现代数学简介课件

现代数学简介复旦大学数学科学学院刘宪高现代数学简介复旦大学数学科学学院1现代数学的主要内容现代数学时期是指由19世纪20年代至今，这一时期数学主要研究的是最一般的数量关系和空间形式，数和量仅仅是它的极特殊的情形，通常的一维、二维、三维空间的几何形象也仅仅是特殊情形。分析学，几何学和拓扑学、代数学是整个现代数学科学的主体部分。它们是大学数学专业的课程。现代数学的主要内容现代数学时期是指由19世纪20年代至今，这2非欧几何1826年，罗巴契夫斯基和里耶首先提出的。非欧几何的出现，改变了人们认为欧氏几何唯一地存在是天经地义的观点。它的革命思想不仅为新几何学开辟了道路，而且是20世纪相对论产生的前奏和准备。1854年，黎曼推广了空间的概念，开创了几何学一片更广阔的领域——黎曼几何学。非欧几何学的发现还促进了公理方法的深入探讨，研究可以作为基础的概念和原则，分析公理的完全性、相容性和独立性等问题。非欧几何1826年，罗巴契夫斯基和里耶首先提出的。非欧几何的3不可交换代数在1843年，哈密顿发现了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。不可交换代数的出现，改变了人们认为存在与一般的算术代数不同的代数是不可思议的观点。它的革命思想打开了近代代数的大门。另一方面，由于一元方程根式求解条件的探究，引进了群的概念。19世纪20～30年代，阿贝尔和伽罗华开创了近世代数学的研究。古典代数的内容是以讨论方程的解法为中心的。群论之后，多种代数系统(环、域、格、布尔代数、线性空间等)被建立。不可交换代数在1843年，哈密顿发现了一种乘法交换律不成立的4数学的严格化1）分析的算术化（19世纪）。Newton和Leibnitz创立了微积分.但是不严格。1874年威尔斯特拉斯提出了一个引人注目的例子，要求人们对分析基础作更深刻的理解。他提出了被称为“分析的算术化”的著名设想，实数系本身最先应该严格化，然后分析的所有概念应该由此数系导出。今天的全部分析可以从表明实数系特征的一个公设集中逻辑地推导出来。欧几里得几何通过其分析的解释，也可以放在实数系中；如果欧氏几何是相容的，则几何的多数分支是相容的。实数系(或某部分)可以用来解群代数的众多分支；可使大量的代数相容性依赖于实数系的相容性。事实上，可以说：如果实数系是相容的，则现存的全部数学也是相容的。

数学的严格化1）分析的算术化（19世纪）。Newton和L5数学的严格化2）欧几里得几何通过其分析的解释（解析几何），也可以放在实数系中；如果欧氏几何是相容的，则几何的多数分支是相容的。实数系(或某部分)可以用来解群代数的众多分支；可使大量的代数相容性依赖于实数系的相容性。事实上，可以说：如果实数系是相容的，则现存的全部数学也是相容的。数学的严格化2）欧几里得几何通过其分析的解释（解析几何），也6数学的严格化3）19世纪后期，由于狄德金、康托和皮亚诺的工作，这些数学基础已经建立在更简单、更基础的自然数系之上。即他们证明了实数系(由此导出多种数学)能从确立自然数系的公设集中导出。20世纪初期，证明了自然数可用集合论概念来定义，因而各种数学能以集合论为基础来讲述。数学的严格化3）19世纪后期，由于狄德金、康托和皮亚诺的工作7数学的严格化4)拓扑学开始是几何学的一个分支，但是直到20世纪的第二个1/4世纪，它才得到了推广。拓扑学可以粗略地定义为对于连续性的数学研究。科学家们认识到：任何事物的集合，不管是点的集合、数的集合、代数实体的集合、函数的集合或非数学对象的集合，都能在某种意义上构成拓扑空间。数学的严格化4)拓扑学开始是几何学的一个分支，但是直到28Newton(25December1642–20March1727)Newton(25December1642–20M9Leibnitz(July1,1646–November14,1716)Leibnitz(July1,1646–Novemb10Hilbert(January23,1862–February14,1943)Hilbert(January23,1862–Feb11KarlWeierstrass(German,

31October1815–19February1897)KarlWeierstrass(German,31O12

Augustin-LouisCauchy(French,21August1789–23May1857)Augustin-LouisCauchy(French13BernhardRiemann(September17,1826–July20,1866)BernhardRiemann(September17,14Euler(15April1707–18September1783)Euler(15April1707–18Sept15SergeiLvovichSobolev(Russian,6October1908–3January1989)SergeiLvovichSobolev(Russia16CharlesBradfieldMorrey

