1M⊥AE于M，连接FM，由三垂线定理我们易得∠B1MF即为二面角B1﹣AE﹣F的平面角，解三角形B1MF，即可求出二面角B1﹣AE﹣F的正切值．【数学文卷·2015届贵州省贵阳市普通高中高三8月摸底考试（201408）】18．（本小题满分12分）在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，底面ABCD,F为BE的中点.（1）求证：平面ACF；（2）若CE=1，AB=,求三棱锥E-ACF的体积.【知识点】空间中的位置关系；体积求法.G1G4G5【答案解析】（1）略；（2）解析：（1）证明如下：连接OF.由四边形ABCD是正方形可知，点O为BD中点.又F为BE中点，所以.又平面ACF,平面ACF,所以平面ACF.6分（2）因为在中，的中点，CE=1，BC=所以又因为底面ABCD是正方形，底面ABCD所以所以AB平面BCE所以三棱锥E-ACF的体积12分【思路点拨】（1）根据线面平行的判定定理，需要在平面ACF中找到直线与直线DE平行，为此连接OF即可；（2）等体积转化.【数学文卷·2015届湖南省衡阳八中高三上学期第二次月考（201409）】18．（本小题满分12分）如图所示的多面体中，是菱形，是矩形，面,．求证:.若【知识点】空间平行关系的证明；几何体的体积.G4G5G1【答案解析】(1)略；（2）解析：证明：（1）由是菱形3分由是矩形∴.6分（2）连接，由是菱形，由面,，10分则为四棱锥的高由是菱形，，则为等边三角形，由；则，，13分【思路点拨】(1)只需证明平面BCF中两条相交直线BC、BF都与平面AED平行即可；（2）易证四棱锥的高是菱形ABCD对角线AC的一半，而底面是正方形BDEF,由此得出四棱锥A-BDEF的体积.【数学文卷·2015届湖南省师大附中高三第一次月考（201409）】18．(本题满分12分)如图，已知三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，AB⊥BC，PC＝BC＝4，AB＝2，E、F分别是PB、PA的中点．(1)求证：侧面PAB⊥侧面PBC；(2)求三棱锥P－CEF的外接球的表面积．【知识点】面面垂直的判定；组合体.G5G8【答案解析】(1)见解析(2)17π.解析：(1)∵PC⊥平面ABC，∴AB⊥PC，又AB⊥BC，则AB⊥侧面PBC，AB⊂侧面PAB，故侧面PAB⊥侧面PBC.(6分)(2)∵PC＝BC＝4，E为PB的中点，∴CE⊥PB，而侧面PAB垂直侧面PBC于PB，∴CE⊥EF.由E、F分别是PB、PA的中点有EF∥AB，则EF⊥侧面PBC.故EC、EF、EP两两垂直，(9分)三棱锥P－CEF的外接球就是以EC、EF、EP为长、宽、高的长方体的外接球，易求得EC＝EP＝2eq\r(2)，EF＝1，其外接球的直径是eq\r(8＋8＋1)＝eq\r(17)，故所求三棱锥P—CEF的外接球的表面积是4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(17),2)))eq\s\up12(2)＝17π.(12分)【思路点拨】(1)PC⊥平面ABC，∴AB⊥PC，又AB⊥BC，则AB⊥侧面PBC，AB⊂侧面PAB，故侧面PAB⊥侧面PBC.(2)由已知得到三棱锥P－CEF的外接球就是以EC、EF、EP为长、宽、高的长方体的外接球即可求出结果.【数学文卷·2015届湖南省师大附中高三第一次月考（201409）】5．已知a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列命题中正确的是()A．若α∥b，β∥b，则α∥βB．若α∥a，α∥b，则a∥bC．若a⊥α，b⊥β，则α∥βD．若a⊥α，a⊥β，则α∥β【知识点】空间中线线、线面间的位置关系.G4G5【答案解析】D解析：对于A：若α∥b，β∥b，则α∥β或相交，故A错误；对于B：若α∥a，α∥b，则a与b平行、相交或异面.故B错误；对于C：明显错误；对于D：若a⊥α，a⊥β，则α∥β，正确.故选D.【思路点拨】依据定理、公理依次排除即可.【数学文卷·2015届浙江省绍兴一中高三上学期回头考试（201409）】4.设表示三条不同的直线，表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若∥，，则∥；B．若，则；C．若∥，∥，，则∥；

