山东师范大学附中2022-2023学年高三数学第一学期期末经典试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设一个正三棱柱ABCDEF，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并10P10

P10为（ ）A 111

B 11．43 2

．3 2 C 11

D 111．3 2

．23 2 xy之间的一组数据：x 1 2 3 4y m 3.2

4.8

7.5若y关于x的线性回归方程为y0.25，则m的值为（ ）A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.5如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）1 1 2 5A．2 B．3 C．3 D．6已知等差数列n

的前nSn3

a1

12,S5

90，则等差数列an

公差d（ ）A．2 B．2 C．3 D．4已知复数z满足z(1i)2，其中i为虚数单位，则z1（ ．A．i B．C．1i D．1i（287年212年圆2 2柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的

，且球的表面积也是圆柱表面积的”这3 3一完美的结论已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24，则该圆柱的内切球体积( )A．43若

B．16，则 （ ）

C．163

D．323A． B． C． D．f(x)x

(3,5)

1a

3

clog

a b c已知幂函数

的图象过点

，且 e，b ，

4，则，

，的大小关系为（ ） Acab Bacb Cabc D．cba9．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经5352部作为数学文化2时期专著的概率为（）3 7 4 9A． B． C． D．5 10 5 10等差数列n

的前n

an 1

3，S5

35，则数列an

的公差为（ ）A．-2 B．2 C．4 D．7某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（ ）A．3 2 B．2 5 C．2 6 D．2 7纹样火纹是常见的一种传统纹样为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面320080可估计阴影部分的面积是（ ）A．16 B．32 C．10 D．185 5 5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。若函数f(x)2x2a4xa在区间(2,)上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围有 . 2,0 2 2,0在ABC 中，B、C的坐标分别为 ， ，且满足sin 2,0 2 2,0若点P的坐标为，则AOAP的取值范围.2xy0

2sinAO为坐标原点，2已知不等式组x2y0所表示的平面区域为，则区域的外接圆的面积为 ．x216ab0a2b2

1ab

的最小值为 .三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数fx 3cos2xsin2x，将fx的图象向左移0个单位，得到函数ygx的图象.（1）若，求ygx的单调区间；4（2）若0,ygxx

ygxx0,的值域. 2

12 2 18（12分）如图，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD6，DE平面ABC，CF//DE，DECFBEABCD所成的角为45.BEFBDE；B-EF-D的余弦值.19（12分）在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在Ox1sin（0,0，M.当OM

32时，求M点的极坐标；OMO逆时针旋转2

与该曲线相交于点N，求MN的最大值.20（12分）管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为LcmAB位置（圆管内壁直径大小，0,）.2 2 请用角L；.21（12分）从抛物线：x22py（p0）外一点作该抛物线的两条切线PP（切点分别为，分别与x、DAByQMx,2CMF3（F为抛物线的焦点）.0C的方程；PCQD是平行四边形.②四边形PCQD能否为矩形？若能，求出点Q的坐标；若不能，请说明理由.22（10分）我们称（nN）元有序实数组（x，x1 2

，，x…n…

nn n i1

x n维iaxx,

,x，其中x

n维向量aA

个向量1 2 n i n n的范数之和为B.n

和B 的值；22nABn n

（n表示）.参考答案125601、D【解析】由题意，设第n次爬行后仍然在上底面的概率为P.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率n2P

；②若上一步在下面，则第n1步不在上面的概率是1P

.1P

，两种事件3 n1

n1

3 n1又是互斥的

2P

1P

，根据求数列的通项知识可得选项.【详解】

n 3 n1 3

n1由题意，设第n次爬行后仍然在上底面的概率为P.n①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为2P

n2；3 n1②若上一步在下面，则第n1步不在上面的概率是1P

,n2.1P

,n2，两种事件又是互斥的,

2P

1P

n11P

1，∴

11P

321，2

n1n 3 n1 3

n1

n 3 n1 3

n 2 3

n1 P1 1

P2

P11n1∴数列n

是以为公比的等比数列，而

，所以

， 2 3

1 3

23 2∴当n10

P10

1112 2 2，D.【点睛】2、D【解析】利用表格中的数据，可求解得到x2.5,代入回归方程，可得y5，再结合表格数据，即得解.【详解】利用表格中数据，可得x2.5,又y2.1x0.25,y5，m3.24.87.520．解得m4.5故选：D【点睛】3、C【解析】根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积.【详解】根据三视图还原几何体的直观图如下图所示：由图可知，该几何体是在棱长为1ABCDABCD

ABCD所形成的几何体，1 1 1 1 11该几何体的体积为V 12.13 3C.【点睛】4、C【解析】根据等差数列的求和公式即可得出．【详解】∵a1=12，S5=90，54∴5×12+2

d=90，C．【点睛】5、A【解析】先化简求出z，即可求得答案.【详解】因为z(1i)2，2 21i 21i所以z1i

i1i

1i2z11i1故选：A【点睛】6、D【解析】设圆柱的底面半径为r则其母线长为l2r,由圆柱的表面积求出r.【详解】设圆柱的底面半径为r,则其母线长为l2r,因为圆柱的表面积公式为S圆柱表

