高等数学第5章定积分课件

第五章定积分

5.1定积分的概念和性质5.2定积分变限函数和微积分基本公式5.3定积分的换元法和分部积分法5.4广义积分一、问题的提出二、定积分的定义三、定积分的性质5.1定积分的概念和性质实例1

求曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两条直线所围成，求其面积A.矩形面积梯形面积一、问题的提出o用矩形面积近似代替曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积.（四个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．曲边梯形如图所示，（1）分割（2）近似曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为（3）求和（4）取极限实例2

求变速直线运动的路程思路：把整段时间分割成若干小段，每一小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值.（1）分割部分路程值某时刻的速度（3）求和（4）取极限路程的精确值（2）近似二、定积分的定义定义1.定义被积函数积分上限积分下限积分变量被积表达式积分和式Riemann积分

实例1--曲边梯形的面积实例2--变速直线运动的路程两点说明：曲边梯形的面积曲边梯形面积的负值(1)(2)xoab2.定积分的几何意义各部分面积的代数和(3)几何意义：定理1定理23.定积分的存在定理（充分条件）若f(x)在区间[a,b]上的定积分存在，则称f(x)在区间[a,b]上可积.例1解例2解例3解例4解（一）解（二）例5解小结1．定积分的实质：特殊和式的极限．2．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值--定积分求近似值:以直（匀）代曲（变）取极限.思考.思考证明解

第五章定积分

5.1定积分的概念和性质5.2定积分变限函数和微积分基本公式5.3定积分的换元法和分部积分法5.4广义积分一、问题的提出二、定积分的定义三、定积分的性质5.1定积分的概念和性质三、定积分的性质对定积分的补充规定:说明

在下面的性质中，假定定积分都存在，并且不考虑积分上下限的大小．性质1证（此性质可以推广到有限多个函数的情况）性质2证性质3推论（定积分具有线性性）性质4证

（定积分对于积分区间具有可加性）证性质5（定积分具有保号性）性质5的推论：证解例1证（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质5的推论：解例2解例3说明：证性质5的推论：解例4性质6（积分中值定理）积分中值公式证明说明：积分中值公式的几何解释：解例5解（一）例6解（二）性质7（广义积分中值定理）证明小结1．定积分的性质：2．典型问题：（注意估值定理、积分中值定理的应用）.思考解答

第五章定积分

5.1定积分的概念和性质5.2定积分变限函数和微积分基本公式5.3定积分的换元法和分部积分法5.4广义积分5.2定积分变限函数

和微积分基本公式1.变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

2.变上限函数及其导数

3.牛顿—莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式重要

本节通过函数微分与积分之间的关系，找到定积分与不定积分之间的联系，解决定积分的计算问题，为定积分计算提供了一般的计算方法.另一方面这段路程可表示为1.

变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系从物理上得出：注意到：这种积分与原函数的关系具有普遍性.

2.变上限函数及其导数考察定积分变上限函数或积分上限函数变上限函数的性质复合函数证明由积分中值定理，得定理2（原函数存在定理）定理的重要意义：解例1解例2定理3（微积分基本公式）3．牛顿—莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式微积分基本公式表明：把求定积分的问题转化为求原函数的问题.注意证明解例3解例4解例5解例6解例7解例8解例9变上限函数求导：变下限函数求导：变限函数求导：证明定理4（变限复合函数的求导公式）重要练习解（一）例10解（二）内容小结1.微积分基本公式2.变限复合函数的求导公式积分中值定理微分中值定理牛顿--莱布尼兹公式

思考练习解解解解解解

第五章定积分

5.1定积分的概念和性质5.2定积分变限函数和微积分基本公式5.3定积分的换元法和分部积分法5.4广义积分5.3

定积分的换元法

和分部积分法

一、定积分的换元法

二、定积分的分部积分法定理一、定积分的换元法证明注意使用换元公式时应注意:（换元必换限）（不必再还原）（凑元不换限）解例1解例2换元必换限凑元不换限解（一）例3解（二）解例4解例5解例6解例7偶倍奇零证明例8解例9偶函数奇函数单位圆的面积例10证明例11证明推导二、定积分的分部积分法定积分的分部积分公式两端同时积分，得解例1解例2解例3解例4证明例5直到下标减到0或1为止小结1.定积分的换元法换元必换限凑元不换限2.定积分的分部积分公式（注意与不定积分分部积分法的区别）3.定积分的常用等式边积边代限思考题

解解解练习解解解偶函数奇函数5.4广义积分一、无穷区间的广义积分--无穷积分二、无界函数的广义积分--瑕积分常义积分积分区间有限被积函数有界推广广义积分（反常积分）无穷积分瑕积分引例一、无穷区间的广义积分定义注意：解例1思考：解注意：解例2解例3证明例4二、无界函数的广义积分引例定义若

a

为瑕点，则若

b

为瑕点，则若

a,b

均为瑕点，则注意：若瑕点则能相消吗？解例5解例6证明例7解例8说明：例如

例如

解例92.无界函数的广义积分（瑕积分）1.无穷区间的广义积分（无穷积分）（注意：不能忽略区间内部的瑕点）小结思考题

解解下述解法是否正确:

解证明第5章定积分习题课课堂练习举例主要内容主要内容定积分概念、理论、计算1.

定积分与什么有关，与什么无关？2.定积分与不定积分的区别与联系？3.定积分的几何意义是什么？4.定积分有哪些重要性质？5.变上限函数有一个重要性质是什么？由此性质可以得到什么重要结论？微积公基本公式是什么？6.定积分计算法与不定积