第一讲 运动的合成与分解 - 有答案

2016年3月14日化繁为简，助力飞越第四章曲线运动万有引力与航天第1讲曲线运动运动的合成与分解考点一、运动的合成与分解1.曲线运动(1)速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向．(2)运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动．(3)曲线运动的条件：2．运动的合成与分解(1)基本概念①运动的合成：已知分运动求合运动．②运动的分解：已知合运动求分运动．(2)分解原则：根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解．(3)遵循的规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则．判断正误，正确的划“√”，错误的划“×”．(1)速度发生变化的运动，一定是曲线运动．()(2)曲线运动的物体加速度一定是变化的．()(3)两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等．()(4)只要两个分运动是直线运动，合运动一定是直线运动．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×基础自测1．(单选)一质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内()．A．速度一定不断改变，加速度也一定不断改变B．速度一定不断改变，加速度可以不变C．速度可以不变，加速度一定不断地改变D．速度可以不变，加速度也可以不变解析做曲线运动的物体速度方向不断改变，加速度一定不为零，但加速度可能改变也可能不变，所以做曲线运动的物体可以是匀变速运动也可以是非匀变速运动．答案B2．(单选)关于运动的合成，下列说法中正确的是()．A．合运动的速度一定比每一个分运动的速度大B．两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等C．只要两个分运动是直线运动，合运动就一定是直线运动D．两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速直线运动答案B3．(多选)关于曲线运动的性质，以下说法正确的是()．A．曲线运动一定是变速运动B．曲线运动一定是变加速运动C．变速运动不一定是曲线运动D．运动物体的速度大小、加速度大小都不变的运动一定是直线运动解析曲线运动的速度方向是时刻发生变化的，因此是变速运动，A正确；加速度是否发生变化要看合外力是否发生变化，斜向上抛到空中的物体做曲线运动，但加速度大小不变，B错误；变速运动也可能是只有速度的大小发生变化，它就不是曲线运动，C正确；由匀速圆周运动知，D错误．答案AC4．(单选)如图4－1－1所示的曲线为运动员抛出的铅球运动轨迹(铅球视为质点)，A、B、C为曲线上的三点，关于铅球在B点的速度方向，下列说法正确的是()．图4－1－1A．沿AB的方向 B．沿BC的方向C．沿BD的方向 D．沿BE的方向解析由于做曲线运动的物体在某点的速度方向沿曲线在该点的切线方向，因此，铅球在B点的速度方向沿BD方向，C正确．答案C5．(2013·上海宝山区期末)(多选)如图4－1－2所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，现用一支铅笔贴着细线的左侧水平向右以速度v匀速移动，运动过程中保持铅笔的高度不变，悬挂橡皮的那段细线保持竖直，则在铅笔未碰到橡皮前，橡皮的运动情况是()．图4－1－2A．橡皮在水平方向上做匀速运动B．橡皮在竖直方向上做加速运动C．橡皮的运动轨迹是一条直线D．橡皮在图示虚线位置时的速度大小为veq\r(cos2θ＋1)解析悬挂橡皮的细线一直保持竖直，说明橡皮水平方向具有和铅笔一样的速度，A正确；在竖直方向上，橡皮的速度等于细线收缩的速度，把铅笔与细线接触的地方的速度沿细线方向和垂直细线方向分解，沿细线方向的分速度v1＝vsinθ，θ增大，沿细线方向的分速度增大，B正确；橡皮的加速度向上，与初速度不共线，所以做曲线运动，C错误；橡皮在题图虚线位置时的速度vt＝eq\r(v\o\al(2,1)＋v2)＝veq\r(sin2θ＋1)，D错误．答案AB热点一合运动的性质与轨迹判断1．合力方向与轨迹的关系无力不拐弯，拐弯必有力．曲线运动轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间，而且向合力的方向弯曲，或者说合力的方向总是指向曲线的“凹”侧．2．合力方向与速率变化的关系(1)当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大．(2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小．(3)当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变．【典例1】各种大型的货运站中少不了旋臂式起重机，如图4－1－3所示，该起重机的旋臂保持不动，可沿旋臂“行走”的天车有两个功能，一是吊着货物沿竖直方向运动，二是吊着货物沿旋臂水平运动．现天车吊着货物正在沿水平方向向右匀速行驶，同时又启动天车上的起吊电动机，使货物沿竖直方向做匀减速运动．此时，我们站在地面上观察到货物运动的轨迹可能是下图中的()．图4－1－3解析由于货物在水平方向做匀速运动，在竖直方向做匀减速运动，故货物所受的合外力竖直向下，由曲线运动的特点：所受的合外力要指向圆弧内侧可知，对应的运动轨迹可能为D.答案D【跟踪短训】1．某学生在体育场上抛出铅球，其运动轨迹如图4－1－4所示．已知在B点时的速度方向与加速度方向相互垂直，则下列说法中正确的是()．图4－1－4A．D点的速率比C点的速率大B．D点的加速度比C点的加速度大C．从B到D加速度与速度始终垂直D．从B到D加速度与速度的夹角先增大后减小解析铅球做斜抛运动，根据曲线运动的条件和题设中在B点的速度方向与加速度方向相互垂直，即竖直方向上的分速度为零，可判断B点是轨迹的最高点，根据加速度和速度方向间的关系可知A项正确；D点和C点的加速度一样大，都等于重力加速度，B错；过了B点后，在D点加速度与速度不可能再垂直，C错；根据曲线运动的特点，可判断从B点到D点加速度与速度的夹角一直减小，D错．答案A2．一个物体以初速度v0从A点开始在光滑水平面上运动．