湖北省部分省重点中学2020-2021学年高二上学期期中联考数学试题

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数学试题满分150分，时间120分钟.第I卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1.已知点A（-3,2）,B（0,-1），则直线ab的倾斜角为（）A．300B．450C．1350D．2.某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，则选出来的034743738636964736614698637162332616804560111410957774246762428114572042533237322707360751245179A．36B．16C．11D．143.AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且A=兀,c=4，a=2\/6，则角C=（))第5个零件编号是B.AB.4.已知％卩是平面，I、m是直线，a丄卩且a卩=l,mua，贝廿“m丄卩”是“m丄I”的（）°A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.若圆O］：x2+y2=5与圆O2：（x—m）2+y2=20（meR）相交于A,B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是（）A.A.2B.4C.5D.1066.已知直线I：A3+20•2-+y=2(a>0,b>0)经过定点M(1,1),ab则3a+2b的最小值是（）第7题图则3a+2b的最小值是（）第7题图5+u6D.327．某学校随机抽查了本校20个学生，调查他们平均每天进行体育锻炼的时间（单位：min）,根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是[0,5）,[5,10）,…,[35,40]，作出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（）767654476765440755斗2I(J95/120Bl74764440755421095320C.74'—门d754421095320746444076521055208•棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，点P在线段AD上（点P异于A、D两点），线1111段DD的中点为点Q，若平面BPQ截该正方体所得的截面为四边形，则线段AP长度的1取值范围为（）A.BA.B.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分下列说法正确的是（）命题“VxeR，x2>—1"的否定是“3xeR，x2<-1”00命题“3xe（-3,+Q，x2<9”的否定是“Vxe（—3,+s），x2>9”00“m<0”是“关于x的方程x2—2x+m=0有一正一负根”的充分不必要条件“a>5”是命题“VxeR,x2+ax+a>0”为假命题的充分不必要条件抛掷一枚骰子1次，记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,则下列关于事件A，B，C，D判断正确的是（）A.A与B是互斥事件但不是对立事件B.A与C是互斥事件也是对立事件C.A与D是互斥事件D.C与D不是对立事件也不是互斥事件以下四个命题为真命题的是（）过点（-10,10）且在X轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为y=-1x+1542—「兀15兀直线xcose+73y+2=0的倾斜角的范围是0,三[=,兀）L66UC・曲线C:X2+y2+2X=0与曲线C:x2+y2-4x-8y+m=0恰有一条公切线，则m=412D.设p是直线x-y-2=0上的动点，过p点作圆O:x2+y2=1的切线PA,PB，切点为A,B，则经过A,P,O三点的圆必过两个定点。12•正四棱锥P-ABCD的底面边长为2,侧面与底面所成二面角的大小为60°,下列结论正确的是（）A.直线PA与BC、PA与CD所成的角相等B.侧棱与底面所成角的正切值为五3C・该四棱锥的体积为4^3D.该四棱锥的外接球的表面积为血3第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分13•已知在最小二乘法原理下，具有相关关系的变量x,y之间的线性回归方程为y=_0.7x+10.3，且变量x,y之x681012间的相关数据如表所示，则m的y6m32值为・14•甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是2，甲获胜的概率是1，则乙获胜的概率是・15•直线l:y二x+1与圆C：x2+y2-4y+3=0交于A、B两点，则AABC的面积是已知锐角三角形AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.且b=2asinB,则cosB+sinC的取值范围为・四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本题10分）（1）一条光线从点P（6,4）射出，与x轴相交于点Q（2,0），经x轴反射