D．若，则．【知识点】空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系G4G5【答案解析】C解析：对于A，直线l还有可能在平面α内，所以错误，对于B，若m∥n，则直线l与平面α不一定垂直，所以错误，对于D，若，两面可以平行和相交，不一定垂直，所以错误，则选C.【思路点拨】判断空间位置关系时，可用相关定理直接判断，也可用反例排除判断.【数学文卷·2015届浙江省嘉兴市高三上学期学科基础测试（201409）】20．(本题15分)如图，三棱锥P-ABC中，底面ABC，是正三角形，AB=4，PA=3，M是AB的中点.（1）求证：平面PAB；（2）设二面角A-PB-C的大小为，求的值.【知识点】线面垂直的判定；二面角的求法.G5G11【答案解析】（1）证明：略；（2）． 解析：（1）因为底面，所以． ┅3分因为△是正三角形，是的中点，所以． ┅6分所以，平面． ┅7分（第20题）（2（第20题）作于，连，则．所以，是二面角的平面角． ┅11分因为，，所以，．从而，故． ┅15分（向量法）以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图．平面的一个法向量． ┅10分（第20题），．（第20题）设是平面的法向量，则，取法向量． ┅13分故． ┅15分【思路点拨】（1）只需证明直线CM与平面PAB中两条相交直线AB、AP垂直；（2）（几何法）作出二面角的平面角，构造含此角的三角形求解.(向量法)建立空间直角坐标系，确定所求二面角中每一个半平面的一个法向量，因为两法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补，所以只需求这两法向量夹角的余弦值即可.【数学文卷·2015届浙江省嘉兴市高三上学期学科基础测试（201409）】7．对于空间的一条直线m和两个平面，下列命题中的真命题是A.若则B..若则C.若则D.若则【知识点】空间中的平行关系；空间中的垂直关系.G4G5【答案解析】C解析：若则平面可能平行可能相交，所以A,B是假命题；显然若则成立，故选C.【思路点拨】根据线面平行的性质，线面垂直的性质得结论.【数学文卷·2015届广西桂林中学高三8月月考（201408）】19．（本题满分12分）如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，，，是棱的中点。（1）证明：⊥平面（2）设，求几何体的体积。【知识点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．G5G7【答案解析】（1）见解析（2）解析：（1）由题意知，，所以又，所以由题设知，所以，即.又，所以（2），．【思路点拨】（1）证明DC1⊥BC，DC1⊥DC，利用线面垂直的判定定理，即可证明C1D⊥平面BDC；（2）利用VC-BC1D=VB-CC1D，求几何体C-BC1D的体积．【数学文卷·2015届广东省深圳市高三上学期第一次五校联考（201409）】18．（本小题满分13分）如图甲，在平面四边形ABCD中，已知，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．（1）求证：DC平面ABC；（2）设，求三棱锥A－BFE的体积．【知识点】空间位置关系的判定与性质；几何体体积的计算.G1G4G5【答案解析】(1)略；（2）解析：（1）证明：在图甲中，∵且∴,即………………1分又在图乙中，∵平面ABD平面BDC，且平面ABD平面BDC＝BD∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．…………3分∵，∴DC⊥BC…………4分又由…………5分∴DC平面ABC．…………6分（2）∵点E、F分别为AC、AD的中点∴EF//CD………………7分又由（1）知，DC平面ABC∴EF⊥平面ABC…………8分于是EF即为三棱锥的高，∴……………9分在图甲中，∵,∴,由得,……………11分∴∴………12分∴………………13分（若有其他解法，可视情况酌情给分）【思路点拨】（1）根据线面垂直的判定定理，只需在平面ABC中找到两条相交直线都与直线DC垂直即可，显然平面ABC中的两条相交直线是BC和BA；（2）∵点E、F分别为AC、AD的中点，∴EF//CD，又由（1）知，DC平面ABC，∴EF⊥平ABC，=.【数学文卷·2015届广东省深圳市高三上学期第一次五校联考（201409）】3．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是A． B． C． D．