一个水平力作用在物体上，物体的运动轨迹如图中实线所示，图4－1－5中B为轨迹上一点，虚线是过A、B两点并与运动轨迹相切的直线，虚线和实线将水平面划分为图示的5个区域．则关于该施力物体位置的判断，下列说法中正确的是()．图4－1－5A．如果这个力是引力，则施力物体一定在④区域B．如果这个力是引力，则施力物体一定在②区域C．如果这个力是斥力，则施力物体一定在②区域D．如果这个力是斥力，则施力物体可能在①或③区域解析如果这个力是引力，则施力物体一定在④区域，这是因为曲线运动的轨迹应介于合外力的方向与速度的方向之间，且弯向合外力的一侧，选项A正确；如果这个力是斥力，在①②③⑤区域内任取一点分别与A、B两点相连并延长，可发现①③⑤区域的各点，对应轨迹不在合外力方向和速度方向之间，而②区域的点，对应轨迹在合外力方向和速度方向之间，因此选项C正确．答案AC热点二运动的合成与分解及应用1．合运动与分运动的关系(1)运动的独立性一个物体同时参与两个(或多个)运动，其中的任何一个运动并不会受其他分运动的干扰，而保持其运动性质不变，这就是运动的独立性原理．虽然各分运动互不干扰，但是它们共同决定合运动的性质和轨迹．(2)运动的等时性各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等(不同时的运动不能合成)．(3)运动的等效性各分运动叠加起来与合运动有相同的效果．2．运动的合成与分解的运算法则运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵守平行四边形定则．【典例2】质量为m＝2kg的物体在光滑的水平面上运动，在水平面上建立xOy坐标系，t＝0时物体位于坐标系的原点O.物体在x轴和y轴方向的分速度vx、vy随时间t变化的图线如图4－1－6甲、乙所示．则()．图4－1－6A．t＝0时，物体速度的大小为3m/sB．t＝8s时，物体速度的大小为4m/sC．t＝8s时，物体速度的方向与x轴正向夹角为37°D．t＝8s时，物体的位置坐标为(24m,16m)解析由题图可知，t＝0时刻，vx＝3m/s，vy＝0，所以t＝0时刻，物体的速度大小v0＝3m/s，A正确；t＝8s时，vx＝3m/s，vy＝4m/s，物体的速度大小v＝eq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))＝5m/s，B错误；速度方向与x轴正向夹角设为α，则tanα＝eq\f(vy,vx)＝eq\f(4,3)，α＝53°，C错误；t＝8s时，物体的位置坐标x＝vxt＝24m，y＝eq\f(1,2)ayt2＝16m，所以t＝8s时，物体的位置坐标为(24m,16m)，D正确．答案AD【跟踪短训】3．(2013·庆阳模拟)在无风的情况下，跳伞运动员从水平飞行的飞机上跳伞，下落过程中受到空气阻力，已知物体速度越大受到的空气阻力越大，下列描述下落速度的水平分量大小vx、竖直分量大小vy与时间t的图象，可能正确的是()．解析跳伞运动员下落过程中受到的空气阻力并非为恒力与速度有关．且速度越大受到的阻力越大，水平方向只受阻力，速度减小，阻力减小，加速度减小，在vx­t图象中图线的斜率表示加速度，故A错误、B正确；竖直方向运动员受重力和空气阻力，速度逐渐增大，阻力增大，合力减小，加速度减小，故C、D圴错．答案B4．如图4－1－7所示，从广州飞往上海的波音737航班上午10点到达上海浦东机场，若飞机在降落过程中的水平分速度为60m/s，竖直分速度为6m/s，已知飞机在水平方向做加速度大小等于2m/s2的匀减速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于0.2m/s2的匀减速直线运动，则飞机落地之前()．图4－1－7A．飞机的运动轨迹为曲线B．经20s飞机水平方向的分速度与竖直方向的分速度大小相等C．在第20s内，飞机在水平方向的分位移与竖直方向的分位移大小相等D．飞机在第20s内，水平方向的平均速度为21m/s解析由于初速度的方向与合加速度的方向相反，故飞机的运动轨迹为直线，A错误；由匀减速运动规律可知，飞机在第20s末的水平分速度为20m/s，竖直方向的分速度为2m/s，B错误；飞机在第20s内，水平位移x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(v0xt20＋\f(1,2)axt\o\al(2,20)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(v0xt19＋\f(1,2)axt\o\al(2,19)))＝21m，竖直位移y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(voyt20＋\f(1,2)ayt\o\al(2,20)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(v0yt19＋\f(1,2)ayt\o\al(2,19)))＝2.1m，C错误．飞机在第20s内，水平方向的平均速度为21m/s，D正确．答案D物理建模小船渡河模型1．模型构建在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动，其中一个速度大小和方向都不变，另一个速度大小不变，方向在180°范围内(在速度不变的分运动所在直线的一侧)变化．我们对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究．这样的运动系统可看作“小船渡河模型”．2．模型特点(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．(2)三种速度：v船(船在静水中的速度)、v水(水的流速)、v合(船的实际速度)．(3)两个极值①过河时间最短：v船⊥v水，tmin＝eq\f(d,v船)(d为河宽)．②过河位移最小：v合⊥v水(前提v船>v水)，如图4－1－8甲所示，此时xmin＝d船头指向上游与河岸夹角为α.cosα＝eq\f(v水,v船)；v船⊥v合(前提v船<v水)，如图乙所示．过河最小位移为xmin＝eq\f(d,sinα)＝eq\f(v水,v船)d.图4－1－8【典例】一小船渡河，河宽d＝180m，水流速度v1＝2.5m/s.若船在静水中的速度为v2＝5m/s，求：(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？解析(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向．