2020年北京市清华大学强基计划数学试卷

PAGE16页（16页）2020年北京市清华大学强基计划数学试卷一、解答题x2+y2≤1x2+xy﹣y2的最值．二、选择题ABC中，BC＝AC，O，P分别为△ABC的外心和内心，DBCOD⊥BP，下列选项正确的是（ ）A．BODP四点共圆C．OD∥AB

B．OD∥ACD．DP∥AC三、解答题3．A，B，C均为{1，2，3，…，2020}子集，且A⊆C，B⊆C，问有序的（A，B，C）共有多少？四、选择题4．a0＝0，|ai+1|＝|ai+1|A＝|A．A可以等于0C．A可以等于10

ak|（

B．A可以等于2D．A可以等于125．P为椭圆 + ＝1上一点，（1，，（，1，求A|B的最值．6．△ABC三边均为整数，且面积为有理数，则边长a可以为（ ）A．17．P为双曲线

B．2 C．3 D．4﹣2＝1上一点，A（﹣2，0，B（2，0，令∠B＝α，∠A＝β，下列为定值的是（ ）tanαtanβC．S△PABtan（α+β）tan tanD．S△PABcos（α+β）甲、乙、丙做一道题，甲：我做错了，乙：甲做对了，丙：我做错了，老师：仅一人对且一人说错，问以下正确的是（ ）甲对C．丙对

B．乙对D．以上说法均不对Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝的是（ ）

，BC＝1， + + ＝，以下正确A．∠APB＝120°arctan

B．∠BPC＝120°＝（ ）

C．2BP＝PC D．AP＝2PCπ五、填空题

π C． D．从0﹣9共10个数中任取5个组成一个5位或4位（0在首位数，则该数被396整除概率为 ．随机变量X等于k的概率为为X除以3的余数，求Y的数学期望E（Y．+﹣2则||的最值为（ ）最大值为4B．最大值为2C．最小值为0 D．最小值为14．x，y∈N+，下列说法正确的是（ ）x2+2yy2+2x可以均为完全平方数x2+4yy2+4x可以均为完全平方数x2+5yy2+5x可以均为完全平方数x2+6yy2+6x可以均为完全平方数sin（arctan1+arccos +arcsin ）＝ ．已知函数f（x）＝为 ．

+sinx，则f（x）在[﹣2，2]上的最大值与最小值之和17．f（x）的图象如图所示，f（x）与直线x＝a，x＝t，x轴围成图形的面积为S（t，问S'（t）的最大值为 ，f'（x）的最大值为 ．2020年北京市清华大学强基计划数学试卷参考答案与试题解析一、解答题x2+y2≤1x2+xy﹣y2的最值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】设x＝rcosθ，y＝rsinθ，则

，结合三角函数的图象与性质以及辅助角公式即可求得最值．【解答】解：设＝rsθ，＝rn，其中∈[0，π，r2[0，1]，∴ ，又因为r2∈[0，1]，故x2+xy﹣y2的最小值为，最大值为．【点评】本题考查不等式的最值，考查三角函数换元法的应用，三角函数的图象与性质，属于中档题．二、选择题ABC中，BC＝AC，O，P分别为△ABC的外心和内心，DBCOD⊥BP，下列选项正确的是（）A．BODP四点共圆C．OD∥ABB．OD∥ACD．DP∥AC【考点】三角形五心．DO∩BP＝R，EAB中点，推导出∠DRP＝∠CEB＝90BROP＝∠ABP＝∠CBE，且∠PDB＝∠POB，从而∠PDB＝∠POB＝2∠BCE＝∠ACBDP∥ACOD∩DP＝P，PD∥ACODACOD⊥BP，BPAB的夹角小于90ODAB相交．【解答】DO∩BP＝R，EAB则∠DRP＝∠CEB＝90°，∴O，R，E，B共圆，∵P为△ABC的内心，∴∠CBP＝∠RBE＝∠ROP，∴B，O，D，P共圆，故A正确；∵B，D，O，P共圆，∴∠ROP＝∠ABP＝∠CBE，且∠PDB＝∠POB，∵O是△ABC的外心，∴OC＝OB，，∴∠PDB＝∠POB＝2∠BCE＝∠ACB，∴DP∥AC，故D正确；∵OD∩DP＝P，PD∥AC，∴OD与AC相交，故B错误；∵OD⊥BP，BPAB90°，∴ODABC错误．故选：AD．【点评】本题考查命题真假的判断，考查四点共圆、三角形内心、外心等基础知识，考查化归与转化思想，考查创意意识、应用意识，是中档题．三、解答题3．A，B，C均为{1，2，3，…，2020}子集，且A⊆C，B⊆C，问有序的（A，B，C）共有多少？【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】这是一道有关集合子集个数的排列组合规律题，需要进行分类讨论【解答】解：当C为空集时，AB均为空集，这样（A，B，C）个数为1；C1A2种可能、B2种可能，这样（A，B，C）2×2×；C2个元素时，A22种可能、B22种可能，这样22×22×；C3个元素时，A23种可能、B23种可能，这样23×23×；…C2020个元素时，A22020种可能、B22020种可能，这样（A，B，C）个数为；故答案为：【点评】本题需要根据集合C元素的个数分类讨论，再用排列组合的思想对有序集合A、B四、选择题4．a0＝0，|ai+1|＝|ai+1|，令A＝|A．A可以等于0C．A可以等于10【考点】进行简单的合情推理．