后与y轴交于点h，求反射光线qh所在直线的方程.（2）已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1,2,3,5,6,现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A=“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B二“抽取的两个小球标号之积大于8”，求事件“AB”发生的概率．根据跑步爱好者的周跑量，将跑周跑量小于20根据跑步爱好者的周跑量，将跑周跑量小于20公20公里到不小于40类别休闲跑者核心跑者精英跑者装备价格2500400045003)18.某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”）,得到如下的频数分布表：周跑量[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50)150,55〕人数100120130180220150603010（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；（2）根据以上图表数据，试求样本的中位数及众数（保留一位小数）；步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样（如表）,根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？19．某公司决定利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的储藏室.由于储藏室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：储藏室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元，设屋子的左右两面墙的长度均为x米（1<x<5）1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价.（2）现有乙工程队也要参与此储藏室的建造竞标，其给出的整体报价为1800a（1*X）元

(a>o),若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.20.(本题12分)在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,bc,已知cosAcosC1+=.sinAsinCsinB求角B的取值范围；若sinB二戸，且BA-BC=3，求IBA+BCI的值.4221.21.(本题12分)已知△ABC中，AB丄BC,BC=12,AB=24，分别取边AB,AC的中点D,E，将AADE沿de折起到AADE的位置，设点M为棱A1D的中点，点p为A1B的中点,棱BC上的点N满足BN=3NC・求证：MN//平面A]EC；试探究在AADE的折起过程中，是否存在一个位置，使得三棱锥N-PCE的体积为18,若存在，求出二面角A1-DE-C的大小，若不存在，请说明理由.22.(本题12分)已知点A(-2J3,0),圆O:x2+y2=1，点Q是圆O上的动点，点A关于点Q的对称点为点p，设点p的轨迹为「，以p为圆心作圆与x轴相切于点n且与r相交于B、C两点.求点p的轨迹r的方程；证明：直线BC平分线段PN；(3)设直线BC与PN的交点为M，直线l:x二旦3,M到/的距离记为d，试探究x3轴上是否存在定点E，使得为定值，若存在，求出定点坐标和该定值九，若不存d在，请说明理由．湖北省部分重点中学联合考试数学试题参考答案一、选择题：1.C【解析】•・•直线过点A（-3,2）,B（0,—1）,・・・k=马=-1，设AB的倾斜角为QAB-3—0（0<a<180）,tana=-1,Aa=135•故选C・TOC\o"1-5"\h\zC。。【解析】从题中给的随机数表第一行第3列开始从左往右开始读取,重复的数字只读一次,读到的小于40的编号分别为36,33,26,16,11,故选：C.B【解析】由正弦定理，£=亠，所以sinC亠，又a>c,则a〉C,sinAsinC2兀所以C-，故选B・44.C【解析】充分性：因为lup,m丄卩，所以m丄l,所以充分性满足；必要性：因为a丄卩且a卩二l,mua,m丄l,所以m丄卩，所以必要性满足.所以“m丄卩”是“m丄卩”的充要条件故选C5.B【解析】由圆的几何性质两圆在点A处的切线互相垂直，且过对方圆心020]•则在RtgAO]中，©AQAj莎，斜边上的高为半弦，用等积法易得：•5=25•^20|AB|=4•故答案为：B26.C【解析】由题意知1+1=2,A丄（丄+1=1，且a,b是两个不同的正数，所以ab2ab3a+2b=丄（丄+丄）（3°+2b）二丄（5+丸+越）>丄（5+2\⑥=5+后，当且仅当竺=越时2ab2ba22ba