当船头垂直河岸时，如图甲所示．合速度为倾斜方向，垂直分速度为v2＝5m/s.t＝eq\f(d,v2)＝eq\f(180,5)s＝36s，v＝eq\r(v\o\al(2,1)＋v\o\al(2,2))＝eq\f(5,2)eq\r(5)m/sx＝vt＝90eq\r(5)m(2)欲使船渡河航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直河岸方向成某一夹角α如图乙所示，有v2sinα＝v1，得α＝30°所以当船头向上游偏30°时航程最短．x′＝d＝180m.t′＝eq\f(d,v2cos30°)＝eq\f(180,\f(5,2)\r(3))s＝24eq\r(3)s答案(1)船头垂直于河岸36s90eq\r(5)m(2)船头向上游偏30°24eq\r(3)s180m反思总结1．小船过河问题分析思路2．解决这类问题的关键(1)正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头指向，是分运动．船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动，一般情况下与船头指向不一致．(2)运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则按水流方向和船头指向分解．(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关．(4)求最短渡河位移时，根据船速v船与水流速度v水的大小情况用三角形法则求极值的方法处理．即学即练河宽60m，水流速度v1＝6m/s，小船在静水中的速度v2＝3m/s，则：(1)它渡河的最短时间是多少？(2)最短航程是多少？解析(1)设船与岸成θ角开出，如图所示．渡河时间为：t＝eq\f(d,v2sinθ)当θ＝90°时渡河时间最短，tmin＝eq\f(d,v2)＝eq\f(60,3)s＝20s.(2)因为船速小于水速，所以小船一定向下游漂移．如图所示，以v1矢量末端为圆心，以v2矢量的大小为半径画弧，从v1矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知sinθ＝eq\f(v2,v1)，最短航程为：x短＝eq\f(d,sinθ)＝eq\f(v1,v2)d＝eq\f(6,3)×60m＝120m.答案(1)20s(2)120m对应高考题组1．(2011·上海卷·11)如图所示，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行．当绳与河岸的夹角为α时，船的速度大小为()．A．vsinα B．eq\f(v,sinα)C．vcosα D．eq\f(v,cosα)解析如图所示，把人的速度沿绳和垂直绳的方向分解，由几何知识有v船＝vcosα，所以C正确．A、B、D错误．答案C2．(2011·江苏卷，3)如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且OA＝OB.若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为()．A．t甲<t乙 B．t甲＝t乙C．t甲>t乙 D．无法确定解析设两人在静水中游速为v0，水速为v，则t甲＝eq\f(xOA,v0＋v)＋eq\f(xOA,v0－v)＝eq\f(2v0xOA,v\o\al(2,0)－v2)t乙＝eq\f(2xOB,\r(v\o\al(2,0)－v2))＝eq\f(2xOA,\r(v\o\al(2,0)－v2))<eq\f(2v0xOA,v\o\al(2,0)－v2)故A、B、D错，C对．答案C3．(2011·四川卷，22(1))某研究性学习小组进行如下实验：如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体R.将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，在R从坐标原点以速度v0＝3cm/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动．同学们测出某时刻R的坐标为(4,6)，此时R的速度大小为________cm/s.R在上升过程中运动轨迹的示意图是________．(R视为质点)解析红蜡块有水平方向的加速度，所受合外力指向曲线的内侧，所以其运动轨迹应如D图所示，因为竖直方向匀速，由y＝6cm＝v0t知t＝2s，水平方向x＝eq\f(vx,2)·t＝4cm，所以vx＝4cm/s，因此此时R的速度大小v＝eq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,0))＝5cm/s.答案5DA对点训练——练熟基础知识题组一物体做曲线运动的条件及轨迹分析1．(2013·广州模拟)(多选)关于做曲线运动的物体，下列说法中正确的是()．A．它所受的合外力一定不为零B．它所受的合外力一定是变力C．其速度可以保持不变D．其动能可以保持不变答案AD2．(单选)“神舟”十号飞船于2013年6月11日发射升空，如图所示，在“神舟”十号靠近轨道沿曲线从M点到N点的飞行过程中，速度逐渐减小．在此过程中“神舟”十号所受合力的方向可能是()．解析做曲线运动的物体所受合力的方向总是指向曲线凹侧，A、D错误；由于速度逐渐减小，故力F的方向与速度方向的夹角应大于90°，C正确．答案C3．(单选)如图4－1－9所示，在一次消防演习中，消防队员要借助消防车上的梯子爬到高处进行救人．为了节省救援时间，当消防车匀速前进的同时，人沿倾斜的梯子匀加速向上运动，则关于消防队员的运动，下列说法中正确的是()．图4－1－9A．消防队员做匀加速直线运动B．消防队员做匀变速曲线运动C．消防队员做变加速曲线运动D．消防队员水平方向的速度保持不变解析由于消防队员同时参与两个分运动，由两分运动的特点可知，其合运动为匀变速运动，但轨迹为曲线，故B正确；消防队员在水平方向的速度增大，D错误．答案B题组二运动的合成与分解4．(2013·吉林重点中学模拟)(多选)跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图4－1－10所示，当运动员从直升飞机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是()．图4－1－10A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害C．