质量(1-1 概率基础知识)

PAGEPAGE27全国质量专业技术人员职业资格考试考前培训质量专业理论与实务（中级）第一章概率统计基础知识§1概率基础知识培训教师：章军（辽宁大学）20131.1事件与概率1.1.1随机现象[掌握]★在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象（randomphenomenon）。▲随机现象特点：①随机现象的结果不唯一（至少有2个）；②究竟哪一个结果出现，事先并不知道。★在一定条件下，总是出现相同结果的现象称为确定性现象或决定性现象（deterministicphenomenon）。比如，抛硬币、掷骰子，观察其出现的结果，都是随机现象。而太阳从东方出，同性电荷相斥、异性电荷相吸，则是确定性现象。【例1.1-1】随机现象的其他例子：（1）一天进入某超市的顾客数；（2）一顾客在超市中购买的商品数；（3）一顾客在超市排队等候付款的时间；（4）一颗麦穗上长着的麦粒数；（5）新产品在未来市场的占有率；（6）一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间；（7）加工某机械轴直径的误差；（8）一罐午餐肉的重量。随机现象在质量管理中到处可见。▲认识一个随机现象首要的是罗列出它的一切可能出现的基本结果。【注】这里的基本结果（basicresult），是指随机现象中不可再拆分成其他结果的结果。比如，掷骰子，“出现点”就是一个基本结果；而“出现奇数点”则不是基本结果，因为“出现奇数点”还可拆分为“出现点”、“出现点”、“出现点”等不同的结果。★随机现象的每一个基本结果称为一个样本点（samplepoint），记为。★随机现象一切可能基本结果的全体（即全部样本点的集合）称为样本空间（samplespace），记为。1.1.2随机事件[掌握]★随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件（randomevent），简称事件（event），常用大写字母、、等表示。随机事件的特征①任一事件是相应样本空间的一个子集。我们要学会用Venn图表示（一般用矩形表示样本空间，用包含在矩形中的圆或椭圆表示事件）。②事件发生当且仅当中某一样本点出现：且出现发生；且出现不发生。③事件既可用集合表示，亦可用语言表示。用语言表示时，必须简捷扼要，明白无误。比如，掷骰子，事件用语言表示时，表示成“出现的点数为，或”就不如表示成“出现的点数不超过”。★样本空间最大子集是它本身，其对应的事件称为必然事件（certainevent），也记为。★样本空间最小子集是空集，其对应的事件称为不可能事件（impossibleevent），记为。上面介绍的几个概念是与集合论中的几个概念相对应的。现比较如下：记号集合论名称概率论名称元素（element）样本点全集（universalset）样本空间必然事件空集（emptyset）不可能事件集合（set）随机事件上述概念都是使用集合论语言定义的。我们可以使用日常语言来定义：☆在一定条件下可能发生（也可能不发生）的事件称为随机事件；☆在一定条件下一定发生（必然发生）的事件称为必然事件；☆在一定条件下一定不发生（不可能发生）的事件称为不可能事件。【注】请大家注意，必然事件和不可能事件都不是随机事件！当然，也可以把它们理解成为随机事件的两种极端情形。现将随机事件、必然事件、不可能事件这3个概念比较如下：随机事件必然事件不可能事件出现结果不唯一唯一唯一发生；不发生发生不发生事先知否不知已知已知所含样本点含样本点，非全部含样本点，全部不含样本点事件属性随机现象确定性现象确定性现象大家要会判断一个事件是随机事件，必然事件，还是不可能事件。