用空间向量法求解立体几何问题

用空间向量法求解立体几何问题以多面体为载体，以空间向量为工具，来论证和求解空间角、距离、线线关系以及线面关系相关问题，是近年来高考数学的重点和热点，用空间向量解立体几何问题，极大地降低了求解立几的难度，很大程度上呈现出程序化思想。TOC\o"1-5"\h\z预备知识I向量的直角坐标在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一点A,对应一个向量OA，存在唯一的有序实数组x,y,z，使OA=xi+yj+zk在单位正交基底i,j,k中与向量OA对应的有序实数组(x,y,z)，叫做点A在此空7/0y/J间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵尸/坐标，z叫做点A的竖坐标.■'\设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),AB=OB-OA=(x2,,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.空间向量坐标运算法则，关键是注意空间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在利用向量的坐标运算判断空间几何关系时，首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标。Eg如图在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，取D点为原点建立空间直角坐标系，O、M、P、Q分别是AC、DD］、CC］、A］B］的中点，写出下列向量的坐标.AM=虱AM=虱=P0=空间向量运算公式a1>=孔七…七1a1b<=>+yTy3+x由=Q如=九a-bcos0=_|户ahb利用空间向量解决立体几何的知识和基本求解方法一：利用空间向量解证平行、垂直关系①所谓直线的方向向量，就是指的向量，一条直线的方向向量有个。②所谓平面的法向量，就是指所在直线与平面垂直的直线，一个平面的法向量也有个。线线平行证明两条直线平等，只要证明这两条直线的方向向量，也可以证这两条直线平行于同一个平面的法向量。3线面平行证明方法：证明直线的方向向量与平面的法向;证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量;4.面面平行的证明方法：(1)转化为、处理；(2)证明这两个平面的法向量是。5利用空间向量解证垂直关系⑴.线线垂直：证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量；⑵.线面垂直的证明方法：证明线面垂直的方法是证明这两条直线的方向向量；证明直线与平面内的—⑶.面面垂直的证明方法：TOC\o"1-5"\h\z①转化为证明、:②证明这两个平面的法向量是。Eg1.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3,BC=4,AA=4,点D是AB的中点，(I)求证：AC±BC1；(II)求证：ACJ/平面CDB1；强化巩固训练正方体ABCD—ABCD中，M是DD的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱AB上1111111任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是()A：B彳C:D与P点的位置有关432空间中有四点A,B,C,D，其中AB=(2m,m,2)，CD=(m,m+1,—5)，且AB+CD=(5,?,-3)，则直线AB和CD()A平行B平行或重合C必定相交D必定垂直3以下向量中与向量"a=(1,2,3)，"b=(3,1,2)都垂直的向量为()"1,牵)B.(1,-7,5)C.(—1，—7,5)D.(1，-7，-5)二：利用空间向量求空间角（1）两条异面直线所成的夹角范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围。向量求法：设直线a,b的方向向量为ab，其夹角为。，则有cos0=.（2）直线与平面所成的角定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。范围：直线和平面所夹角的取值范围。向量求法：设直线I的方向向量为a，平面的法向量为n，直线与法向量所成角的余弦值为Icos01=.直线与平面所成的角为中，则有sin中=.或在平面内任取一个向量m，则Icos0I=..（3）二面角二面角的取值范围.二面角的向量求法：定义法：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的即为所求的二面角的大小；三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；法向量：设n，n分别是两个面的，则向量n与n的夹角（或其补角）即为所求二1212面角的平面角的大小。题型1：异面直线所成的角例1、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E为棱AB的中点。求：D1E与平面BC1D所成角的大小（用余弦值表示）题型2：直线与平面所成的角例2、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，匕ACB=90。，侧棱A%=2,D、E分别是CC1与叩的中点，点E在平面ABD上的射影是^ABD的重心G。求％B与平面AbD所成角的大小（结果用余弦值表示）；1题型3：二面角例3、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PAL平面ABCD,PA=AB=a,E为BC中点。求平面PDE与平面PAB所成二面角的大小(用正切值表示)；求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。