(23July1907–29April1984)CharlesBradfieldMorrey(2317JohannCarlFriedrichGauss(30April1777–23February1855)JohannCarlFriedrichGauss(318邱成桐邱成桐19Hilbert的23个问题伟大的数学家Hilbert希尔伯特（HilbertD.,1862.1.23～1943.2.14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。希尔伯特是哥廷根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响。希尔伯特去世时，德国《自然》杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字。1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的"希尔伯特23个问题"。

Hilbert的23个问题伟大的数学家Hilbert20Hilbert的23个问题

1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展。

1976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中，有三项就是希尔伯特第1、第5、第10问题的解决。由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。Hilbert的23个问题1975年，在美国伊利诺斯大学召21Hilbert的23个问题1．连续统假设1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔Zermelo-Fraenkel集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。Hilbert的23个问题1．连续统假设1874年，康托22Hilbert的23个问题2．算术公理的相容性欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。

1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。Hilbert的23个问题2．算术公理的相容性欧几里得几23Hilbert的23个问题3．两个等底等高四面体的体积相等问题问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。Hilbert的23个问题3．两个等底等高四面体的体积相等问24Hilbert的23个问题4．两点间以直线为距离最短线问题此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。

《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。Hilbert的23个问题4．两点间以直线为距离最短线问题25Hilbert的23个问题

5.一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的.

这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间经冯·诺伊曼（1933，对紧群情形）、邦德里雅金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果。Hilbert的23个问题26Hilbert的23个问题6.物理学的公理化希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学。1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑。Hilbert的23个问题6.物理学的公理化希尔伯特建议用27Hilbert的23个问题7.某些数的无理性与超越性1934年，A.O.盖尔方德和T.施奈德各自独立地解决了问题的后半部分，即对于任意代数数α≠0，1，和任意代数无理数β证明了αβ的超越性。Hilbert的23个问题7.某些数的无理性与超越性19328Hilbert的23个问题8.素数问题包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润（1966），但离最解决尚有距离。目前孪生素数问题的最佳结果也属于陈景润。Hilbert的23个问题29Hilbert的23个问题9．在任意数域中证明最一般的互反律该问题已由日本数学家高木贞治（1921）和德国数学家E.阿廷（1927）解决。Hilbert的23个问题9．在任意数域中证明最一般的互反律30Hilbert的23个问题10．丢番图方程的可解性能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解。希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？1970年，苏联的IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在。Hilbert的23个问题10．丢番图方程的可解性能求出31Hilbert的23个问题11．系数为任意代数数的二次型H.哈塞（1929）和C.L.西格尔（1936，1951）在这个问题上获得重要结果。Hilbert的23个问题11．系数为任意代数数的二次型H32Hilbert的23个问题12．将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去这一问题只有一些零星的结果，离彻底解决还相差很远。Hilbert的23个问题12．将阿贝尔域上的克罗克定理推33Hilbert的23个问题13．不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程七次方程的根依赖于3个参数a、b、c，即x=x（a，b，c）。这个函数能否用二元函数表示出来？苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形（1957），维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（1964）。但如果要求是解析函数，则问题尚未解决。Hilbert的23个问题13．不可能用只有两个变数的函数解34Hilbert的23个问题14．证明某类完备函数系的有限性这和代数不变量问题有关。1958年，日本数学家永田雅宜给出了反例。Hilbert的23个问题14．证明某类完备函数系的有限性35Hilbert的23个问题15．舒伯特计数演算的严格基础一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学不密切联系。但严格的基础迄今仍未确立。16．代数曲线和代数曲线面的拓扑问题这个问题分为两部分。前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部分要求讨论的极限环的最大个数和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式.苏联的彼得罗夫斯基曾宣称证明了n=2时极限环的个数不超过3，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例（1979）。Hilbert的23个问题15．舒伯特计数演算的严格基础36Hilbert的23个问题17．半正定形式的平方和表示一个实系数n元多项式对一切数组(x1,x2,...,xn)都恒大于或等于0，是否都能写成平方和的形式？1927年阿廷证明这是对的。18．用全等多面体构造空间由德国数学家比勃马赫（1910）、荚因哈特（1928）作出部分解决。Hilbert的23个问题17．半正定形式的平方和表示一37Hilbert的23个问题