【知识点】空间中线面平行、垂直的判定与性质.G4G5【答案解析】D解析：对于选项A:m,n平行、相交、异面都有可能；对于选项B:可能平行、可能相交；对于选项C：可能平行、可能相交；所以选项A、B、C都不正确，故选D. 【思路点拨】依次分析各选项得选项A、B、C都不正确，故选D. 【数学文卷·2015届广东省广州市第六中学高三上学期第一次质量检测（201409）】17、（本小题满分13分）如图，在直角梯形中,,,.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示.(Ⅰ)求证:平面；ABCD(Ⅱ)求几何体ABCDBBACD图1【知识点】直线与平面垂直的判定，三棱锥的体积G5G7【答案解析】(Ⅰ)略(Ⅱ)解析：解:（Ⅰ）在图1中,可得,从而,故取中点连结,则,又面面,面面,面,从而平面,∴，又,,∴平面另解:在图1中,可得,从而,故∵面面,面面,面,从而平面(Ⅱ)由（Ⅰ）可知为三棱锥的高.，所以，由等积性可知几何体的体积为.【思路点拨】证明直线与平面垂直，一般结合直线与平面垂直的判定定理进行证明；求三棱锥的体积时若直接以所给的面为底面解答困难时，可结合三棱锥以任意一个面为底面仍为三棱锥的特点，采取换底面法求体积.【数学文卷·2015届天津一中高三上学期零月月考（201409）】17.(本小题13分)已知在四棱锥P-ABCD中，AD//BC,PA=PD=AD=2BC=2CD,E,F分别为AD,PC的中点.（Ⅰ）求证平面PBE;（Ⅱ）求证PA//平面BEF;（Ⅲ）若PB=AD,求二面角F-BE-C的大小.【知识点】空间中的平行关系；空间中的垂直关系；空间角的求法.G4G5G11【答案解析】（Ⅰ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ）解析：（Ⅰ）证明：因为PA=PD=AD，E为AD中点，所以,又AD//BC,得,因为PE,BE都在平面PBE内，且,所以平面PBE;（Ⅱ）证明：连接AC交BE于点G，连接FG,因为BC平行且等于AE，所以G为BE中点，又F为PC中点，所以,因为平面BEF，平面BEF,所以PA//平面BEF;（Ⅲ）取CD中点H,连接GH,FH,即为所求二面角的平面角，,而,.【思路点拨】（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理证明结论；（Ⅱ）利用线面平行的判定定理证明结论；（Ⅲ）先寻找所求二面角的平面角，然后根据等角定理得结论.G6三垂线定理G7棱柱与棱锥【数学理卷·2015届浙江省绍兴一中高三上学期回头考试（201409）】3．已知某四棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该四棱锥的体积是（） A． B． C． D．【知识点】三视图，棱锥体积G2G7【答案解析】A解析：由三视图可知该四棱锥的底面是长和宽分别为4,2的矩形，高为,所以其体积为，所以选A.【思路点拨】由三视图求几何体的体积，应先由三视图分析原几何体的特征（注意物体的位置的放置与三视图的关系），再利用三视图与原几何体的数据对应关系进行解答.【数学理卷·2015届河南省天一大联考（开封高级中学等）高三阶段测试（一）（201409）】(19)(本小题满分12分)如图，正四棱锥的高为3，底面边长为2，E是棱PC的中点，过AE作平面与棱PB、PD分别交于点M、N（M、N可以是棱的端点）.(I)当M是PB的中点时，求PN的长;(II)求直线AE与平面PBC所成角的正弦值.【知识点】正四棱锥；向量求直线与平面所成的角．G7,G10.【答案解析】解析：解：（Ⅰ）当是的中点时，.因为平面，所以平面，所以.又，所以、两点重合.所以.（Ⅱ）解法一：连接、交于点，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则…设平面的一个法向量为则令，得设直线与平面所成的角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为【思路点拨】根据线段的长度，利用勾股定理求值；建立空间坐标系，求出法向量，求出夹角．【数学理卷·2015届安徽省示范高中高三第一次联考试题（201409）】（17）（本小题满分12分）如图，直角三角形中,分别为边的中点。将沿折起,使二面角的余弦值为，求：（1）四棱锥的体积;（2）二面角的余弦值.