运动员下落时间与风力无关D．运动员着地速度与风力无关解析水平风力不会影响竖直方向的运动，所以运动员下落时间与风力无关，A错误，C正确．运动员落地时竖直方向的速度是确定的，水平风力越大，落地时水平分速度越大，运动员着地时的合速度越大，有可能对运动员造成伤害，B正确，D错误．答案BC5．(2013·济南模拟)(多选)如图4－1－11所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用钉子靠着线的左侧，沿与水平方向成30°角的斜面向右以速度v匀速运动，运动中始终保持悬线竖直，下列说法正确的是()．图4－1－11A．橡皮的速度大小为eq\r(2)vB．橡皮的速度大小为eq\r(3)vC．橡皮的速度与水平方向成60°角D．橡皮的速度与水平方向成45°角解析钉子沿斜面匀速运动，橡皮具有向上的分速度v，同时具有沿斜面方向的分速度v，根据运动的合成可知，橡皮的速度大小为eq\r(3)v，速度与水平方向成60°角，选项B、C正确．答案BC6．(多选)一质量为2kg的物体在5个共点力作用下做匀速直线运动．现同时撤去其中大小分别为10N和15N的两个力，其余的力保持不变．下列关于此后该物体运动的说法中，正确的是()．A．可能做匀减速直线运动，加速度大小为10m/s2B．可能做匀速圆周运动，向心加速度大小为5m/s2C．可能做匀变速曲线运动，加速度大小可能为5m/s2D．一定做匀变速直线运动，加速度大小可能为10m/s2解析物体在5个共点力作用下处于平衡状态，合力为零，当撤去10N和15N的两个力时，剩余3个力的合力与这两个力的合力等大反向，即撤去力后5N≤F合≤25N，2.5m/s2≤a合≤12.5m/s2，由于剩余3个力的合力方向与原速度方向不一定在一条直线上，所以可能做匀变速曲线运动，也可能做匀变速直线运动，故A、C正确．答案AC7．(多选)在一光滑水平面内建立平面直角坐标系，一物体从t＝0时刻起，由坐标原点O(0,0)开始运动，其沿x轴和y轴方向运动的速度—时间图象如图4－1－12甲、乙所示，下列说法中正确的是()．图4－1－12A．前2s内物体沿x轴做匀加速直线运动B．后2s内物体继续做匀加速直线运动，但加速度沿y轴方向C．4s末物体坐标为(4m,4m)D．4s末物体坐标为(6m,2m)解析前2s内物体在y轴方向速度为0，由题图甲知只沿x轴方向做匀加速直线运动，A正确；后2s内物体在x轴方向做匀速运动，在y轴方向做初速度为0的匀加速运动，加速度沿y轴方向，合运动是曲线运动，B错误；4s内物体在x轴方向上的位移是x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2＋2×2))m＝6m，在y轴方向上的位移为y＝eq\f(1,2)×2×2m＝2m，所以4s末物体坐标为(6m,2m)，D正确，C错误．答案AD题组三“小船渡河”问题8．(2013·黄冈期末)(多选)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线．则其中可能正确的是()．解析船头垂直于河岸时，船的实际航向应斜向右上方，A正确，C错误；船头斜向上游时，船的实际航向可能垂直于河岸，B正确；船头斜向下游时，船的实际航向一定斜向下游，D错误．答案AB9．(单选)唐僧、悟空、沙僧和八戒师徒四人想划船渡过一条宽150m的河，他们在静水中划船的速度为5m/s，现在他们观察到河水的流速为4m/s，对于这次划船过河，他们有各自的看法，其中正确的是()．A．唐僧说：我们要想到达正对岸就得朝着正对岸划船B．悟空说：我们要想节省时间就得朝着正对岸划船C．沙僧说：我们要想少走点路就得朝着正对岸划船D．八戒说：今天这种情况我们是不可能到达正对岸的解析当船朝正对岸运动时，渡河所用时间最短，B正确；由于船在静水中的速度大于水流速度，故船可以到达正对岸，但此时船头应斜向上游，A、C、D错误．答案B10．(单选)一小船在静水中的速度为3m/s，它在一条河宽为150m，水流速度为4m/s的河流中渡河，则该小船()．A．能到达正对岸B．渡河的时间可能少于50sC．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200mD．以最短位移渡河时，位移大小为150m解析因为小船在静水中的速度小于水流速度，所以小船不能到达正对岸，故A错误；当船头与河岸垂直时渡河时间最短，最短时间t＝eq\f(d,v船)＝50s，故渡河时间不能少于50s，故B错误；以最短时间渡河时，沿水流方向位移x＝v水t＝200m，故C正确；当v船与实际运动方向垂直时渡河位移最短，设此时船头与河岸的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(3,4)，故渡河位移s＝eq\f(d,cosθ)＝200m，故D错误．答案CB深化训练——提高能力技巧11．(2013·上海卷，20)(多选)如图4－1－13所示，为在平静海面上，两艘拖船A、B拖着驳船C运动的示意图．A、B的速度分别沿着缆绳CA、CB方向，A、B、C不在一条直线上．由于缆绳不可伸长，因此C的速度在CA、CB方向的投影分别与A、B的速度相等，由此可知C的()．图4－1－13A．速度大小可以介于A、B的速度大小之间B．速度大小一定不小于A、B的速度大小C．速度方向可能在CA和CB的夹角范围外D．速度方向一定在CA和CB的夹角范围内解析根据题述，C的速度大小一定不小于A、B的速度大小，选项A错误、B正确．C的速度方向一定在CA和CB的夹角范围内，选项C错误、D正确．答案BD12．如图4－1－14所示，为一次洪灾中，德国联邦国防军的直升机在小城洛伊宝根运送砂袋．该直升机A用长度足够长的悬索(重力可忽略不计)系住一质量m＝50kg的砂袋B，直升机A和砂袋B以v0＝10m/s的速度一起沿水平方向匀速运动，某时刻开始将砂袋放下，在5s时间内，B在竖直方向上移动的距离以y＝t2(单位：m)的规律变化，取g＝10m/s2.求在5s末砂袋B的速度大小及位移大小．图4－1－14解析砂袋在水平方向上做匀速直线运动，v0＝10m/s在竖直方向上砂袋的位移：y＝t2，即砂袋在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝2m/s2砂袋5s末在竖直方向上的速度为vy＝at＝10m/s合速度v＝eq\r(v\o\al(2,0)＋v\o\al(2,y))＝10eq\r(2)m/s竖直方向上的位移y＝eq\f(1,2)at2＝25m水平方向上的位移x＝v0t＝50m合位移s＝eq\r(x2＋y2)＝25eq\r(5)m.