吉林大学高数A2作业答案

PAGEword文档可自由复制编辑高等数学作业AⅡ答案吉林大学公共数学教学与研究中心2013年3月

第一次作业学院班级姓名学号一、单项选择题1．下列反常积分收敛的是(C)．（A）； （B）；（C）； （D）．2．下列反常积分发散的是(A)．（A）； （B）；（C）； （D）．3．设、在上连续，则由曲线，，直线所围成平面图形的面积为(C)．（A）； （B）；（C）； （D）．4．设曲线与直线所围图形面积为S，则下列各式中，错误的是(C)．（A）； （B）；（C）； （D）．5．设点是曲线上一点，记是直线OA（O为原点）与曲线所围成图形的面积，则当时，与(D)．（A）为同阶无穷小； （B）为同阶无穷小；（C）为同阶无穷小； （D）为同阶无穷小．6．设（常数），则由所围图形绕直线旋转所形成的立体的体积等于(B)．（A）；（B）；（C）；（D）．二、填空题1．已知反常积分收敛，且值为1，则．2．．３．．４．反常积分，当满足条件时收敛．5．由曲线所围成的平面图形面积为1．三、计算题1．用定义判断无穷积分的收敛性，如果收敛则计算积分值．解：则该无穷积分收敛．2．判断反常积分的收敛性：解：而收敛．收敛．3．用定义判断反常积分．的收敛性，如果收敛则计算积分值．解：．收敛4．求由曲线与围成图形的面积．解：．5．计算由轴，曲线及其经过原点的切线围成的平面图形绕轴旋转所生成立体体积．解：设切点为，则过切点的切线方程为令，得．6．求摆线的一拱的长度以及摆线与轴所围图形的面积．7．在曲线上某点A处作一切线，使之与曲线以轴所围图形的面积为，试求：（1）切点A的坐标；（2）过切点A的切线方程；（3）由上述所围平面图形绕轴旋转一周所围成旋转体体积．解：设切点，则切线方程为：，得切线与x轴交点为．由，得．∴切点为，切线方程：．8．半径为的球沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中提出，问需作多少功？解：取球浮出水面后球心为原点建立坐标系，则

第二次作业学院班级姓名学号一、单项选择题1．平面（A）．（A）平行于yoz平面； （B）平行于x轴； （C）平行于xoz面； （D）平行于xoy平面．2．平面与曲面（B）．（A）不相交； （B）交于一点；（C）交线为一个椭圆； （D）交线为一个圆．3．方程所表示的曲面为（C）．（A）椭球面； （B）柱面； （C）双曲抛物面； （D）旋转抛物面．4．过点且与平面垂直的直线方程是（A）．（A）； （B）；（C）； （D）．5．设有直线与，则L1与L2的夹角为（C）．（A）； （B）； （C）； （D）．6．设有直线及平面，则直线L（C）．（A）平行于； （B）在上； （C）垂直于； （D）与斜交．二、填空题1．设均为非零向量，且，则a与b的夹角为．2．与直线平行的单位向量为．3．点到平面的距离为1．4．若，，且a，b间夹角为，则，3．5．xoz平面上的曲线绕z轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为．6．曲线在xoy面上的投影曲线方程为．7．已知向量a，b，c两两相互垂直，且，，，则有2．三、计算题1．求过直线，且平行于直线的平面的方程．解：过L的平面束为：即，由n与垂直，有∴所求平面为．2．求点到直线的距离．解：设则∴3．设空间三点，，，求三角形ABC的面积．解：4．求过平面和平面的交线，并切于球面的平面方程．解：过L平面束为．即．由得则所求平面为．5．设有直线，平面求直线L与平面的夹角；如果L与相交，求交点．解：L的方向向量而∴，∴将代入L方程．解得∴交点．6．模长为2的向量与轴的夹角是，与轴的夹角是，试求向量的坐标．解：∴，或∴或