【知识点】线面垂直、面面垂直的判定；棱锥的体积；二面角.G5G7G11【答案解析】(1)（2）解析：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0为二面角SKIPIF1<0的平面角，所以SKIPIF1<03分SKIPIF1<06分SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.10分所以SKIPIF1<0为二面角SKIPIF1<0的平面角，SKIPIF1<0.12分【思路点拨】本题考查线面平行，线面垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．【数学理卷·2014届河南省实验中学高三第三次模拟考试（201405）】5.一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过该棱柱三个顶点（不在同一侧面或同一底面内）的平面去截这个棱柱，所得截面的形状不可以是（）等腰三角形(B)等腰梯形（C)五边形(D)正六边形【知识点】棱柱的结构特征．G7【答案解析】D解析：如图，由图可知，截面ABC为等腰三角形，选项A可能，截面ABEF为等腰梯形，选项B可能，截面ADE为五边形，选项C都有可能，选项D不可能，故选D．【思路点拨】由题意作出简图分析．【数学文卷·2015届浙江省绍兴一中高三上学期回头考试（201409）】3．已知某四棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该四棱锥的体积是（） A． B． C． D．【知识点】三视图，棱锥体积G2G7【答案解析】A解析：由三视图可知该四棱锥的底面是长和宽分别为4,2的矩形，高为,所以其体积为，所以选A.【思路点拨】由三视图求几何体的体积，应先由三视图分析原几何体的特征（注意物体的位置的放置与三视图的关系），再利用三视图与原几何体的数据对应关系进行解答.【数学文卷·2015届广西桂林中学高三8月月考（201408）】19．（本题满分12分）如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，，，是棱的中点。（1）证明：⊥平面（2）设，求几何体的体积。【知识点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．G5G7【答案解析】（1）见解析（2）解析：（1）由题意知，，所以又，所以由题设知，所以，即.又，所以（2），．【思路点拨】（1）证明DC1⊥BC，DC1⊥DC，利用线面垂直的判定定理，即可证明C1D⊥平面BDC；（2）利用VC-BC1D=VB-CC1D，求几何体C-BC1D的体积．【数学文卷·2015届广东省广州市第六中学高三上学期第一次质量检测（201409）】17、（本小题满分13分）如图，在直角梯形中,,,.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示.(Ⅰ)求证:平面；ABCD(Ⅱ)求几何体ABCDBBACD图1【知识点】直线与平面垂直的判定，三棱锥的体积G5G7【答案解析】(Ⅰ)略(Ⅱ)解析：解:（Ⅰ）在图1中,可得,从而,故取中点连结,则,又面面,面面,面,从而平面,∴，又,,∴平面另解:在图1中,可得,从而,故∵面面,面面,面,从而平面(Ⅱ)由（Ⅰ）可知为三棱锥的高.，所以，由等积性可知几何体的体积为.【思路点拨】证明直线与平面垂直，一般结合直线与平面垂直的判定定理进行证明；求三棱锥的体积时若直接以所给的面为底面解答困难时，可结合三棱锥以任意一个面为底面仍为三棱锥的特点，采取换底面法求体积.G8多面体与球【数学理卷·2015届河南省天一大联考（开封高级中学等）高三阶段测试（一）（201409）】(15)三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，，则球O的表面积为【知识点】球的表面积公式.G8【答案解析】解析：解：由题可知球的直径为，半径为，【思路点拨】根据几何体的条件求出外接球的半径，利用球的表面积公式计算.【数学理卷·2014届河南省实验中学高三第二次模拟考试（201405）】7、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A.B.160C.D.【知识点】由三视图求面积、体积．G8【答案解析】C解析：由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥组成，三棱柱的底面是一个直角边长为4的直角三角形，高为8，即A