F强化巩固训练3_1、如图，正三棱柱ABC-ABC的底面边长为3,侧棱AA=—v'3,D是CB延长线上一点,、,111,1,,且BD=BC。求二面角B1-AD-B的大小。AACyBBDxAACyBBDx2.如图所示：边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=q,ED//AF且ZDAF=90°o求BD和面BEF所成的角的余弦；线段EF上是否存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，若存在，求EP与PF的比值；若不存在，说明理由。三：利用空间向量求空间距离点面距离的向量公式平面a的法向量为n,点P是平面a外一点，点M为平面a内任意一点，则点P到平面a的_…In-MPI距离d就是，即d=.InI线面、面面距离的向量公式平面a〃直线/,平面a的法向量为n,点MEa、p—i,平面a与直线I间的距离d就是MP在向量n方向射影的绝对值，即d=.平面a〃b,平面a的法向量为n,点MEa、P』,平面a与平面&的距离d就是MP在向量n方向射影的绝对值，即d=In：MPI.InI异面直线的距离的向量公式设向量n与两异面直线a、b都垂直，MEa、PEb,则两异面直线a、b间的距离d就是MP…In-MPI在向量n万向射影的绝对值，即d=.InI题型1：异面直线间的距离例1、如图2,正四棱锥S-ABCD的高SO=2,底边长AB=\2。求异面直线BD和SC之间的距离？题型2：点面距离例2、如图，已知ABCD为边长是4的正方形，E,F分别是AB,AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。GCEBGCEB题型3：线面距离例3、已知正三棱柱ABC—AiBiCi的底面边长为8,对角线BiC=10，D是AC的中点。（1）求点B1到直线AC的距离。（2）求直线ABi到平面CiBD的距离。例4、如图，已知边长为4切的正三角形ABC中，E、F分别为BC和如的中点，PA±面ABC，且PA=2，设平面a过PF且与AE平行。求AE与平面a间的距离？强化巩固训练i.长方体ABCD—A^RD］中，AB=4，AD=6，AA】=4，M是AiCi的中点，P在线段BC上，且ICPI=2，Q是DD］的中点，求：（i）异面直线AM与PQ所成角的余弦值；（2）M到直线PQ的距离；（3）M到平面ABiP的距离。空间向量与立体几何训练题1.已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的底△ABC为直角三角形，/C=90°；侧棱与底面成60。角，81点在底面射影D为BC中点:若侧面AABB与CCBB成30°的二面角，BC=2cm,则四棱锥A—BBCC111111的体积是()1111Bl12桓2百2右2技欠Acm3B.cm3Ccm3Dcm32332*7%C在空间四边形ABCD中，AB=BC,CD=DA,E,F,G分别是CD,DA和对角线AC的中点，则平面BEF与平面BDG的位置关系是设正四棱锥S-ABCD的侧棱之长为枝，底面边长为幅，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角等于对于向量a，b，定义aXb为向量a，b的向量积，其运算结果为一个向量，且规定aXb的模|aXb|=|a||b|sin0(其中0为向量a与b的夹角)，aXb的方向与向量a，b的方向都垂直，且使得a，b，aXb依次构成右手系.如图，在平行六面体ABCD-EFGH中,ZEAB=ZEAD=ZBAD=60°，AB=AD=AE=2，则(ABxAD)-AE=()A.4B.8C.2侦2D.4t2如图，四棱锥P-ABCD中，PA^平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，且AB//CD，ABAD=90，PA=AD=DC=2，AB=4。(1)求证：BC±PC；(2)求点A到平面PBC的距离。第5题如图，所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(I)求(I)求BF的长；(II)求点C到平面AEC.F的距离.TOC\o"1-5"\h\z如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，_H是正方形AABB的中心，AA=^；'2，CH±平面AABB，且CH=%；5.求异面直线Ac与ab所成1角的余弦值；111求二面角A—A£—BW正弦值；设N为棱BC的中点，点M在平面AABB内，且MN±平面ABC，求线段BM的长.1111111cIC,8.[2011•四川理]如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，8.[2011•四川理]如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，ZBAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P=A1C1，连结AP交棱CC1于点D.1119.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA1底面ABCD,AB=*,BC=1，PA=2，E为PD的中点.求直线AC与PB所成角的余弦值；在侧面PAB内找一点N，使NE1面PAC，并求出点N到AB和AP的距离.第9题10已知正方体ABCD-ABCD的棱长为a.(1)求点C到平面ABD的距离；(2)求平面CDDC与平面ABD所成的二面角余弦值11.已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，/DAB=90,PA1底面ABCD，且PA=AD=DC=-，AB=1，M是PB的中点。A证明：面PAD1面PCD；求AC与PB所成的角；求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值。

12.如图，PA±平面ABC