【例】在平面上随意画一个三角形，判断下列事件：“所画三角形有钝角”；“所画三角形有直角”；“所画三角形有锐角”；“所画三角形有两个钝角”；“所画三角形有两个直角”；“所画三角形有两个锐角”；“所画三角形内角和等于”；“所画三角形内角和等于”；“所画三角形内角和等于”；“所画三角形为钝角三角形”；“所画三角形为直角三角形”；“所画三角形为锐角三角形”。显然，、、、和为随机事件，、和为必然事件，而、、和为不可能事件。【例】在一副扑克牌的♠2、♣2、♥2和♦2这张牌中任意抽取出张，则“抽到♥2或♦2”是随机事件，“抽不到♠3”是必然事件，“抽到♣5”是不可能事件。【例1.1-2】产品只区分为“合格”（记为“”）与“不合格”（记为“”）。①“检查两件产品”这一随机现象的样本空间含有个样本点：。“至少有一件合格品”；（语言表示）（集合表示）“至少有一件不合格品”；（语言表示）（集合表示）“恰好有一件合格品”；（语言表示）（集合表示）“至多有两件合格品”（语言表示）（集合表示）“有三件不合格品”。（语言表示）（集合表示）②“检查三件产品”这一随机现象的样本空间含有个样本点：。“至少有一件合格品”；（语言表示）（集合表示）“至少有一件不合格品”；（语言表示）（集合表示）“恰好有一件不合格品”；（语言表示）（集合表示）“恰好有两件不合格品”；（语言表示）（集合表示）“全是不合格品”；（语言表示）（集合表示）“没有不合格品”；（语言表示）（集合表示）请大家注意，在①与②中，事件都是“至少有一件合格品”，但前者只有个样本点，而后者却有个样本点（在①与②中，事件都是“至少有一件不合格品”，但也是前者只有个样本点，而后者有个样本点）。为什么在两种情形下，事件用语言表示时是相同的，可是用集合表示时却完全不同呢？理由很简单，就是因为在两种情形下的样本空间改变了，而“事件是相应样本空间的一个子集”（参见随机事件的特征①）。随机事件之间的关系首先声明，下面遇到的两个随机事件与都在同一个随机现象中，即与都来自于同一个样本空间。★包含（inclusion）：两个随机事件与，若事件发生，必然导致事件发生（即发生发生），则称包含，或包含于，此时也称是的特款（special

section），记为或。显然，对任一事件，有。★相等（equal）：两个随机事件与，若事件与事件互相包含，即若事件发生，必然导致事件发生，而若事件发生，必然导致事件发生（即发生发生），则称与相等，记为。【注】“相等”是“包含”的特例（即相等包含；包含相等）。★互不相容（exclusion）：两个随机事件与，若事件与事件不同时发生（即发生不发生，发生不发生），则称与互不相容（或称与互斥）。[掌握]【注】此关系可推广至更多个事件。比如，若、、中任意两个事件不同时发生，则称它们互不相容。★对立（opposite）：两个随机事件与，若事件与事件不同时发生，且不同时不发生（即发生不发生，发生不发生），则称与对立（或称与互逆）。【注】“对立”是“互斥”的特例（即对立互斥；互斥对立）。大家要会判断两个事件的关系是互斥的还是对立的。【例】判断下面两对事件关系：“下一任卫生部长是北京人”，“下一任卫生部长是上海人”；“下一任卫生部长是中共党员”，“下一任卫生部长是党外人士”。显然，与是互斥关系，但非对立关系；而与则不仅是互斥关系，而且也是对立关系。【注】教材是对上述几种关系都是用集合论的语言叙述的。摘抄如下：①若事件中的任一样本点必在中，则称包含。②若事件与含有相同的样本点，则称与相等。③若事件与没有相同的样本点，则称与互不相容。这些定义与我给的定义等价，但在实际应用中不是很方便。比如，教材上例子，掷两颗骰子，与分别为第一与第二颗骰子出现的点数，事件与分别为，。教材上写的是“可以验证与含有相同的样本点，故”。而这样验证，需先分别将与所含样本点都写出来，并一一对照加以验证，实在太繁琐。其实，不必验证与含有相同的样本点，只需验证与互相包含即可：若发生，则奇数，故与的奇偶性不同，即发生，所以包含；反之，若发生，则与的奇偶性不同，故奇数，即发生，所以包含。事实上，由于随机事件是样本点的集合，所以随机事件之间的关系就是集合之间的关系。现就与的关系比较如下：集合与关系事件与的关系相交包含真包含相交包含真包含互包含(相等)互包含(相等)不包含不包含不相交相离不相交互斥（互不相容）互补（互余）对立（互逆）1.1.3事件的运算[熟悉]事件的逆运算★事件经过如下逆运算（inverseoperation）得到的新事件称为的对立事件（opposing