等号成立，故3a+2b的最小值是5+厉.故选：C27.B【解析】从题设中提供的频率分布直方图可算得在区间［0,5）,［5,10）内各有O.Olx20x5=1个，答案A被排除；在区间［10,15）内有0.04x20x5=4个；在区间［15,20）内有0.02x20x5=2个；在区间［20,25)内有0.04x20x5=4个；在区间［25,30),［30,35)内各有0.03x20x5=3个，答案C被排除；在区间［35,40）内有0.02x20x5=2个，答案D被排除；依据这些数据信息可推知，应选答案B.8.D【解析】如图所示：设平面当BPQ与直线CC［交于点E,在正方体ABCD-ABCD(棱长为1)中，因为平面ADDA//平面BCCB,平面BPQ平11111111面ADDA=PQ，平面BPQ平面BCCB=BE，所以BE//PQ，所以PDQBCE,1111所以PDDQBCCE所以PDDQBCCE12CE,若平面BPQ截该正方体所得的截面为四边形，则需点E在线段CC之间，当P在A点时，E为CC的中点，因为点P在线段AD上11（点P异于A、D两点），则1<CE<1，所以1V2CE<2，所以1<吕<1，即1<PD<1,222CE2所以0<AP<1，故选：D2二、选择题:9.BD【解析】A.命题“VxeR,x2>-1”的否定是“兀&R,x2<—1”，故错误；00命题“3xe(-3,+8),x2<9”的否定是“Vxe(-3,+Q,x2>9”，故正确；00「4一4m>0关于x的方程x2-2x+m二0有一正一负根门om<0，所以“m<0”是m<0“关于x的方程x2-2x+m二0有一正一负根”的充要条件，故错误

D•命题“VxeR,x2+ax+a>0”的否定“叫R，x0+ax。+a<0”为真命题’所以a2-4a>0oa<0或a>4，故a>5是命题"VxeR,x2+ax+a>0”为假命题的充分不必要条件•故正确；故选：BD.10.ABD【解析】抛掷一枚骰子1次，记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,在A中,A与B不能同时发生，但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件，故A正确;在B中，A与C是互斥事件也是对立事件，故B正确；在C中,A与D能同时发生,不是互斥事件，故C错误；在D中，C与D能同时发生，不是对立事件也不是互斥事件，故D正确.故选：ABD.11.BD【解析】对于A，设y-10=k(x+10),所以横截距为-10-10，纵截距为10k+10，所k以-也-10=4(10k+10)，解得k=-—或k=-1，所以直线方程为y=—x或k4115y=-—x+.A错误；42对于B对于B，由题知k一斗狀，故炸-，当k$0<-^时，直线倾斜角时，直线倾斜角a时，直线倾斜角aw，故直线的倾斜角的范围是c兀「5兀)0,—U——,冗L6」L6丿.B正确；对于C，曲线C:x2+y2+2x=0化为标准式得，(x+1)2+y2=1，曲线C2:x2+y2-4x-8y+m=0化为标准式得，(x-2)2+(y-4)2=20-m>0所以，圆心距为5,因为有一条公切线，所以两圆内切，即耳'20-m-1=5，解得m=-16，C错误；对于D,设点P(m,m-2)，根据切线的性质，可得AO丄PA，经过A,P,O的三点的圆,即为以PO为直径的圆，则圆的方程为x(x-m)+y(y-m+2)=0，整理得令E+订2y_0，解得;x-0'c或1x+y-0y-0(x2+y2+2y)-(x+y)m=0,x=1y=j即经过A,P,O三点的圆必经过定点(0,0),(l,-1).D正确，故选BD12.AD【解析】连结AC,BD，交于点O，连结PO，取AD中点E,所示:对于A,因为BCIIAD，所以直线PA与BC所成角为ZPAD,因为CD//AB，所以PA与CD所成的角为ZPAB,PA=PB=PD,AB=ADZPAD=ZPAB,・・・直线PA与BC、PA与CD所成的角相等，故A正确;对于B,TPO丄平面ABCD,・・・ZPAO是侧棱与底面所成角,•・•A正四棱锥P-ABCD中，底面边长为2,侧面与底面所成二面角的大小为60°,AO=2AC=2<22+22=\；2,ZPEO=60°,OE=1,PE=2,PO-\22-12=讣3，.•.侧棱与底面所成角的正切值为tanZPAO==^6，故b错误;对于C,该四棱锥的体积为V-1xSxPO-1x2x2x拒，故C错误;3正方形ABCD33对于D,由题意可知正四凌锥P-ABCD中外接球的球心在PO上,设外接球的球心为M，连接MC,设该四棱锥的外接球半径为R,在RtMOC中，MC=R,OM=J3-R,OC=,由勾股定理，可得R2-(73-R)，解得R25兀・••该四棱锥的外接球的表面积为S-4兀R2-吕_故D正确.故选：AD.三、填空题：13.5【解析】由表中数据可知，X-6+8+10+12-9,411+m根据样本中心点必在线性回归方程上，有-411+m4-0.7x9+10.3，解得m=5，故填514.IO【解析】因为甲、乙两人下成和棋的概率是2,甲获胜的概率是5，所以乙获胜的概率1-1一1=丄521015.