高等数学第8章多元函数微积分及其应用课件

高等数学下册主要内容

多元微积分、级数、微分方程等学习方法

与一元函数进行比较，注意多元函数与一元函数的形同实异之处§1多元函数多元函数的概念二元函数的极限二元函数的连续性ch8多元函数微分学及其应用1.定义一、多元函数的概念例1例2定义(二元函数)注二元及二元以上的函数统称为多元函数.2.定义域的求法例3解xyo例4解xyo3.一些概念邻域内点开集边界连通集外点聚点区域连通的开集称为区域或开区域．例闭区域开区域连同它的边界一起称为闭区域.例有界点集例有界闭区域；无界开区域．4.二元函数的几何表示二元函数的图形通常是一张曲面.例5例6例7解二、二元函数的极限定义例8证明例9证明注例10证明该极限与k的取值有关，例11证明确定极限不存在的方法：三、二元函数的连续性1.定义2.有界闭区域上连续函数的性质定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．例12解例13解§2多元函数的偏导数偏导数的定义及其计算法高阶偏导数一、偏导数的定义及其计算法定义偏导数的概念可以推广到二元以上函数如在处例1解例2证明因此结论成立．例3解有关偏导数的几点说明：(2)求分界函数的分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；例4解(3)偏导数存在与连续的关系；一元函数中在某点可导

连续，多元函数中在某点偏导数存在

连续，？但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.多元函数中在某点连续偏导数存在，？不存在.连续偏导数存在.(4)偏导数的几何意义.如图几何意义:例5解二、高阶偏导数纯偏导混合偏导二阶以及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.例6解例7解问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？例8证明小结偏导数的定义（偏增量比的极限）偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数纯偏导混合偏导（相等的条件）§3全微分全微分的概念函数可微分的条件一、全微分的概念1.问题的提出复习yxodyTy=

f(x)αQMPN2.定义定义1定义2二、函数可微分的条件定理1证明定理2(必要条件)证明注注定理3(充分条件)证明思路：要证证明即得证.注例1解例2解例3解例4证明偏导数连续函数连续偏导数存在可微§4多元复合函数的求导法则链式法则全微分形式不变性一、链式法则定理证明例1解推广1:中间变量多于两个的情况.

以上公式中的导数称为全导数.推广2:中间变量是二元函数的情况.链式法则如图所示例2解推广3:中间变量是二元以上函数的情况.特殊情况4两者的区别区别类似例3解例4解例5解例6解二、全微分形式不变性全微分形式不变性的实质：例7解例8解另解思考题解答(1)链式法则(2)全微分形式不变性（注意特殊情况4）（理解其实质）三、小结问题的提出由一个方程确定的隐函数情形由方程组确定的隐函数情形§5隐函数的求导公式一、问题的提出注问题二、由一个方程确定的隐函数情形定理1证明例1解例2解一解二定理2证明例3解例4解一解二例4整理得解三例4整理得三、由方程组确定的隐函数情形定理3证明注例5解一例5解二例6解一例6解二思考题解整理得方向导数的定义梯度的概念§6方向导数与梯度一、方向导数的定义1.定义注2.方向导数的存在性与计算定理证明注例1解3.三元函数方向导数的定义注例2解二、梯度的概念1.定义由方向导数公式知

注2.三元函数梯度的概念

类似于二元函数，三元函数的梯度也是一个向量，其大小为方向导数的最大值，方向是使方向导数达到最大值的方向.例3解3.梯度与等高线的关系等高线梯度为等高线上的法向量梯度与等高线的关系小结(1)方向导数的定义(注意方向导数与偏导数的区别)(2)

梯度的概念(注意梯度是一个向量)(3)方向导数与梯度的关系空间曲线的切线与法平面空间曲面的切平面与法线§7多元函数微分学的应用一、空间曲线的切线与法平面割线的方程为考察割线趋近于极限位置—切线的过程上式分母同除以曲线C在点M处的切线方程过M点并且与切线垂直的平面称为法平面.切线的方向向量称为曲线的切向量.

例1解例2解注例3解练习二、空间曲面的切平面与法线例4解注切平面上点的竖坐标的增量例5解例6解由切平面平行于已知平面，得练习解化简得比较切平面方程与已知平面方程，得多元函数的极值和最值条件极值拉格朗日乘数法§8多元函数的极值、最值和条件极值问题的提出实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖元，外地牌子的每瓶卖元，则每天可卖出瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁，店主每天以什么价格卖这两种牌子的果汁可获得最大收益？每天的收益为求最大收益即为求该二元函数的最大值.一、多元函数的极值和最值1.二元函数极值的定义定义(小)(小)极大值和极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.(局部概念)例1例2例3注2.二元函数取得极值的条件定理1证明定义注驻点和偏导数不存在的点统称为临界点.问题：如何判定一个驻点是否为极值点?定理2例4解3.二元函数的最值与一元函数求最值的方法类似，我们可以利用函数的极值来求出最大值和最小值.(1)求出函数在

D内部所有临界点处的函数值；(2)求出函数在

D边界上的最大值和最小值；(3)比较大小，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.例5解二、条件极值拉格朗日乘数法前面讲的函数极值问题中，对自变量除限制在定义域内，没有其它限制—无条件极值问题而有的极值问题提出时，还有其它附加条件，即对自变量有约束条件—条件极值问题证明注例6解例7解例8解第8章多元函数微积分及其应用习题课课堂练习举例主要内容平面点集和区域多元函数的极限多元函数连续的概念极限运算多元连续函数的性质多元函数概念主要内容高阶偏导数隐函数求导法则复合函数求导法则全微分形式的不变性微分法在几何上的应用方向导