event）或的逆（inverse）：“不发生”。【注】①一般读成“非”；②与对立且（即与互为对立事件，故“对立”也称为“互逆”）。大家要能够熟练地写出某事件的对立事件。【例】检查件产品，若“至多有件合格品”，“至少有件合格品”，则“至少有件合格品”，“至多有件合格品”。事件的并运算★两个事件与经过如下并运算（unionoperation）得到的新事件称为与的并（union）：“发生或发生”“与至少发生其一”。【注】①一般读成“并”（因符号“”像杯子，所以也读成“cup”）；②；③，；④；⑤个事件，，…，之并（简记为）表示事件“，，…，至少发生其一”。事件的交运算★两个事件与经过如下交运算（intersectionoperation）得到的新事件称为与的交（intersection）：“发生且发生”“与同时发生”。【注】①一般读成“交”（因符号“”像帽子，所以也读成“cap”）；②也记为（直接读“”）；③；④，；⑤与互斥（特别，）；⑥个事件，，…，之交（简记为或）表示事件“，，…，同时发生”。事件的差运算★两个事件与经过如下差运算（differenceoperation）得到的新事件称为与的差（difference）：“发生且不发生”“发生且发生”“与发生同时发生”。【注】①；②；③。事件运算的性质①交换律：，；②结合律：，；③分配律：，；④对偶律：，。【注】“对偶律”也称为德·摩根定律（deMorgan’slaw），一般可表达为，。1.1.4概率——事件发生可能性大小的度量[掌握]我们应该先明确几点：①认识一个随机现象，当然需要事先知道可能出现哪些结果，但仅仅知道这些是远远不够的。在实际生活中，人们不仅关心随机现象可能会出现哪些结果；人们同样关心（或者更关心）每一种结果出现的可能性大小。②随机事件发生的可能性是有大小之别的。③随机事件发生的可能性大小是可度量的。★一个随机事件发生可能性的大小称为这个事件的概率（probability），记为。【注】①概率是介于到之间的数，即；②，。1.2概率的古典定义与统计定义到目前为止，我们只是知道什么叫概率，但还不知道怎样求概率。下面介绍两种最主要的方法。1.2.1概率的古典定义[熟悉]此定义最早由拉普拉斯（Laplace）于1812年给出，故亦称拉普拉斯定义。定义要点①样本空间的有限性即样本空间只有有限个样本点（为有限集合），设共有个样本点（样本点总数[记]为）。②样本点出现的等可能性即每个样本点出现的可能性相同（机会均等）。③概率公式若事件含有个样本点（有利场合数[记]为），则的概率为。【注】①上述①②两条是前提条件，第③条是公式，不满足任何一个前提条件，公式都不能应用。②在实际问题中，如何判断样本点出现的等可能性呢？拉普拉斯给出了不充分理由律：若没有充分理由说明哪个样本点出现的可能性更大或更小，则应该认为各个样本点出现的可能性是相同的（这类似于法律中的“无罪假定”[presumptionofinnocence]原则）。③符合上述条件的概率模型称为古典概型（classicalprobabilitymodel）。【例】飞机起飞后有种可能：安全抵达，出现险情排除，坠毁（即。设“飞机坠毁”，则，应用古典概率公式，得。这个结论显然是错误的。错在它不满足第②个前提条件，即它不是古典概型。排列与组合应用古典概率公式常需要排列与组合公式（这是两类计数公式），而它们的获得都基于两条计数原理，即加法原理（additionprinciple）和乘法原理（multiplicationprinciple）。