-2【解析】圆C：x2+（y一2）2二1,C（0,2）到直线l的距离d=七严耳'AB1=2丐-*S=1IABI-d=1.爲•巨=-aabc2222(433)16.—,322【解析】依题意b二2。smB，由正弦定理得sinB=2sinAsinB，所以sinA二2mA二寻7T由于三角形ABC是锐角三角形，所以A=-.由＜6A+B>-2<BV，所以0<B<-322(5-cosB+sinC=cosB+sinBI6丿)173.3忑.=cosB+—cosBHsinB二一cosBHsinB22222-=73sinB+二由于二＜B+二＜二，所以sin[B+Te(1百)13丿22'厶厶丿，所以(-)B+_e空113J[22丿<3sin•故填岁2「四、解答题：17.(1)17.(1)y=—X+2；(2)20【解析】（1）作点P（6,4）关于轴的对称点的坐标件（6,-4）,则反射光线所在的直线过点P和Q，所以诫芒=-1,所以反射光线QH的方程为y=-6-2），即5分（2）由题意，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共包含20个基本事件;“抽取的两个小球标号之和大于5”包含的基本事件有：（1,5）,（1,6）,（2,5）,（2,6）,（3,3）,（3,5）,（3,6）,（4,2）,（4,3）,（4,5）,（4,6），共n个基本事件；7分“抽取的两个小球标号之积大于8”包含的基本事件有：（2,5）,（2,6）,（3,3）,（3,5）,（3,6）,（4,3）,（4,5）,（4,6），共8个基本事件；8分即事件B是事件A的子事件；所以事件AB包含的基本事件个数为11个,所以事件AB发生的概率为112010分18.（1）图见解析；（2）中位数约为29.2，众数为32.5；（3）3720（元）.解析】（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图如下：0-<»480.C44山04£0.0320.0280.0240.0O.OL60.0120.OTSCL0044分（2）由频率分布直方图得样本的众数为30+35=32.5,•…25分由频率分布直方图得［10,25）的频率为（0.02+0.024+0.026）x5二0.35,[25,30)的频率为0.036x5=0.18，设样本的中位数为x，则0.35+(x-25)x0.036=0.5,解得x沁29.2,・••样本的中位数约为29.2.8分（3）依题意知休闲跑者共有：（5x0.02+5x0.024）x1000二220人,核心跑者共有(5x0.026+5x0.036+5x0.044+5x0.030)x1000二680人,1161161616精英跑者共有1000-220-680=100人，.••估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费1(220x2500+680x4000+100x4500)二37201000(元)•12分19.(1)当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元；(2)0<a<12.【解析】(1)甲工程队的总造价为y元，14400(114400(1<x<5)，y二3[300x2x+400x兰]+14400二TOC\o"1-5"\h\zIx丿3分[K1Z71800x+二+14400>1800x2x」x-仝+14400二28800•当且仅当x二—，即x=4时等号xx成立.即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元.5分(2)由题意可得，1800fx+16V14400>1800a°+x)对任意的xe11,5］恒成立.Vx丿x(x+4)2a(1(x+4)2a(1+x)即>—，从而(x+4匕>a恒成立，令x+1=te[2,6]，y，=(xl±=a=t+9+6>2t9分t-9+6=12，故猛⑵所以0<a<12.12分兀20・(1)(0中；(2)siiiB解析】(1)因为siiiBidsAco&CcchAsiuC-I-cogCsinA£ni(A4-C)siiiAsiiiC■iiiiAsiiiiCsbiAsiuC冷iiiBsiiiAsiiiC所以'....：.,由正弦定理可得,

TOC\o"1-5"\h\zI-J//.■4分因为上、•丄二所以•：:，即止"卜；；6分(2)因为-■•二二，且b2=ac，所以B不是最大角，所以/.・所以--「-产「，得辽-二因而卜：-〕・8分由余弦定理得«■■/--H,所以--・10分所以T-^,:，ji-C即:,-!■■-'•12分21.(1)见解析;(2)30或150.【解析】(1)证明：取A1E中点F，连接MF,CF•・•M为棱AD的中点，・•・MF//DE且MF二-DE，而AABC中，12D,E为边AB,AC的中点，则DE//BC，且DE二-BCMF//BC，即2MF//NC且MF二-BC二NC,・••四边形MFCN为平行四边形，.・.MN//FC411AEC5分1•MN乞平面AEC,FCu11AEC5分1(2)在AABC中，DE//BC,AB丄BC,/.DE丄AB；所以在立体图中，DE丄AD,DE丄BD,111角，n7分ADBD二D,aZAD