ak|（

B．A可以等于2D．A可以等于12【分析】进行简单的合情推理，找到可能的情况即可．【解答】解：因为a0＝0，|ai+1|＝|ai+1|，所以ai+12＝ai2+2ai+1，i ai+12﹣a2＝2ai 2 1 所以a2﹣a2＝2a+12 1 3 2 a2﹣a2＝2a+13 2 ……21 20 a 2﹣a 2＝2a +121 20 21 1 所以a 2﹣a2＝2a+20，21 1 所以A＝| ak|＝| |＝| |，由题意可知A为正整数，21所以a 2只能为12，32，52，…，212，共11组不妨设a21＝2k﹣1，k＝1，3，5，…，11，21则A＝||＝|2k（k﹣1）﹣10|，k＝1，3，5，…，11，k＝1时，A＝10k＝3时，A＝2，结合选项可知BC．故选：BC．【点评】本题考查逻辑推理能力，属于中档题．5．P为椭圆+＝1上一点，（1，，（，1，求A|B的最值．【考点】椭圆的性质．【分析】判断A是椭圆的右焦点，利用椭圆的定义，转化求解|PA|+|PB|的最小值．【解答】解：椭圆，

+ ＝，可得左焦点（﹣1，，右焦点（1，，如图所示．∵|PF|+|PA|＝2a＝4，|PB|+|FB|≥|PF|，∴|PA|+|PB|≥|PA|+|PF|﹣|FB|＝4﹣|BF|≥4﹣∴|PA|+|PF1|的最小值为4 ，

，当且仅当三点P，A，F共线时取等号，∴|PA|+|PB|＝|PB|+4﹣|PF|，∴|PA|+|PB|∈[4﹣|FB|，4+|FB|]，，，∴|PA|+|PB|的最大值是4+．最小值为4．最大值为4+．【点评】大小关系、三点共线，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．△ABC三边均为整数，且面积为有理数，则边长a可以为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】三角形的面积公式．【分析】首先判断a＝1，2不成立，再由边长3，4，5构成的三角形，计算面积，即可得到结论．【解答】a＝11，1，11，2，2积不为有理数；若a＝2，三角形的三边只能是2，2，2；1，2，2；2，2，3；2，3，3；2，3，4；它们构成的三角形的面积不为有理数；由3，4，5为三角形的三边，可得32+42＝52，其面积S＝×3×4＝6，a＝3故选：CD．【点评】本题考查三角形的面积的求法，以及运算能力和判断能力，属于基础题．7．P为双曲线﹣2＝1上一点，A（﹣2，0，B（2，0，令∠B＝α，∠A＝β，下列为定值的是（ ）tanαtanβC．S△PABtan（α+β）【考点】双曲线的性质．tan tanD．S△PABcos（α+β）可设P（n，代入双曲线的方程，求得直线AB的斜率之积为定值，即可得到所求结论．【解答】解：可设（m，m2﹣4＝4n2，

﹣n2＝1，则kPAkPB＝＝ ＝ ＝可得tanαtanβ＝﹣为定值，由（﹣•＝±，【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及直线的斜率公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．甲、乙、丙做一道题，甲：我做错了，乙：甲做对了，丙：我做错了，老师：仅一人做对且一人说错，问以下正确的是（）A．甲对C．丙对B．乙对D．以上说法均不对【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据题意进行分析，分别假设甲、乙、丙做对了，由此推出结论．【解答】解：假设甲做对了，则乙、丙做错：则乙、丙的说法正确，符合题意；假设乙做对了，则甲、丙做错：则甲、丙说法正确，符合题意；假设丙做对了，则甲、乙做错：则乙、丙说法错误，甲说法正确，符合题意．故甲说法正确．故选：AB．【点评】本题主要考查推理和证明，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝的是（ ）