▲加法原理：若做一件事有类方法，其中第类有种方法，第类有种方法，…，第类有种方法，则完成这件事共有种方法。▲乘法原理（也称分步计数原理）：若做一件事需个步骤，其中第步有种方法，第步有种方法，…，第步有种方法，则完成这件事共有种方法。【注】在实际问题中，判断是应用加法原理还是乘法原理，只需看、、…、这些种方法之一是否可以独立地完成这件事：若是，则应用加法原理；若不是，则应用乘法原理。▲排列：从个不同元素中任取个元素（）排成一列称为一个排列（permutation或arrangement）。其中，当时的排列称为选排列（selectedpermutation），当时的排列称为全排列（fullpermutation）。各种排列的个数称为排列数（numberofpermutations），记为（或）。全排列数记为（或）。由乘法原理可得出排列数公式个…，故，即。特别，全排列数公式为。比如，从写有1、2、3、4的张卡片中任意抽取张，按抽取顺序排列，便得到一个2位数，这样一共可以得到个2位数。而若每次将张卡片全取，按抽取顺序排列，便得到一个4位数，这样一共可以得到个4位数。【注】①由全排列数公式及可知,规定是合理的。②上述排列都是不重复排列（non-repeatedpermutation）。如果从个元素中任取的个元素是可以重复的（这时不要求），则这样的排列就称为可重复排列（beingduplicatedpermutation）。个…利用乘法原理，容易得出可重复排列数公式。个比如，从写有1、2、3、4的张卡片中有放回地任意抽取张，按抽取顺序排列，便得到一个2位数，这样一共可以得个2位数（注意，比放回抽取多了个数，即11、22、33和44）。▲组合：从个不同元素中任取个元素（）并成一组（不考虑所取元素之间的顺序）称为一个组合（combination）。各种组合的个数称为组合数（numberofcombinations），记为或。从个不同元素中任取个元素的排列，可分为个步骤：从个不同元素中任取个元素构成一个组合；将选出的个元素数全排列。由乘法原理知，其排列数为，反过来便可得到组合数公式：。【注】①排列与组合的区别在于，前者讲究取出元素间的次序，而后者则不讲究取出元素间的次序。②其实组合也分为不重复组合与可重复组合，只是在我们这门课中所涉及到的组合都是不重复组合。③由组合数公式可知，，所以，，且。这几个结论最好熟记，以后会用到。例题【例1.1-3】掷颗骰子，与分别为第一与第二颗骰子出现的点数，其样本空间为，利用排列组合知识可知，这是选的可重复排列，故样本点总数，且样本点的出现具有等可能性。求如下事件的概率：（1）“点数之和为”；（2）“点数之和为”；（3）“点数之和超过”；（4）“点数之和大于小于”。这显然是古典概型。我们先来看教材上的解法：（1），即有利场合数，故所求概率为；（2），即有利场合数，故所求概率为；（3），即有利场合数，故所求概率为；（4），即有利场合数，故所求概率为。【注】教材上这种作法不是最好的，太繁琐。其实，应用古典概率公式时，我们只需知道和，即只需知道样本空间和随机事件分别含有多少个样本点，而不需具体知道它们分别含有哪些样本点。由于本题涉及到“点数之和”，而若点数之和为某一常数，则当第一个骰子的点数确定之后，第二个骰子的点数也就确定了。我们重新作一下上题：（1）由于“点数之和为”，所以第一个骰子只能是这一个点数，即有利场合数，故所求概率为；（2）由于“点数之和为”，所以第一个骰子只能是、、、这个点数，即有利场合数，故所求概率为；（3）由于“点数之和超过”，所以应该点数之和为（第一个骰子只能是、、这个点数）、（第一个骰子只能是、这个点数）和（第一个骰子只能是这个点数），即有利场合数，故所求概率为；（4）由于“点数之和大于小于”，所以应该点数之和为（第一个骰子只能是、、这个点数）、（第一个骰子只能是、、、这个点数）和（第一个骰子只能是、、、、这个点数），即有利场合数，故所求概率为。