第三次作业学院班级姓名学号一、单项选择题1．（D）．（A）； （B）0； （C）； （D）不存在．2．二元函数在处（C）．（A）连续，偏导数存在； （B）连续，偏导数不存在；（C）不连续，偏导数存在； （D）不连续，偏导数不存在．3．设，在下列求的方法中，不正确的一种是（B）．（A）因，故；（B）因，故；（C）因，故；（D）．4．若的点处的两个偏导数都存在，则（C）．（A）在点的某个邻域内有界；（B）在点的某个邻域内连续；（C）在点处连续，在点处连续；（D）在点处连续．5．设，且，则为（B）．（A）；（B）；（C）；（D）．二、填空题1．的定义域为．2．1/2．3．设，则2/5，1/5．4．设，则．5．设，则．三、计算题1．已知，且当时，求及的表达式．将代入，有解一：∴解二：令，则∴∴2．讨论函数的连续性．.解一：当沿y轴(x=0)趋于0（0，0）时，当沿，趋于0（0，0）时，∴不存在∴不连续解二：当沿趋于0（0，0）时，与k有关，∴不连续3．设，求．解一：取对数，∴解二：∴4．求的偏导数．四、证明题1．设，验证：当时，有．证明：，同理：∴2．证明函数在点(0,0)处：（1）连续；（2）偏导数存在；（3）不可微．（1），由于为使，只须，即取，则当，有，∴（或：），初等函数连实。（2）；（3）考察：当沿直线趋于0（0，0）有与k有关∴上式不存在，不可微