答案10eq\r(2)m/s25eq\r(5)m13．一物体在光滑水平面上运动，它在x方向和y方向上的两个分运动的速度—时间图象如图4－1－15所示．图4－1－15(1)判断物体的运动性质；(2)计算物体的初速度大小；(3)计算物体在前3s内和前6s内的位移大小．解析(1)由题图可知，物体在x轴方向做匀速直线运动，在y轴方向做匀变速运动，先减速再反向加速，所以物体做匀变速曲线运动．(2)vx0＝30m/s，vy0＝－40m/sv0＝eq\r(v\o\al(2,x0)＋v\o\al(2,y0))＝50m/s(3)x3＝vxt＝90m，|y3|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(vy0,2)))t＝60m则s1＝eq\r(x\o\al(2,3)＋y\o\al(2,3))＝30eq\r(13)m，x6＝vxt′＝180my6＝veq\x\to()t′＝eq\f(40－40,2)×6m＝0，则s2＝x6＝180m.答案(1)匀变速曲线运动(2)50m/s(3)30eq\r(13)m180m第2讲平抛运动考点一、抛体运动1.平抛运动的特点和性质(1)定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动．(2)性质：平抛运动是加速度为g的匀加速曲线运动，其运动轨迹是抛物线．(3)平抛运动的条件：①v0≠0，沿水平方向；②只受重力作用．(4)研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．(5)基本规律(如图4－2－1所示)．图4－2－1位移关系速度关系2．斜抛运动(说明：斜抛运动只作定性要求)(1)定义：将物体以初速度v0沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．(2)性质：加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．(3)研究方法：斜抛运动可以看做水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动的合运动．判断正误，正确的划“√”，错误的划“×”．(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动．()(2)平抛运动的速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化．()(3)做平抛运动的物体、在任意相等的时间内速度的变化相同．()(4)做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动时间越长．()(5)从同一高度水平抛出的物体，不计空气阻力，初速度越大，落地速度越大．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√基础自测1．(单选)做斜抛运动的物体，到达最高点时()．A．速度为零，加速度方向向下B．速度为零，加速度为零C．具有水平方向的速度和竖直向下的加速度D．具有水平方向的速度和加速度解析斜抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直上抛运动．因物体只受重力，且方向竖直向下，所以水平方向的分速度不变，竖直方向上的加速度也不变，所以只有C选项正确．答案C2．(多选)对平抛运动，下列说法正确的是()．A．平抛运动是加速度大小、方向不变的曲线运动B．做平抛运动的物体，在任何相等的时间内位移的增量都是相等的C．平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动D．落地时间和落地时的速度只与抛出点的高度有关解析平抛运动的物体只受重力作用，其加速度为重力加速度，故A项正确；做平抛运动的物体，在任何相等的时间内，其竖直方向位移增量Δy＝gt2，水平方向位移不变，故B项错误．平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，且落地时间t＝eq\r(\f(2h,g))，落地速度为v＝eq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))＝eq\r(v\o\al(2,0)＋2gh)，所以C项对、D项错．答案AC3．(单选)关于平抛运动，下列说法不正确的是()．A．平抛运动是一种在恒力作用下的曲线运动B．平抛运动的速度方向与恒力方向的夹角保持不变C．平抛运动的速度大小是时刻变化的D．平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越小解析平抛运动物体只受重力作用，故A正确；平抛运动是曲线运动，速度时刻变化，由v＝eq\r(v\o\al(2,0)＋gt2)知合速度v在增大，故C正确；对平抛物体的速度方向与加速度方向的夹角有tanθ＝eq\f(v0,vy)＝eq\f(v0,gt)，因t一直增大，所以tanθ变小，θ变小．故D正确，B错误．本题应选B.答案B4．(单选)一个物体以初速v0水平抛出，落地时速度为v，则运动时间为()．A.eq\f(v－v0,g) B．eq\f(v＋v0,g)C.eq\f(\r(v2－v\o\al(2,0)),g) D．eq\f(\r(v2＋v\o\al(2,0)),g)解析求出落地时的竖直分速度vy＝eq\r(v2－v\o\al(2,0))，在竖直方向求时间t＝eq\f(vy,g)＝eq\f(\r(v2－v\o\al(2,0)),g)，故C正确．答案C5．(2013·广东汕头测评)(多选)如图4－2－2，滑板运动员以速度v0从离地高度为h的平台末端水平飞出，落在水平地面上．忽略空气阻力，运动员和滑板可视为质点，下列表述正确的是()．图4－2－2A．v0越大，运动员在空中运动时间越长B．v0越大，运动员落地瞬间速度越大C．运动员落地瞬间速度与高度h有关D．运动员落地位置与v0大小无关解析在平抛运动中，飞行时间仅由高度决定，所以A错误；水平位移、落地速度(末速度)由高度和初速度共同决定，所以B、C对，D错误．答案BC热点一平抛运动基本规律的应用1．飞行时间：由t＝eq\r(\f(2h,g))知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．2．水平射程：x＝v0t＝v0eq\r(\f(2h,g))，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关．