与教材上的作法相比，上述第二种作法的好处在于，我们没有写出事件所含的样本点就轻而易举地算出了它的有利场合数，而这样不仅会因为简便而提高作题速度，而且还不致由于漏写样本点而导致计算错误。同样，若事件“点数之积为”，则第一个骰子只能是、、、这个点数，即有利场合数，故其概率为。※【例1.1-4】一批产品共有个，其中不合格品有个，现从中随机取出个（），问事件“恰好有个不合格品”的概率是多少？【注】在抽样理论中，称为批量，称为批不合格品数，随机取出的个产品称为样本，称为样本量，称为样本不合格品数。为便于理解，我们先将题中字母都表为具体数字。比如，设，，，，这样原题就改为如下形式：一批产品共有个，其中不合格品有个，现从中随机取出个，问事件“恰好有个不合格品”的概率是多少？从个产品中随机取出个的取法种数是选的组合数，即样本点总数为，且每个样本点出现都是等可能的，所以这是古典概型。取出的个产品中有个不合格品，相当于分2个步骤抽取：先从个不合格品中随机取出个（取法种数是选的组合数），再从个合格品中随机取出个（取法种数是选的组合数）。由乘法原理知，事件的有利场合数为，所求概率为。将此结果改写为，并将其中的数字“翻译”为对应的字母，便得原题所求的概率为（）。【注】①一般称此例题的概率为超几何概率（hypergeometricprobability）。②在上述公式中，是的最大取值。因为取出的个不合格品包含在样本量为的样本中，所以；又因为这个不合格品取自批中个不合格品,所以。总之应有。比如，若，，，则，各事件的概率分别为：，，。注意，上述几个概率之和为，即。▲在超几何概率中，抽样方法是每次抽取一个，不放回，再抽取下一个，一共抽取次，这等价于只抽取次，同时抽取出个（不考虑先后次序）。这种抽样方法称为不放回抽样（samplingwithoutreplacement）。另一种抽样方法是每次抽取一个，记录抽取结果后将其放回，再抽取下一个，一共抽取次（须考虑先后次序）。这种抽样方法称为放回抽样（samplingwithreplacement）。请看下例：※【例1.1-5】一批产品共有个，其中不合格品有个，现从中有放回地随机取出个（），求事件“恰好有个不合格品”的概率。大家注意，此例与上例的差别仅在于抽样方法不同。为便于理解，我们还是先将题中字母都表为具体数字。比如，还是设，，，，这样原题就改为如下形式：一批产品共有个，其中不合格品有个，现从中有放回地随机取出个，问事件“恰好有个不合格品”的概率是多少？从个产品中有放回地随机取出个的取法种数是选的可重复排列数，即样本点总数为，且每个样本点出现都是等可能的，所以这仍是古典概型。这个产品所包含的个不合格品，可能出现在第次、第次、第次，12345678910可能出现在第次、第次、第次，12345678910可能出现在第次、第次、第次，12345678910…，还可能出现在第次、第次、第次，12345678910上述各种情况的种数为选的组合数（相当于我们先从个格子中选出个格子的选法种数）。而对这些种情况中的每一种情况，都可看做是先从个不合格品中有放回地随机取出个放在红色格子中（取法种数是选的可重复排列数），再从个合格品中有放回地随机取出个放在黄色格子中（取法种数是选的可重复排列数）。由乘法原理知，事件的有利场合数为，所求概率为，即。将这一结果中的数字“翻译”为对应的字母，便得原题所求的概率为（）。或改写为如下形式：，即（）。【注】①一般称此例题的概率为二项概率（binomialprobability）。②注意的最大取值是而与无关，这是因为采取放回抽样的方法，所以完全可以。③注意，一批产品的不合格品率（unqualifiedproductrate）为，而相应地，一批产品的合格品率（qualifiedproductrate）为，上述公式还可改写为（）或（）。▲超几何概率与二项概率是非常重要的两类概率模型，大家要熟记它们的区别及各自的概率公式。