=2r22rl，所以r2r2r解得r 2,因为圆柱的体积公式为V圆柱

r22r,所以V圆柱

223,2由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的，3所以所求圆柱内切球的体积为V2V =216=.3 圆柱3 3故选:D【点睛】属于中档题.7、B【解析】由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.【详解】因为 ，由诱导公式得 ，所以 .故选B【点睛】8、A【解析】根据题意求得参数，根据对数的运算性质，以及对数函数的单调性即可判断.【详解】3依题意，得5，故log5，3 故，0a11 b 故，e

3log3

51，

clog

log

10，54 3则cab故选：A.【点睛】9、D【解析】52部作为数学文化102部专著中至9种情况，由古典概型概率公式可得结果.【详解】535部专著分别为a,bcdeabc52部作为数学文化abacadaebcbdbecdcede102部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有abacadaebcbdbecdce,92部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为P【点睛】

m9n 10

．故选D．本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先(A,B)，(A,B

)…. (A,B)，1 1 1 2 1 n再(ABABA

依次(AB)ABA

)…这样才能避免多写、漏写现象的发生.2 1 2 2 2 n10、B

3 1 3 2 3 n【解析】在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得a，再由等差数列通项公式求得公差.3【详解】n在等差数列n

的前nS

S5

5aa 1 2

5a3

35a73n则aan3

2d32d7d2故选：B【点睛】本题考查等差数列中求由已知关系求公差，属于基础题.11、C【解析】根据三视图，可得该几何体是一个三棱锥SABCSACABCACBCSSDAC，连BDAD2.【详解】由三视图得：该几何体是一个三棱锥SABC，且平面SAC 平面ABC，ACBC过S作SDAC，连接BD，则AD2，所以BD DC2BC2 20，SB SD2BD2 26，SA SD2AD222，SC SD2AC225，该几何体中的最长棱长为26.故选：C【点睛】本题主要考查三视图还原几何体，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.12、D【解析】直接根据几何概型公式计算得到答案.【详解】

S 80 18p故选：D.

200

S5.【点睛】本题考查了根据几何概型求面积，意在考查学生的计算能力和应用能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13a0a12【解析】函数f(x)2x2a

4x

的零点2x2a

4xa

4a，x121

0，从而可得4a04aa0或a1.2【详解】函数f(x)2x2a

4x

在区间(2,方程2x2a

4xa

在区间(2,)的根，所以|x2a|2|xa|，解得：x1

4a，x2

0，f(x)2x2a

4x

在区间(2,)上有且仅有一个零点，04a，即a0a1.2【点睛】14、【解析】

x2 y2 由正弦定理可得点A在曲线 1,x2上，设A4 4AOAP2x6

x,y

，则AOAPx24xy2，将y2x24代入可得【详解】ACAB

222BC 2 2222

44 ，2Ax2y22

1,x2上，4 4Axyx2

y21,x2，4 4AOAPx,y4yx24xy2，y2

x24，AOAPx24xx242x26，因为x2，则AOAP222612，AOAP的取值范围为故答案为：12,.【点睛】本题考查双曲线的定义，考查向量数量积的坐标运算，考查学生计算能力，有一定的综合性，但难度不大.15254【解析】先作可行域，根据解三角形得外接圆半径，最后根据圆面积公式得结果.【详解】由题意作出区域，如图中阴影部分所示，tanMON

212 3，故 3，又MN3，设OMN的外接圆的半径为121 4 52

，则由正弦定理得MN得sinMON

2R

R

5，故所求外接圆的面积为2

52

25.4 【点睛】.16、2【解析】由基本不等式，可得到a2b2

(a2b2)(a2b2)≥a2b22ab(ab)22 2 2

，然后利用121 (ab)2 112a2b2 2

，可得到最小值，要注意等号取得的条件。(ab)2 2 (ab)2【详解】a2b2

(a2b2)(a2b2)≥a2b22ab(ab)22 2 2

，当且仅当ab时等号成立，121 (ab)2 1 (ab)2 1122a2b22

≥ ≥2

，当且仅当

时取等号，2(ab)22

2 (ab)2 2 (ab)24ab23a2b24【点睛】

1(ab)2

取得最小值 ．利用基本不等式求最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；③等号取得的条件。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）增区间为k

,kkZ，减区间为k

,kkZ（）2, 3. 6 3 3 6 【解析】ygx的解析式，然后利用余弦函数的单调性，得出结论；由题意利用余弦函数的图象的对称性求得，再根据余弦函数的定义域和值域，得出结论．【详解】由题意得f