19．正则变分问题的解是否一定解析对这一问题的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出了一些结果。Hilbert的23个问题38Hilbert的23个问题20．一般边值问题这一问题进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支。目前还在继续研究。Hilbert的23个问题20．一般边值问题这一问题进展39Hilbert的23个问题21．具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明已由希尔伯特本人（1905）和H.罗尔（1957）的工作解决。Hilbert的23个问题21．具有给定单值群的线性微分方程40Hilbert的23个问题22．由自守函数构成的解析函数的单值化它涉及艰辛的黎曼曲面论，1907年P.克伯获重要突破，其他方面尚未解决。Hilbert的23个问题22．由自守函数构成的解析函数的单41Hilbert的23个问题23．变分法的进一步发展出这并不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的一般看法。20世纪以来变分法有了很大的发展。这23问题涉及现代数学大部分重要领域，推动了20世纪数学的发展。Hilbert的23个问题23．变分法的进一步发展出这并42

数学7大难题2000年5月24日，千年数学会议在著名的法兰西学院举行。会上，98年费尔兹奖获得者伽沃斯（Gowers）以"数学的重要性"为题作了演讲，其后，塔特（Tate）和阿啼亚(Atiyah)公布和介绍了这七个"千年大奖问题"。

数学7大难题2000年5月24日，千年数学会议在著名的法43数学7大难题数学7大难题44现代数学简介复旦大学数学科学学院刘宪高现代数学简介复旦大学数学科学学院45现代数学的主要内容现代数学时期是指由19世纪20年代至今，这一时期数学主要研究的是最一般的数量关系和空间形式，数和量仅仅是它的极特殊的情形，通常的一维、二维、三维空间的几何形象也仅仅是特殊情形。分析学，几何学和拓扑学、代数学是整个现代数学科学的主体部分。它们是大学数学专业的课程。现代数学的主要内容现代数学时期是指由19世纪20年代至今，这46非欧几何1826年，罗巴契夫斯基和里耶首先提出的。非欧几何的出现，改变了人们认为欧氏几何唯一地存在是天经地义的观点。它的革命思想不仅为新几何学开辟了道路，而且是20世纪相对论产生的前奏和准备。1854年，黎曼推广了空间的概念，开创了几何学一片更广阔的领域——黎曼几何学。非欧几何学的发现还促进了公理方法的深入探讨，研究可以作为基础的概念和原则，分析公理的完全性、相容性和独立性等问题。非欧几何1826年，罗巴契夫斯基和里耶首先提出的。非欧几何的47不可交换代数在1843年，哈密顿发现了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。不可交换代数的出现，改变了人们认为存在与一般的算术代数不同的代数是不可思议的观点。它的革命思想打开了近代代数的大门。另一方面，由于一元方程根式求解条件的探究，引进了群的概念。19世纪20～30年代，阿贝尔和伽罗华开创了近世代数学的研究。古典代数的内容是以讨论方程的解法为中心的。群论之后，多种代数系统(环、域、格、布尔代数、线性空间等)被建立。不可交换代数在1843年，哈密顿发现了一种乘法交换律不成立的48数学的严格化1）分析的算术化（19世纪）。Newton和Leibnitz创立了微积分.但是不严格。1874年威尔斯特拉斯提出了一个引人注目的例子，要求人们对分析基础作更深刻的理解。他提出了被称为“分析的算术化”的著名设想，实数系本身最先应该严格化，然后分析的所有概念应该由此数系导出。今天的全部分析可以从表明实数系特征的一个公设集中逻辑地推导出来。欧几里得几何通过其分析的解释，也可以放在实数系中；如果欧氏几何是相容的，则几何的多数分支是相容的。实数系(或某部分)可以用来解群代数的众多分支；可使大量的代数相容性依赖于实数系的相容性。事实上，可以说：如果实数系是相容的，则现存的全部数学也是相容的。

数学的严格化1）分析的算术化（19世纪）。Newton和L49数学的严格化2）欧几里得几何通过其分析的解释（解析几何），也可以放在实数系中；如果欧氏几何是相容的，则几何的多数分支是相容的。实数系(或某部分)可以用来解群代数的众多分支；可使大量的代数相容性依赖于实数系的相容性。事实上，可以说：如果实数系是相容的，则现存的全部数学也是相容的。数学的严格化2）欧几里得几何通过其分析的解释（解析几何），也50数学的严格化3）19世纪后期，由于狄德金、康托和皮亚诺的工作，这些数学基础已经建立在更简单、更基础的自然数系之上。即他们证明了实数系(由此导出多种数学)能从确立自然数系的公设集中导出。20世纪初期，证明了自然数可用集合论概念来定义，因而各种数学能以集合论为基础来讲述。数学的严格化3）19世纪后期，由于狄德金、康托和皮亚诺的工作51数学的严格化4)拓扑学开始是几何学的一个分支，但是直到20世纪的第二个1/4世纪，它才得到了推广。拓扑学可以粗略地定义为对于连续性的数学研究。科学家们认识到：任何事物的集合，不管是点的集合、数的集合、代数实体的集合、函数的集合或非数学对象的集合，都能在某种意义上构成拓扑空间。数学的严格化4)拓扑学开始是几何学的一个分支，但是直到252Newton(25December1642–20March1727)Newton(25December1642–20M53Leibnitz(July1,1646–November14,1716)Leibnitz(July1,1646–Novemb54Hilbert(January23,1862–February14,1943)Hilbert(January23,1862–Feb55KarlWeierstrass(German,