如前所述，二者的区别仅在于所采用的抽样方法不同：若是放回抽样，则应用二项概率公式；若是不放回抽样，则应用超几何概率公式。在后面的学习中还要经常用到这些知识。另外，今后作题时，若遇到未明确说明所采用的抽样方法是否为“放回抽样”，则一律视为采用“不放回抽样”的方法。1.2.1概率的统计定义[掌握]概率的统计定义要点有三：随机试验☆一般把对随机现象的观察就称为随机试验（randomexperiment），简称试验。比如，对“掷一颗骰子出现的点数”这一随机现象，每掷一次骰子，就是做了一次随机试验。【注】概率论是以随机现象为研究对象的数学学科。而这里所说的“随机现象”指的是大量性随机现象（而不是个别性随机现象），即在一定条件下可以反复出现的（从而可以反复观察[反复试验]的）随机现象。概率的统计定义要求：与事件有关的随机现象是可以大量重复试验的。随机事件发生的频率★若在次重复试验中，事件发生次，则事件发生的频率（frequency）为，即。频率在一定程度上能反映事件发生的可能性大小。【注】这里的频率公式与前面学过的古典概型概率公式，不仅二者的公式很相似，而且也有其他相似之处，比如，在公式中，因为，所以，即；在公式中，因为，所以，即。但二者也有本质区别：概率是两个“个数”之比，而频率则是两个“次数”之比：个数次数另外，概率是一个确定的数，而频率就不一定了（因为它与具体的试验有关：对不同的，不一定相同；即使对相同的，由于每次试验中事件发生的次数也不一定相同，从而也不一定相同）。这里事件发生的次数一般也称为发生的频数（frequence）。当我们固定重复试验次数，会发现，若越大，则频数也越大，说明事件发生的机会就越大；反之，若越小，则频数也越小，说明事件发生的机会就越小。所以我们说“频率在一定程度上能反映事件发生的可能性大小”。请注意，教材上没有“在一定程度上”几个字，不是很确切。比如，在“抛硬币”的随机试验中，设“出现正面”，若在先做的次试验中，发生了次，则频率为；若在再做的次试验中，发生了次，则频率为。如果说“频率能反映事件发生的可能性大小”，那么对上述事件，它发生的可能性到底是多大呢？是还是？！虽然频率不能像概率那样直接反映事件发生的可能性大小，但随着试验次数的增大，它还是会呈现出一定规律的，这一规律就是“频率稳定性”。频率稳定性频率将会随着重复试验次数的不断增加而趋于稳定。这一性质称为频率稳定性（frequencystability）。【注】前面说过，“概率论是以随机现象为研究对象的数学学科”，更确切地说，概率论是从量的侧面研究随机现象的统计规律性的数学学科。这里所谓的统计规律性（statisticalregularity）指的就是“频率稳定性”。▲根据频率稳定性，当试验次数不断增加，频率越来越趋于某常数（称为频率的稳定值），我们定义为事件发生的概率，即。这就是概率的统计定义（statisticaldefinitionofprobability）。【注】在实际中，我们无法将一个随机试验无限次地重复下去，只能用重复试验次数较大时的频率去作为概率的近似值。比如，经统计，在某级别足球赛历次比赛中，累计判罚次点球，共射进球门次，我们就可以说在这样的比赛中，“点球射门进球”这一事件的概率约为。【例1.1-6】频率稳定性的例子。（1）抛硬币试验中正面出现的频率：试验者试验次数正面出现次数正面出现频率deMorganBuffonPearsonPearsonvigny（2）英语字母出现的频率：字母频率字母频率字母频率EDGTLBOCVAFKNUXIMJRPQSYZHW1.3概率的性质及其运算法则1.3.1概率的基本性质及加法法则[掌握]性质1特别，，【注】这个性质（非负性与规范性）在前面讲概率的概念时已经给出过。须牢记，任何事件的概率都介于与之间，既不能小于，也不能大于。性质2或【注】这个性质非常重要（在概率计算中往往用第二个式子）。当遇到不容易计算而容易计算时，就可用公式来计算（这一性质我们将在后面证明）。