3．落地速度：v＝eq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))＝eq\r(v\o\al(2,0)＋2gh)，以θ表示落地速度与x轴正方向间的夹角，有tanθ＝eq\f(vy,vx)＝eq\f(\r(2gh),v0)，所以落地速度只与初速度v0和下落高度h有关．图4－2－34．速度变化量：做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图4－2－3所示．5．两个重要推论：(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图4－2－4所示．图4－2－4(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tanθ＝2tanα.图4－2－5【典例1】某物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角为θ，其正切值tanθ随时间t变化的图象如图4－2－6所示，(g取10m/s2)则()．图4－2－6A．第1s物体下落的高度为5mB．第1s物体下落的高度为10mC．物体的初速度为5m/sD．物体的初速度是10m/s解析因tanθ＝eq\f(gt,v0)＝eq\f(g,v0)t，对应图象可得eq\f(g,v0)＝1，v0＝10m/s，D正确，C错误；第1s内物体下落的高度h＝eq\f(1,2)gt2＝eq\f(1,2)×10×12m＝5m，A正确，B错误．答案AD反思总结“化曲为直”思想在平抛运动中的应用在研究平抛运动问题时，根据运动效果的等效性，利用运动分解的方法，将其转化为我们所熟悉的两个方向上的直线运动，即水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．再运用运动合成的方法求出平抛运动的规律．这种处理问题的方法可以变曲线运动为直线运动，变复杂运动为简单运动，是处理曲线运动问题的一种重要的思想方法．【跟踪短训】1．从高度为h处以水平速度v0抛出一个物体，要使该物体的落地速度与水平地面的夹角较大，则h与v0的取值应为下列四组中的哪一组()．A．h＝30m，v0＝10m/s B．h＝30m，v0＝30m/sC．h＝50m，v0＝30m/s D．h＝50m，v0＝10m/s解析要使落地速度与水平方向夹角较大，应使tanθ＝eq\f(vy,v0)＝eq\f(\r(2gh),v0)中θ较大，应使自由下落的高度h较大，同时使水平速度v0较小，故选项D正确．答案D2．初速度为v0的平抛物体，某时刻物体的水平分位移与竖直分位移大小相等，下列说法错误的是()．A．该时刻物体的水平分速度与竖直分速度相等B．该时刻物体的速率等于eq\r(5)v0C．物体运动的时间为eq\f(2v0,g)D．该时刻物体位移大小等于eq\f(2\r(2)v\o\al(2,0),g)解析设物体的运动时间为t，根据题意可列方程v0t＝eq\f(1,2)gt2，解得t＝eq\f(2v0,g)，可知C项正确；t＝eq\f(2v0,g)时，竖直分速度vy＝gt＝2v0≠v0，由于vx＝v0，该时刻物体瞬时速度为v＝eq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))＝eq\r(5)v0，可见选项A错误，B正确；t＝eq\f(2v0,g)时，物体的水平位移与竖直位移相等，x＝v0t＝eq\f(2v\o\al(2,0),g)＝y.则该时刻物体位移大小为s＝eq\r(x2＋y2)＝eq\f(2\r(2)v\o\al(2,0),g)，选项D也正确．答案A热点二多体的平抛问题一、求解多体平抛问题的三点注意(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动．(2)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定．(3)若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动．【典例2】(2012·课标全国卷，15)如图4－2－7所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向．图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的．不计空气阻力，则()．图4－2－7A．a的飞行时间比b的长 B．b和c的飞行时间相同C．a的水平速度比b的小 D．b的初速度比c的大审题指导关键点：看图获信息(1)小球b、c的高度相同tb＝tc(2)小球a的高度比b的低ta<tb(3)由图可知xa>xb>xc解析根据平抛运动的规律h＝eq\f(1,2)gt2，得t＝eq\r(\f(2h,g))，因此平抛运动的时间只由高度决定，因为hb＝hc>ha，所以b与c的飞行时间相同，大于a的飞行时间，因此选项A错误、选项B正确；又因为xa>xb，而ta<tb，所以a的水平初速度比b的大，选项C错误；做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动，b的水平位移大于c，而tb＝tc，所以vb>vc，即b的水平初速度比c的大，选项D正确．答案BD【跟踪短训】3．甲、乙两球位于同一竖直线上的不同位置，甲比乙高h，如图4－2－8所示，将甲、乙两球分别以v1、v2的初速度沿同一水平方向抛出，不计空气阻力，下列条件中有可能使乙球击中甲球的是()．图4－2－8A．同时抛出：且v1<v2B．甲比乙后抛出，且v1>v2C．甲比乙早抛出，且v1>v2D．甲比乙早抛出，且v1<v2解析两球竖直方向均做自由落体运动，要相遇，甲竖直位移比乙大，甲应早抛；甲早抛乙晚抛，要使两球水平位移相等，乙速度必须比甲大．答案D4．(2013·深圳模拟)如图4－2－9所示，在距水平地面H和4H高度处，同时将质量相同的a、b两小球以相同的初速度v0水平抛出，则以下判断正确的是()．图4－2－9A．a、b两小球同时落地B．两小球落地速度方向相同C．a、b两小球水平位移之比为1∶2D．a、b两小球水平位移之比为1∶4解析a、b两小球均做平抛运动，由于下落时间t＝eq\r(\f(2h,g))，水平位移x＝v0eq\r(\f(2h,g))，将ha＝H，hb＝4H代入上述关系式可得A、D错误，C正确；两小球落地时速度方向均与落地点沿轨迹的切线方向一致，所以B错误．