xx 6 6 （1）yfxgx2cos2x2cos2x，4

4 6

3 增区间：解不等式2k2x2kZ，解得kxk

kZ，3 6 3减区间：解不等式2k2x

2kZ，解得kxkZ.3 3 6综上可得，ygx的单调增区间为k5

,kkZ，减区间为k

,kkZ；

6 3 3 6（2）gx2cos2x， 6 因为ygx的一条对称轴是x ，6

6

12kZ，解得

k，kZ.2 6又因为0,，所以

gx2cos2x. 23 623 x 0,

52x

,

1, 因为 2，所以

6 6 6 ，则cos2x

，36 23所以ygx在x0,的值域是2, 3.2 【点睛】本题主要考查三角函数图象变换规律，余弦函数图象的对称性，余弦函数的单调性和值域，属于中档题．618（）（）64【解析】要证明平面BEF平面BDE，只需在平面BEF 内找一条直线垂直平面BDE即可；以O为坐标原点所在直线分别为z轴建立如图空间直角坐标系，分别求出平面BEF的法向量n，平面CDEF 的法向量m，算出cosn,m即可.【详解】DEABCDACABCD.∴DEAC.又∵底面ABCD是菱形，∴ACBD.BDDEDACBDE，AC，BDOBEGFG，OG，OG//CFOGCFOCFGFG//ACACBDEFGBDE，FG∴平面BEF平面BDE.O为坐标原点，OA，OB，OG、、z轴建立如图空间直角坐标系∵BEABCD45BAD60DEBDAB2，OA 3D，B，C( 3,0,0)，E0,1,2，F( 3,0,1).BE(0,2,2)，BF( 3,1,1) 2y2z0设平面BEF的法向量为n(x,y,z)， 3xyz0，n(0,1,1)DC( 3,1,0)，DE(0,0,2)设平面CDEF 的法向量m(x,y,z) 3xy0m(1, 3,0) z0设二面角BEFD的大小为.cos|cosn,m3 6.2 2 4【点睛】是一道中档题.19（1）M的极坐标为3

或3

（2）212 6 2 6 【解析】31sin，由此求得M的极坐标.2MNMNMN的最大值.【详解】（1）设点M在极坐标系中的坐标3,，2 1sin31sinsin12 2∵0∴

7或，6 6M的极坐标为3

或32 6 2 6 （2）M,N

,.1 2 2 1sin

1sin，

1sin1cos.11sinθ21sinθ21cosθ2ρ2ρ21 232sincos332 2sin4

2 2 2故MN的最大值为24【点睛】

1.本小题主要考查极坐标的求法，考查极坐标下两点间距离的计算以及距离最值的求法，属于中档题.20（1）27

8 ,0,（）131cm.sin cos 2 2 （1）过A作PC的垂线，垂足为C，易得AP 27,BP 8 ，进一步可得L；sin cos2 （2）利用导数求L() 27 8 ,0,2 sin cos 【详解】（1）APC的垂线，垂足为C，在直角△APCAPC，AC27cm，所以AP 27cm，同理BP 8 cm，sin cosL 27 8 ,0,.2 sin cos 2 （2）设L() 27 8 ,0,，2 sin cos 2 ()

27cos8sin8sin327cos3，sin2 cos2 sin2cos23令0，则tan327，即tan .38 2设0,，且tan 3，则2 20 0 2当0,0

tan

3(0单调递减；2当0

, tan2

3(0单调递增，2所以当

取得极小值，033，所以sin3cos，又sin2cos20202000

min

L.0

1，所以cos2

4，又

0,， 0 13

0 2所以cos 0

2 ，所以sin13

3 ，13L0

27sin0

8cos0

1313(cm)，所以能通过此钢管的铁棒最大长度为1313cm.【点睛】本题考查导数在实际问题中的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.21（）x24y（）①证明见解析；②能，0,1.【解析】pC的方程； x2 x2 Ax,

1 ，Bx,

2 PAPBP的坐标.设点Q

0,t

，直线AB1 4 2 4的方程ykxtP的坐标，写出点C,DCD,PQ相互平PCQDPCQDPQCD，求出tQ的坐标.【详解】MF2p2

3，所以p2，即抛物线C的方程是x24y.x2 x

x2

x2x2

4y得y ，y'

.Ax,

1 ，Bx,

2 ，4 2x2 x

1 4 2 4则直线PA的方程为y 1 1 xx （ⅰ，4 2 1x2 x 则直线PB的方程为y 2 2 xx

（ⅱ，4 2 2xx x

xx

xx 由（ⅰ）和（ⅱ）解得：x 1

2y 12P

1 2,2

12.2 4 4 设点Q0,t，则直线AB的方程为ykxt.x24y由 得x24kx0，则xx

4k，xx

4t，ykxt

1 2 12所以P2k,t，所以线段PQ被x轴平分，即被线段CD平分.x

xx y0x

1C

1,0D

2,0所以线段CD的中点坐标为 1

2,0

k,0 ，2

4 又因为直线PQ的方程为ytxt，所以线段CD的中点k,0在直线PQ上，即线段CD被线段PQ平分.k因此，四边形PCQD是平行四边形.②由①知，四边形PCQD是平行四边形.PCQDPQCD，即4k24t2x4k24t2xx21 2412xx24xx12121216k216t解得t1，故当点Q为即为抛物线的焦点时，四边形PCQD 是矩形.【点睛】本题考查抛物线的方程，考查直线和抛物线的位置关系，属于难题.1 22（1）A4，B 4.（2）A

，B

n

3n112 2【解析】

n 2 n利用枚举法将范数为奇数