微积分4-4函数的单调性与极值课件

第四节一、函数单调性的判定法二、函数的极值函数的单调性与极值

第四章三、函数的最大值与最小值

第四节一、函数单调性的判定法二、函数的极值函数的单调性与极a:函数图像上升时切线斜率非负引入：b:函数图像下降时切线斜率非正a:函数图像上升时引入：b:函数图像下降时一、函数单调性的判定法若定理1.设函数则在I内单调递增(递减).证:无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明在I内单调递增.在开区间I内可导,证毕若则在I内是常数一、函数单调性的判定法若定理1.设函数则例1.

确定函数的单调区间.解:令得驻点故的单调增区间为的单调减区间为例1.确定函数的单调区间.解:令得驻点故的单调增区间为的单说明:

单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,说明:单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例说明:

3)划分函数的单调区间，确定其分界点时应考查和不存在的点，这样能保证在各部分区间内不变号，从而得到单调区间说明:3)划分函数的单调区间，确定其分界点时应考查和不存在例1.

确定函数的单调区间.解:令得驻点故的单调增区间为的单调减区间为例1.确定函数的单调区间.解:令得驻点故的单调增区间为的单令则从而即例2.

证明令则从而即例2.证明例3.

证明时,成立不等式证:

令从而因此且证例3.证明时,成立不等式证:令从而因此且证利用函数单调性证明不等式的方法步骤

1：构造辅助函数：使不等式一端是0，另一端做为辅助函数F(x)2：判断单调性：求F(x)的导函数，验证函数在指定区间上的单调性3：求出区间端点处的函数值或极限值，比较后即证。利用函数单调性证明不等式的方法步骤1：构造辅助函数：使不等例3.

证明提示：算二阶导，判断一阶导函数的单调性，再判断原函数的单调性例3.证明提示：算二阶导，判断一阶导函数的单调性，再判断原二、函数的极值及其求法定义:在其中当时,(1)则称为的极大点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小点,称为函数的极小值.极大值与极小值统称为极值.极大点与极小点统称为极值点.二、函数的极值及其求法定义:在其中当时,(1)则称定理1(必要条件)定义注意:例如,定理1(必要条件)定义注意:例如,注意:为极大点为极小点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.注意:为极大点为极小点不是极值点2)对常见函数,极值可定理2(第一充分条件)“左正右负”“左负右正”“左右同号”第一极值判别法定理2(第一充分条件)“左正右负”“左负右正”“左右同号”第(不是极值点情形)(是极值点情形)(不是极值点情形)(是极值点情形)例1解列表讨论极大值极小值10-22例1解列表讨论极大值极小值10-22图形如右极大值极小值10-22图形如右极大值极小值10-22例2.

确定函数的极值.解:令得是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为例2.确定函数的极值.解:令得是极大点，其极大值为是极小点例3.求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令得令得3)列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为例3.求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令定理3(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证:

(1)存在(2)类似可证.定理3(极值第二判别法)二阶导数,且则例4解图形如下例4解图形如下注意:注意:例6.

求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.例6.求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得例5解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.例5解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.求极值的步骤:求极值的步骤:内容小结1.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值作业P1241(1)(2)；4(2)内容小结1.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0第四节一、函数单调性的判定法二、函数的极值函数的单调性与极值

第四章三、函数的最大值与最小值

第四节一、函数单调性的判定法二、函数的极值函数的单调性与极a:函数图像上升时切线斜率非负引入：b:函数图像下降时切线斜率非正a:函数图像上升时引入：b:函数图像下降时一、函数单调性的判定法若定理1.设函数则在I内单调递增(递减).证:无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明在I内单调递增.在开区间I内可导,证毕若则在I内是常数一、函数单调性的判定法若定理1.设函数则例1.

确定函数的单调区间.解:令得驻点故的单调增区间为的单调减区间为例1.确定函数的单调区间.解:令得驻点故的单调增区间为的单说明:

单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,说明:单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例说明:

3)划分函数的单调区间，确定其分界点时应考查和不存在的点，这样能保证在各部分区间内不变号，从而得到单调区间说明:3)划分函数的单调区间，确定其分界点时应考查和不存在例1.

确定函数的单调区间.解:令得驻点故的单调增区间为的单调减区间为例1.确定函数的单调区间.解:令得驻点故的单调增区间为的单令则从而即例2.

证明令则从而即例2.证明例3.

证明时,成立不等式证:

令从而因此且证例3.证明时,成立不等式证:令从而因此且证利用函数单调性证明不等式的方法步骤

1：构造辅助函数：使不等式一端是0，另一端做为辅助函数F(x)2：判断单调性：求F(x)的导函数，验证函数在指定区间上的单调性3：求出区间端点处的函数值或极限值，比较后即证。利用函数单调性证明不等式的方法步骤1：构造辅助函数：使不等例3.

证明提示：算二阶导，判断一阶导函数的单调性，再判断原函数的单调性例3.证明提示：算二阶导，判断一阶导函数的单调性，再判断原二、函数的极值及其求法定义:在其中当时,(1)则称为的极大点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小点,称为函数的极小值.极大值与极小值统称为极值.极大点与极小点统称为极值点.二、函数的极值及其求法定义:在其中当时,(1)则称定理1(必要条件)定义注意:例如,定理1(必要条件)定义注意:例如,注意:为极大点为极小点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.注意:为极大点为极小点不是极值点2)对常见函数,极值可定理2(第一充分条件)“左正右负”“左负右正”“左右同号”第一极值判别法定理2(第一充分条件)“左正右负”“左负右正”“左右同号”第(不是极值点情形)(是极值点情形)(不是极值点情形)(是极值点情形)例1解列表讨论极大值极小值10-22例1解列表讨论极大值极小值10-22图形如右极大值极小值10-22图形如右极大值极小值10-22例2.

确定函数的极值.解:令得是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为例2.确定函数的极值.解:令得是极大点，其极大值为是极小点例3.求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令得令得3)列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为例3.求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令定理3(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证:

(1)存在(2)类似可证.定理3(极值第二判别法)二阶导数,且则例4解图形如下例4解图形如下注意:注意:例6.

求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.例6.求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得例5解注意:函