31October1815–19February1897)KarlWeierstrass(German,31O56

Augustin-LouisCauchy(French,21August1789–23May1857)Augustin-LouisCauchy(French57BernhardRiemann(September17,1826–July20,1866)BernhardRiemann(September17,58Euler(15April1707–18September1783)Euler(15April1707–18Sept59SergeiLvovichSobolev(Russian,6October1908–3January1989)SergeiLvovichSobolev(Russia60CharlesBradfieldMorrey

(23July1907–29April1984)CharlesBradfieldMorrey(2361JohannCarlFriedrichGauss(30April1777–23February1855)JohannCarlFriedrichGauss(362邱成桐邱成桐63Hilbert的23个问题伟大的数学家Hilbert希尔伯特（HilbertD.,1862.1.23～1943.2.14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。希尔伯特是哥廷根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响。希尔伯特去世时，德国《自然》杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字。1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的"希尔伯特23个问题"。

Hilbert的23个问题伟大的数学家Hilbert64Hilbert的23个问题

1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展。

1976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中，有三项就是希尔伯特第1、第5、第10问题的解决。由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。Hilbert的23个问题1975年，在美国伊利诺斯大学召65Hilbert的23个问题1．连续统假设1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔Zermelo-Fraenkel集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。Hilbert的23个问题1．连续统假设1874年，康托66Hilbert的23个问题2．算术公理的相容性欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。

1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。Hilbert的23个问题2．算术公理的相容性欧几里得几67Hilbert的23个问题3．两个等底等高四面体的体积相等问题问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。Hilbert的23个问题3．两个等底等高四面体的体积相等问68Hilbert的23个问题4．两点间以直线为距离最短线问题此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。

《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。Hilbert的23个问题4．两点间以直线为距离最短线问题69Hilbert的23个问题

5.一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的.

这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间经冯·诺伊曼（1933，对紧群情形）、邦德里雅金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果。Hilbert的23个问题70Hilbert的23个问题6.物理学的公理化希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学。1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑。Hilbert的23个问题6.物理学的公理化希尔伯特建议用71Hilbert的23个问题7.某些数的无理性与超越性1934年，A.O.盖尔方德和T.施奈德各自独立地解决了问题的后半部分，即对于任意代数数α≠0，1，和任意代数无理数β证明了αβ的超越性。Hilbert的23个问题7.某些数的无理性与超越性19372Hilbert的23个问题8.素数问题包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润（1966），但离最解决尚有距离。目前孪生素数问题的最佳结果也属于陈景润。Hilbert的23个问题73Hilbert的23个问题9．在任意数域中证明最一般的互反律该问题已由日本数学家高木贞治（1921）和德国数学家E.阿廷（1927）解决。Hilbert的23个问题9．在任意数域中证明最一般的互反律74Hilbert的23个问题10．丢番图方程的可解性能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解。希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？1970年，苏联的IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在。Hilbert的23个问题10．丢番图方程的可解性能求出75Hilbert的23个问题11．系数为任意代数数的二次型H.哈塞（1929）和C.L.西格尔（1936，1951）在这个问题上获得重要结果。Hilbert的23个问题11．系数为任意代数数的二次型H76Hilbert的23个问题12．将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去这一问题只有一些零星的结果，离彻底解决还相差很远。Hilbert的23个问题12．将阿贝尔域上的克罗克定理推77Hilbert的23个问题13．不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程七次方程的根依赖于3个参数a、b、c，即x=x（a，b，c）。这个函数能否用二元函数表示出来？苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形（1957），维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（1964）。但如果要求是解析函数，则问题尚未解决。Hilbert的23个问题13．不可能用只有两个变数的函数解78Hilbert的23个问题14．证明某类完备函数系的有限性这和代数不变量问题有关。195