，BC＝1， + + ＝，以下正确∠APB＝120° B．∠BPC＝120° C．2BP＝PC D．AP＝2PC【考点】平面向量的基本定理．【分析】根据平面向量的平行四边形法则判断A，B，构造相似三角形判断C，D．【解答】解：在直线PA，PB，PC上分别取点M，N，G，使得||＝1，以PM，PN为邻边作平行四边形PMQN，则 ＝ ，∵ + + ＝，即+＝，∴ ＝，∴P，G，Q故△PMQ和△PNQ均为等边三角形，∴∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°，故A正确，B正确；，BC＝1，∠ABC＝90°，∴AC＝2，∠ACB＝60°，在△ABC外部分别以BC、AC为边作等边三角形BCE和等边三角形ACD，则B，C，D三点共线，A，P，E三点共线，∴∠BCD＝120°，故∠BCD＝∠BPC，∴△BPC∽△BCD，∴，即PC＝2BP，故C正确同理可得：△APC∽△ACB，∴＝2，即AP＝2PC，故D正确故选：ABCD．【点评】本题考查平面向量的几何运算，三角形相似等，构造相似三角形是难点．＝（ ）A．π B．π D．【考点】数列的极限．【分析】因为，所以 ＝，进而求得极限值．【解答】解：设 ，则 ，∴，tanα＝k+1，tanβ＝k﹣1，即 ，所以 ＝arctan2﹣arctan0+arctan3﹣arctan1+arctan4﹣arctan2+…+arctan（n+1）﹣arctan（n﹣1）＝∴ ．故选：A．【点评】本题考查反三角函数得概念，正切函数的和差公式，考查裂项相消法求和以及数列的极限，综合性比较强，属于难题．五、填空题从0﹣9共10个数中任取5个组成一个5位或4位（0在首位数，则该数被396整除概率为 ．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】396＝9×4×11，先考虑被9整除的组合，再考虑被11整除，最后考虑被4整除，求出所有情况数，由此能求出该数被396整除概率．【解答】解：396＝9×4×11，先考虑被9整除的组合，（1，（2，（3，（4，，任意两组，加上，9（1）（1，，3，，8（，2，，5，（1，，4，，6（）（1，，6（，3，（2，，4，加上0，（）再考虑被11（1）中只能加，最后考虑被4（，2，，5，）（，3，）加上0，9舍去，

+＝8，

＝48，中所有情况数为综上共有：8+8+48＝64种情况，∴该数被396整除概率为P＝ ＝．故答案为：．【点评】本题考查古典概型的计算，涉及排列数公式的应用，考查分类讨论思想和运算求解能力，属于中档题．随机变量X等于k的概率为为X除以3的余数，求Y的数学期望E（Y．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】由题意可知，Y的取值只有0，1，2，求出相应的概率，进而求出期望．【解答】解：由题意可知，Y的取值只有0，1，2，当Y取0时，X为3的倍数，此时的概率构成一个以 为首项，为公比的等比数列，此时概率等于所有项的和P（X＝k）＝ ＝；当Y取1时为3的倍数加此时的概率构成一个以为首项，为公比的等比数列此时概率等于所有项的和P（X＝k）＝ ＝；当Y取2时为3的倍数加此时的概率构成一个以为首项，为公比的等比数列，此时概率等于所有项的和P（X＝k）＝ ＝；＝．【点评】本题考查了等比数列所有项的和的求法，统计概率中的期望的求法，比较抽象，学生不易理解，属于难题．六、选择题+﹣2则||的最值为（ ）最大值为4B．最大值为2C．最小值为0 D．最小值为2【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】先根据平面向量的线性运算结合三角形中两边之差少于第三边的性质可以得到，进而求出||的最大值（注意验证取等再根据平面向进而求出|的最小（注意验证取等．【解答】解：∵ ，∴，，由柯西不等式知（*）右端当

，∴，时取到等号，，当 时， 故选：BC．【点评】本题考查平面向量的线性运算，考查三角形中的性质，属于中档题．14．x，y∈N+，下列说法正确的是（ ）x2+2yy2+2x可以均为完全平方数x2+4yy2+4x可以均为完全平方数x2+5yy2+5x可以均为完全平方数x2+6yy2+6x可以均为完全平方数【考点】进行简单的合情推理．【分析】利用反证法及举例法分析即可．【解答】解：A：x2+2y与y2+2x由对称性不妨设x≤y，则y2+2x≤y2+2y＜y2+2y+1＝（y+1）2，而y2+2x＞y2，且大于y2的最小完全平方数是（y+1）2，故y2+2x≥（y+1）2，这与上述矛盾，A错误；B：x2+4y与y2+4x：不妨设x≤y，则y2+4x≤y2+4y＜y2+4y+4＝（y+2）2，而y2+4x≥（y+1）2，故y2+4x＝（y+1）2＝y2+2x+1⇔4x＝2y+1，x2+4y＝x2+8x﹣2⇔（x+4）2﹣t2＝18，（4﹣t（+t）＝18，此时无解，B错误；选项C，只需令x＝y＝4，则两个式子都等于36，满足要求；Dx＝y＝216故选：CD．【点评】本题考查对于完全平方知识的灵活运用，属于中档题目．sin（arctan1+arccos【考点】反三角函数．

+arcsin ）＝1 ．【分析】根据反三角函数的定义，求出各自对应角，进而求出结论．【解答】解：设arctan1＝α，则α＝ ，arccosarcsin

＝β＝γ，则si