第四次作业学院班级姓名学号一、单项选择题1．设，其中为可导函数，则=（B）．（A）； （B）；（C）； （D）．2．设方程确定z是x，y的函数，F是可微函数，则=（D）．（A）； （B）； （C）； （D）．3．设都由方程所确定的隐函数，则下列等式中，不正确的一个是（C）．（A）； （B）；（C）； （D）．4．设都是可微函数，C为常数，则在下列梯度运算式中，有错误的是（A）．（A）； （B）；（C）； （D）．5．，而，且函数具有二阶连续导数，则(B)．（A）； （B）；（C）； （D）．6．函数在点处沿任一方向的方向导数都存在是它在点处的两个偏导数都存在的(D)条件．（A）充分必要； （B）必要非充分；（C）充分非必要； （D）既非充分又非必要．二、填空题1．已知，则在点（1,2）处对x的偏导数为192．2．由方程所确定的隐函数在点（1,1）处的全微分为．3．在点（0,0）处沿x轴正向的方向导数为1．4．函数在点处的方向导数的最大值等于．三、计算与解答题1．设f是C(2)类函数，，求．2．设，求．解一：解二：∴3．设f，是C(2)类函数，，证明：（1）；（2）．证4．设，求．∴一阶：∴二阶：5．设求．∴∴∴∴6．设，其中求f，是C(1)类函数，求．∴解二：全微分即代入消元解得：∴……7．求函数的点(1,2)处沿着抛物线的该点切线方向的方向导数．∴第五次作业学院班级姓名学号一、单项选择题1．在曲线的所有切线中，与平面平行的切线(B)．（A）只有一条； （B）只有两条； （C）至少有三条； （D）不存在．2．设函数在点(0,0)附近有定义，且，则(C)．（A）；（B）曲面在点的法向量为；（C）曲线在点的切向量为；（D）曲线在点的切向量为．3．曲面的任一点处的切平面(D)．（A）垂直于一定直线； （B）平等于一定平面；（C）与一定坐标面成定角； （D）平行于一定直线．4．设在平面有界闭区域D上是C(2)类函数，且满足及，则的(B)．（A）最大值点和最小值点必定都在D的内部；（B）最大值点和最小值点必定都在D的边界上；（C）最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上；（D）最小值点在D的内部，最得到值点在D的边界上．5．函数满足条件的条件极值为(D)．（A）1； （B）0； （C）； （D）．二、填空题1．如果曲面在点M处的切平面平行于平面，则切点M的坐标是（-1，2，-3）．2．曲面与平面的交线在处的切线与轴正向所成的角为．3．曲线在点处的法平面方程是12x-10y-3z-6=0 ．4．在条件下的极小值是．5．函数在点处沿曲面在该点的外法线方向的方向导数是．三、计算题1．求曲线在点处的切线方程．解一：+：代入∴切成：，即解二：取切平面：切平面：∴2．过直线作曲面的切平面，求其方程．解：设切点为，切平面方程为：过已知直线的平面束方程为即：当为同一平面时有：且解得对应的切平面方程为：3．证明曲面上任意点处的切平面在各个坐标轴上的截距平方和等于．.设为曲面上任一点切平面方程为：即：令得x轴截距同理∴4．求函数的极值．.①令②得驻点③④处：AC-B2>0，A>0，∴极小值5．求函数在区域上的最大值和最小值．不在D内，∴D内无极值点在边界上，解得最小最大6．求曲面的一个切平面，使其在三个坐标轴上的截距之积为最大．设切点为切平面为：即：令，得轴截距，得轴截距，得轴截距令即切点为切平面为：阶段测试题学院班级姓名学号一、单项选择题（每小题3分，满分18分）1．曲面与（）的交线是（D）．（A）抛物线 （B）双曲线 （C）椭圆 （D）圆2．极限（D）．（A）为0 （B）为1 （C）为 （D）不存在3．双纽线所围成区域面积可用定积分表示为（A）．（A） （B）（C） （D）4．曲线在点处的切线必平行于（C）．（A）平面 （B）平面（C）平面 （D）平面5．的处的梯度等于（A）．（A） （B） （C） （D）6．已知、在（0，0）连续，则在（0，0）处，在处（A）．（A）均连续 （B）均不一定连续（C）均不连续 （D）一定连续，不一定连续二、填空题（每小题3分，满分21分）1．．2．若向量与的和与差的模相等，则1．3．已知，则0，-1．4．在点处沿=（0,1,2）方向的方向导数最大，方向导数的最大值为．5．设，其中，则0．6．曲面与平面的交线在处的切线与轴正向所成的角为．7．设，其中具有一阶连续偏导数，则．三、解答题（每小题8分，满分40分）1．判断反常积分的收敛性，如果收敛则计算积分值．解：==，则收敛2．设直线在平面上，且平面又与曲面相切于点，求的值．解：曲面在点M0的法向量，切平面的方程为：即 将L的方程改写成参数方程代入的方程，解得．3．求曲线的一条切线，使该曲线与切线及直线所围成的图形面积最小．解：由，所以点处切线方程为：，即围成图形面积令，得又因此，当时，S取最小值，此时，l方程为4．，其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶导数。求．解：5．已知，而是由方程确定的的函数，求．解法1：即解法2：在方程组两边求微分，及：由（2）代入①整理及解法3：方程确定，则解得四、证明题（满分7分）证明函数在点（0,0）处可微，但偏导数在点（0,0）处不连续．证明：，同理而在(0,0)可微．而时，，不存在，同理不存在，故在(0,0)处偏导数不连续．五、应用题（每小题7分，满分14分）1．求内接于椭球面，且棱平行于对称轴的体积最大的长方体．解：设第一卦限内顶点为则长方体长、宽、高分别为、2y、2z且作令由①-③得：代入③得由实际意义可得2．用铁锤将铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将铁钉击入木板内1cm，如果铁锤每次打击所作的功相等，问铁锤第二次能把铁钉又击入多少厘米？解：设铁钉被击入深度为x，则由题意：解得，则第二锤又击入厘米．第六次作业学院班级姓名学号一、单项选择题1．设连续，且，其中D是由，，所围区域，则等于(C)．（A）； （B）； （C）； （D）．2．设D是xOy平面上以(1,1),(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域，D1是D的第一象限部分，则等于(A)．（A）； （B）；（C）； （D）0．3．设平面区域是在区域D上的连续函数，则等于(A)．（A）； （B）；（C）； （D）．４．设平面区域，，则有(B)．（A）； （B）；（C）； （D）．5．设为上的连续函数，则(B)．（A）不存在； （B）； （C）； （D）．二、填空题1．积分．2．交换积分次序：．3．设区域D为，则．4．设区域D为，则．5．设D为，则二重积分在极坐标中先r后的二次积分为．6．设D是由曲线与所围成的区域，则0．三、计算题1．计算，其中D是由直线所围成的三角形区域．原式=2．计算，其中D是由和所围成的区域．①图交点，先x，②③3．计算，其中．①图，极坐标，方程②③4．求．解：换序为5．设函数在区间[0,1]上连续，并设，求．解一：换序为改变积分变量记号，解二：，凑微分有6．计算，其中．解一：令则且，则原式解二：利用极坐标原式四、应用题求位于两圆之间的均匀平面薄片的重心．解：设重心为，由对称性：=0而，重心五、证明题设函数在闭区间上连续且恒大于零，证明证明：设∵即：∴∴∴第七次作业学院班级姓名学号一、单项选择题1．设有空间区域及，，，，则(C)．（A）； （B）；（C）； （D）．2．设由平面围成，，则(A)．（A）； （B）； （C）； （D）．3．设有空间区域，则等于(A)．（A）； （B）； （C）； （D）．4．设为球域：，则(C)．（A）不存在； （B）； （C）； （D）1．5．设由曲面围成（含z轴部分），则将上三重积分化为球面坐标系下三次积分为(B)．（A）； （B）；（C）； （D）．二、填空题1．直角坐标中三次积分在柱面坐标中先z再r后顺序的三次积分是．2．设就由曲面与所围成的区域，则0．3．设，则当时，．4．设是由平面及抛物柱面所围成的闭区域，则0．5．设为，则．6．椭球体的体积为．三、计算题1．计算，其中是由曲面与平面和所围成的闭区域．①图，投影域②③2．计算，其中．①图，已求坐标r=1②③3．计算，其中是由曲线绕z轴旋转一周而成的曲面与平面所围成的立体．用柱坐标原式4．设，其中在可导，且，求．解：∴5．设，求．6．计算积分．解7．利用函数，B函数计算积分．解：令，则，原式====4=4=四、应用题设曲面和围成立体，其密度为1，求绕z轴旋转的转动惯量．