【例1.1-7】抛3枚硬币，“至少出现1个正面”，求。解1样本点总数，而“至少1个正面”可分为3种情况：“恰好1个正面”、“恰好2个正面”、“3个全是正面”，的有利场合数为，所求的概率为。解2样本点总数，“3个全是反面”，的有利场合数为，所求的概率为。【注】显然解法2好于解法1，即使对“抛300枚硬币，至少出现1个正面”这样的事件，用解法2易得，而用解法1去作实在是太繁琐了。不妨再举一例。【例】3人同时从1层乘电梯，他们等可能地在2～7层的某一层出电梯。求“有人到7层出电梯”的概率。解1样本点总数，“有人到7层出电梯”可分为3种情况：“恰好1人到7层”、“恰好2人到7层”、“3人全到7层”，有利场合数，所求的概率为。解2样本点总数，“无人到7层出电梯”，的有利场合数为，所求概率为。【注】显然还是解法2好于解法1，即使对“30人同时从1层乘电梯，有人到7层出电梯”这样的事件，用解法2易得，而若用解法1去作的话，复杂程度不可想象。【思考题1】2人分别将1封信投入5个信箱中之一。求“1号信箱有信”的概率。【思考题2】某科室有6个人。分别求“有人在5月份过生日”和“至少有2人在同一月份过生日”的概率。性质3特别，【注】①注意，第一个公式无条件成立（此公式教材上没有给出，我们将在下面证明此公式），而第二个公式有条件成立（成立的条件是）。事实上，若，则有，故，于是由第一个公式得。②由此性质及性质1可知，当时，有，即。而由可得，再由及便知。③因且，故，这便是性质2的结论。性质4特别，与互斥【注】①这一性质称为加法法则。②注意，第一个公式无条件成立，而第二个公式有条件成立（成立的条件是与互斥）。事实上，若与互斥，则有，故，由加法法则得。③因与互斥（对立必互斥），且，故，由性质4及性质1可知，（这就是性质2的结论）。④因与互斥，且，故，由性质4可知，，整理便得到（这就是性质3第一个结论）。也可以先证明第二个结论：。若，则，且显然与互斥，故，由性质4可知，，即。由此公式也可以证明性质3第一个结论。事实上，因（这一结论我们在前面提到过），且，由上一公式知。【例1.1-9】某足球队在未来一周中有两场比赛，在第一场比赛中获胜概率为，在第二场比赛中获胜概率为，如果在两场比赛中都获胜概率为，那么该队在这两场比赛中至少有一场获胜的概率是多少？解设事件“在第场比赛中获胜”（），则由题设有，，。由加法法则（即性质4）可知，所求的概率为。性质5，，…，互斥【注】这一性质就是性质4后一半结论的推广。【例1.1-8】一批产品共件，其中有件不合格品，现从中随机抽出件，其中最多有件不合格品的概率是多少？解设“抽出件中恰好有件不合格品”（）。由题设知，这显然是超几何概型，不难求出，，，而题述事件“所抽出的件产品中最多有件不合格品”，且，，互斥，于是由性质5可知，所求的概率为。【注】由性质2可知，上述事件的对立事件“所抽出的件产品中至少有件不合格品”的概率为。此概率若直接求，则因且由性质5可知，所求的概率为，这样作起来就很繁琐。1.3.2条件概率及概率的乘法法则[掌握]条件概率★两个事件和，在事件发生的条件下，事件发生的概率称为条件概率（conditionalprobability），记为。▲条件概率的计算公式如下：（）。【例】从一副扑克牌中任意抽一张，设“抽到K或K”，“抽到♥”，则“抽到♥K”，“在已知抽到♥的条件下抽到♥K”，则显然，，，。【注】①注意，由上面的结果可以得出，这正是上面给出的条件概率的计算公式。②不少初学者对和的区别不理解，比如对上例，认为都是“抽到♥K”，不是一回事儿吗？！可是为什么而不一样呢？其实，从概念上看，二者确实不一样：可能发生，具有随机性可能发生，具有随机性可能发生，具有随机性可能发生，具有随机性可能发生，具有随机性已经发生，不具随机性③公式表明，条件概率可用两个特定的无条件概率之比来计算。④若为古典概型场合，则因，即在古典概率的情形下，条件概率公式改为。