答案C物理建模“平抛＋斜面”模型模型阐述：平抛运动与斜面相结合的模型，其特点是做平抛运动的物体落在斜面上，包括两种情况：(1)物体从空中抛出落在斜面上；(2)从斜面上抛出落在斜面上．在解答该类问题时，除要运用平抛运动的位移和速度规律外，还要充分利用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度的关系，从而使问题得到顺利解决.方法内容实例总结斜面求小球平抛时间分解速度水平vx＝v0竖直vy＝gt合速度v＝eq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))如图，vy＝gt，tanθ＝eq\f(v0,vy)＝eq\f(v0,gt)，故t＝eq\f(v0,gtanθ)分解速度，构建速度三角形分解位移水平x＝v0t竖直y＝eq\f(1,2)gt2合位移x合＝eq\r(x2＋y2)如图，x＝v0t，y＝eq\f(1,2)gt2，而tanθ＝eq\f(y,x)，联立得t＝eq\f(2v0tanθ,g)分解位移，构建位移三角形【典例】(2013·上海卷，19)如图4－2－10所示，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A.已知A点高度为h，山坡倾角为θ，由此可算出()．图4－2－10A．轰炸机的飞行高度B．轰炸机的飞行速度C．炸弹的飞行时间D．炸弹投出时的动能解析设轰炸机投弹位置高度为H，炸弹水平位移为s，则H－h＝eq\f(1,2)vyt，x＝v0t，二式相除eq\f(H－h,x)＝eq\f(1,2)·eq\f(vy,v0)，因为eq\f(vy,v0)＝eq\f(1,tanθ)，x＝eq\f(h,tanθ)，所以H＝h＋eq\f(h,2tan2θ)，A正确；根据H－h＝eq\f(1,2)gt2可求出飞行时间，再由x＝v0t可求出飞行速度，故B、C正确；不知道炸弹质量，不能求出炸弹的动能，D错误．答案ABC即学即练如图4－2－11所示，在足够长的斜面上的A点，以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上所用的时间为t1；若将此球改用2v0抛出，落到斜面上所用时间为t2，则t1与t2之比为()．图4－2－11A．1∶1 B．1∶2C．1∶3 D．1∶4解析因小球落在斜面上，所以两次位移与水平方向的夹角相等，由平抛运动规律知tanθ＝eq\f(\f(1,2)gt\o\al(2,1),v0t1)＝eq\f(\f(1,2)gt\o\al(2,2),2v0t2)，所以eq\f(t1,t2)＝eq\f(1,2).答案B对应高考题组1．(2012·江苏卷，6)如图所示，相距l的两小球A、B位于同一高度h(l、h均为定值)．将A向B水平抛出的同时，B自由下落．A、B与地面碰撞前后，水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反．不计空气阻力及小球与地面碰撞的时间，则()．A．A、B在第一次落地前能否相碰，取决于A的初速度B．A、B在第一次落地前若不碰，此后就不会相碰C．A、B不可能运动到最高处相碰D．A、B一定能相碰解析由题意知A做平抛运动，即水平方向做匀速直线运动，竖直方向为自由落体运动；B为自由落体运动，A、B竖直方向的运动相同，二者与地面碰撞前运动时间t1相同，且t1＝eq\r(\f(2h,g))，若第一次落地前相碰，只要满足A运动时间t＝eq\f(l,v)<t1，即v>eq\f(l,t1)，所以选项A正确；因为A、B在竖直方向的运动同步，始终处于同一高度，且A与地面相碰后水平速度不变，所以A一定会经过B所在的竖直线与B相碰．碰撞位置由A球的初速度决定，故选项B、C错误，选项D正确．答案AD2．(2011·广东卷，17)如图所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上．已知底线到网的距离为L，重力加速度取g，将球的运动视作平抛运动，下列表述正确的是()．A．球的速度v等于Leq\r(\f(g,2H))B．球从击出至落地所用时间为eq\r(\f(2H,g))C．球从击球点至落地点的位移等于LD．球从击球点至落地点的位移与球的质量有关解析球做平抛运动，则其在竖直方向做自由落体运动，由H＝eq\f(1,2)gt2得t＝eq\r(\f(2H,g))，故B正确，水平方向做匀速运动，由L＝vt得v＝eq\f(L,t)＝Leq\r(\f(g,2H))，可知A正确．球从击球点到落地点的位移s＝eq\r(H2＋L2)与m无关，可知C、D错误．答案AB3．(2011·海南卷，15)如图所示，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆，ab为沿水平方向的直径．若在a点以初速度v0沿ab方向抛出一小球，小球会击中坑壁上的c点．已知c点与水平地面的距离为圆半径的一半，求圆的半径．解析小球做平抛运动落到c点时的竖直位移为y＝eq\f(R,2)＝Rsin30°而y＝eq\f(1,2)gt2即eq\f(R,2)＝eq\f(1,2)gt2水平位移x＝R＋Rcos30°，而x＝v0t联立得R＝eq\f(4v\o\al(2,0),7＋4\r(3)g)＝(28－16eq\r(3))eq\f(v\o\al(2,0),g)答案(28－16eq\r(3))eq\f(v\o\al(2,0),g)4．(2010·北京卷，22)如图所示，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经3.0s落到斜坡上的A点．已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50kg.不计空气阻力．(取sin37°＝0.60，cos37°＝0.80；g取10m/s2)求(1)A点与O点的距离L；(2)运动员离开O点时的速度大小；(3)运动员落到A点时的动能．解析(1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有Lsin37°＝eq\f(1,2)gt2A点与O点的距离L＝eq\f(gt2,2sin37°)＝75m(2)设运动员离开O点的速度为v0，运动员在水平方向做匀速直线运动，即Lcos37°＝v0t，解得v0＝eq\f(Lcos37°,t)＝20m/s(3)由机械能守恒，取A点为重力势能零点，运动员落到A点时的动能为EkA＝mgLsin37°＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝32500J答案(1)75m(2)20m/s(3)32500JA对点训练——练熟基础知识题组一对抛体运动规律的理解及应用1．