综合练习题学院班级姓名学号一、单项选择题1．曲线所围图形的面积等于(D)．（A）； （B）；（C）； （D）．2．与z轴垂直，则满足条件（C）．（A）； （B）； （C）； （D）．3．函数在点(0,0)处(C)．（A）不连续； （B）偏导数存在；（C）沿任一方向的方向导数存在； （D）可微．4．设为连续函数，则为（B）．（A）； （B）；（C）； （D）．5．设D由和围成，则（C）．（A）0 （B）1 （C）2/3 （D）4/36．设由围成，则三重积分化为柱面坐标系下三次积分为（D）．（A） （B）（C） （D）二、填空题1．由曲线和所围图形面积为，则．2．已知a，b，c都是单位向量，且满足，则．3．函数在点连续且可偏导，是在点可微的必要条件．4．设，则．5．设函数，其中具有二阶导数，具有一阶导数，则0．6．设为由，围成的空间区域，为常数，则．7．设，改变积分次序；化为极坐标下二次积分为．三、计算题1．求过点，平行于平面，且与直线相交的直线方程．解：过P且平行于的平面为为与L的交点为2．计算解：a、b为奇点原式3．设，f具有连续的二阶偏导数，求．4．设，是由方程和确定的函数，其中和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求．解：5．求，其中为球体．解：．而∴原．6．设是由确定的函数，求的极值点和极值．解：取微分：即：得：而处，,.则函数有极小值z(9,3)=3处，,.则函数有极大值z(-9,-3)=-37．设连续，，其中，求，．解：四、应用题1．在第一卦限内作球面的切平面，使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小，求这切平面的切点．解：设切点为，则切平面方程：令,得x轴截距，同理当最大时V最小作令解得时，V最小，∴切点2．一容器的内表面是由曲线绕轴旋转所得的旋转曲面．如果以(m3/s)的速率注水，求水面高度(m)时，水面上升的速率．2．解：将代入，得（m/s）五、证明题设D由轴，轴，直线围成，证明：.证明：令则且∴或利用二重积分换元法∴

综合模拟题（一）学院班级姓名学号一、选择题(共5道小题，每小题3分，满分15分)1.下列方程表示抛物面的是(C)（A）； （B）；（C）； （D）．2.函数的极小值点是（A）（A）（1,1）；（B）（0,0）；（C）（0,1）；（D）（1,0）.3.设山坡的高度为，一个登山者在山坡上点处，他决定沿最陡的道路向上攀登，则他应当选取的方向l是（A）（A）l=；（B）l=；（C）l=；（D）l=.4.设隐函数由方程所确定，其中可微，且，则（D）(A)；（B）；(C)0；(D).5.由曲面与所围成的立体体积等于（B）．（A）；（B）；（C）；（D）．二、填空题(共5道小题，每小题3分，满分15分)1.与两条直线及都平行，且过原点的平面方程为.2.曲线在点处的切线的方向向量为（3,1,2）.3.设函数，则ln5.4．设函数，则0.5．设D是由直线所围成的平面闭区域，则二重积分0．三、(满分6分)设，其中具有二阶连续偏导数，求.解：3分6分四、解答下列各题(共4个小题，每小题8分，满分32分)1.求由曲线与及轴所围成的平面图形的面积和该平面图形绕轴旋转所得旋转体的体积.解：（1）……4分（2）.……8分2.若点M与关于直线对称，求M的坐标．解：l方向向量为，l参数方程为过N垂直l的平面为：……….4分L与交点为，即为MN中心设，则，解得M为．……8分3.求由方程组所确定的隐函数的偏导数.解：将方程组两端对求偏导，有……4分……8分4.求函数在闭区域上的最大值和最小值.解：当时，令解得驻点，且.……4分当时，设解得，……6分又，所以最大值为，最小值为.……8分五、解答下列各题(共4个小题，每小题8分，满分32分)1.判别的敛散性.解：设，则……4分而无界函数积分收敛……6分由比较判别法收敛.……8分2.计算二重积分，其中D为圆域在第一象限的部分.解：...3分6分8分3.计算三重积分,其中是由圆锥面与平面围成的闭区域.解：由对称性，………4分