比照古典概率公式，我们发现，“样本点总数”由变为（这是由于事件已发生，使得原来的样本空间缩减成了新的样本空间），因此相应的“有利场合数”也由变为。【例1.1-10】设某样本空间含有个等可能的样本点，又设事件含有其中个样本点，事件含有个样本点，事件含有个样本点，由上面公式知在事件发生的条件下，事件的条件概率为，而在事件发生的条件下，事件的条件概率则为。【例1.1-11】设事件“乌龟能活到岁”。求下列事件的概率：（1）“已活到岁的乌龟能活到岁”的概率，即；（2）“已活到岁的乌龟能活到岁”的概率，即。解（1）因（活到岁的乌龟必先活到岁），故，所求条件概率为（需查乌龟寿命表），即只活到岁的乌龟中约有只能活到岁。（2）与上面同理，因，故，所求条件概率为，即活到岁的乌龟中大约有一半能活到岁。乘法法则性质6（），（）【注】①上面两个公式均称为概率的乘法公式（multiplicationformula）。②乘法公式可推广到多个事件情形：比如，对三个事件，，，有（这里要求）；一般地，对n个事件，，…，，有（这里要求）。③教材上只讲了乘法公式（性质6），而没讲如何应用。我们看下面一个例子。【例】（抽签问题）某科室个人分到一个旅游名额，抽签决定人选。那么每个人抽到“旅游”签（“好签”）的概率与抽签顺序是什么关系？有人愿意先抽：因为前面的人若先抽到好签，后面的人就没机会了，所以认为先抽签有利；有人愿意后抽：因为第一个人抽到好签的概率是，但他若没抽到，第二个人抽到好签的概率是，他若也没抽到，第三个人抽到好签的概率是，…，所以认为后抽签有利。其实，这两种认识都是错误的，每个人抽到好签的概率与抽签顺序无关，都是。我们来具体分析计算一下：设“第个人抽到好签”（），则显然第一个人抽到好签的概率为；要注意，第二人个人要想抽签必须第一个人没抽到好签，所以第二个人抽到好签的概率为，由乘法公式，有；同理，第三个人抽到好签的概率为；同样，应用乘法公式可求得，第四个人抽到好签的概率，第五个人抽到好签的概率，即每个人抽到好签的概率均为。1.3.3独立性和独立事件的概率[掌握]★设有与两个事件，若其中一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率，则称事件与相互独立（mutuallyindependent），简称独立（independence）。【注】①独立性（independency）也是关于随机事件之间相互关系的非常重要的内容。②不要将“独立”与“互斥”或“对立”等概念相混淆。我们列表比较如下：互斥对立独立互斥互斥对立互斥独立对立对立互斥对立独立独立独立互斥独立对立（符号“”表示由前者推不出后者），关系其一事件发生与否确定另一事件发生与否，互斥发生一定不发生发生一定不发生不发生发生与否不确定不发生发生与否不确定，对立发生一定不发生发生一定不发生不发生一定发生不发生一定发生，独立发生发生与否不确定发生发生与否不确定不发生发生与否不确定不发生发生与否不确定性质7与独立性质8与独立，与独立【注】①若与相互独立，则发生与否不影响发生的概率，发生与否也不影响发生的概率，于是有，（即条件概率等于相应的无条件概率），即由独立性的概念可推导出性质8。②若与相互独立，由乘法公式及即得（由乘法公式及也可得），即由性质8可推导出性质7。③性质7“与独立”之逆命题也成立，即“与独立”，于是得到充分必要条件：与独立。这一结论表明，今后我们可以将公式作为判断事件与是否相互独立的依据。④若与相互独立，则与、与、与三对事件均相互独立。事实上，若与独立，则，故，即与独立。同理可证，与独立，与独立。⑤两个事件的独立性可推广至多个事件:★对三个事件，，，若其中一个事件是否发生对另外两个事件发生的概率没有影响，其中两个事件是否发生对剩余一个事件发生的概率也没有影响，则称,,相互独立。★一般地，对n个事件，，…，，若其中一个（或一部分）事件是否发生对其余一个（或一部分）事件发生的概率没有影响，则称，，…，相互独立。⑥性质