(多选)物体在平抛运动过程中，在相等的时间内，下列哪个量是相等的()．A．速度的增量 B．加速度C．位移 D．平均速率解析物体在平抛运动过程中，只受重力作用，据牛顿第二定律可知，物体的加速度为g保持不变，另外在相等的时间t内可知Δv＝gt也是恒量，故A、B正确；位移s＝eq\r(v0t2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)gt2))2)在相等的时间t内s大小不等，方向不同，故C错；其eq\x\to(v)＝eq\f(s,t)，由于s不同，则eq\x\to(v)不同，故D错．答案AB2．(单选)一架飞机以200m/s的速度在高空中某一水平面上做匀速直线运动，前、后相隔1s从飞机上落下A、B两个物体，不计空气阻力，落下时A、B两个物体相对飞机的速度均为零，在A、B以后的运动过程中，它们所处的位置关系是()．A．A在B的前方，沿水平方向两者相距200mB．A在B的后方，沿水平方向两者相距200mC．A在B的正下方，两者间的距离始终保持不变D．A在B的正下方，两者间的距离逐渐增大答案D3．(2013·济南模拟)(多选)如图4－2－12所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是()．图4－2－12A．小球水平抛出时的初速度大小为eq\f(gt,tanθ)B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为eq\f(θ,2)C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长D．若小球初速度增大，则θ减小解析落地时竖直方向上的速度vy＝gt.因为速度方向与水平方向的夹角为θ，所以落地的速度大小v＝eq\f(vy,sinθ)＝eq\f(gt,sinθ)，小球的初速度v0＝eq\f(vy,tanθ)＝eq\f(gt,tanθ)，A正确．速度与水平方向夹角的正切值tanθ＝eq\f(vy,v0)＝eq\f(gt,v0)，位移与水平方向夹角的正切值tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(gt,2v0)，tanθ＝2tanα，但α≠eq\f(θ,2)，故B错误．平抛运动的时间由高度决定，与初速度无关，故C错误．由于tanθ＝eq\f(vy,v0)＝eq\f(gt,v0)，若小球初速度增大，则θ减小，D正确．答案AD4．(2013·江苏卷，7)(多选)如图4－2－13所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同．空气阻力不计，则()．图4－2－13A．B的加速度比A的大B．B的飞行时间比A的长C．B在最高点的速度比A在最高点的大D．B在落地时的速度比A在落地时的大解析在同一位置抛出的两小球，不计空气阻力，在运动过程中的加速度等于重力加速度，故A、B的加速度相等，选项A错误；根据h＝eq\f(1,2)gt2，两球运动的最大高度相同，故两球飞行的时间相等，选项B错误；由于B的射程大，根据水平方向匀速运动的规律x＝vt，故B在最高点的速度比A的大，选项C正确；根据竖直方向自由落体运动，A、B落地时在竖直方向的速度相等，B的水平速度大，速度合成后B在落地时的速度比A的大，选项D正确．答案CD5．在一足够长的倾角为θ＝37°的光滑斜面顶端，由静止释放小球A，经过时间t后，仍在斜面顶端水平抛出另一小球B，为使抛出的小球B能够刚好击中小球A，小球B应以多大速度抛出？(已知重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)解析设B球平抛后经时间t1落到斜面上其水平位移为x＝vt1①其竖直位移为y＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,1)②考虑到斜面倾角有y＝xtanθ③根据①②③式可得t1＝eq\f(2vtanθ,g)＝eq\f(3v,2g)④B球位移为s＝eq\f(x,cosθ)＝eq\f(vt1,cosθ)＝eq\f(15v2,8g)⑤而在这段时间内A球总位移为l＝eq\f(1,2)gsinθ(t1＋t)2⑥因为两球相碰，则s＝l⑦由⑤⑥⑦可得v＝gt答案gt题组二多体的平抛问题6．(多选)在一次体育活动中，两个同学一前一后在同一水平直线上，分别抛出两个小球A和B，两个小球的运动轨迹如图4－2－14所示，不计空气阻力．要使两个小球在空中发生碰撞，必须()．图4－2－14A．先抛出A球，后抛出B球B．同时抛出两球C．A球抛出速度大于B球抛出速度D．使两球质量相等解析要使两个小球在空中发生碰撞，如题图所示，可知A、B两球下落高度一样，因此A、B两球下落时间应相同，所以A错误，B正确；还知A球的水平位移大于B球的水平位移，因此A球抛出速度应大于B球抛出速度，C正确；而整个过程与质量无关，因此D错误．答案BC7．(单选)在同一点O水平抛出的三个物体，做平抛运动的轨迹如图4－2－15所示，则三个物体做平抛运动的初速度vA、vB、vC的关系和三个物体做平抛运动的时间tA、tB、tC的关系分别是()．图4－2－15A．vA>vB>vC，tA>tB>tCB．vA＝vB＝vC，tA＝tB＝tCC．vA<vB<vC，tA>tB>tCD．vA>vB>vC，tA<tB<tC解析从题图中可以看出hA>hB>hC，由t＝eq\r(\f(2h,g))得tA>tB>tC.判断三个物体做平抛运动的初速度的大小时，可以补画一个水平面，如图所示，三个物体从O点抛出运动到这一水平面时所用的时间相等，由图可知水平位移xA<xB<xC，由v＝eq\f(x,t)可得vA<vB<vC，所以选项C正确．答案C8．(单选)如图4－2－16所示，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆，O为圆心，AB为沿水平方向的直径．若在A点以初速度v1沿AB方向平抛一小球，小球将击中坑壁上的最低点D点；而在C点以初速度v2沿BA方向平抛的小球也能击中D点．已知∠COD＝60°，则两小球初速度大小之比v1∶v2.(小球视为质点)()．图4－2－16A．1∶2 B．1∶3C．eq\r(3)∶2 D．eq\r(6)∶3解析小球从A点平抛：R＝v1t1，R＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,1)，小球从C点平抛：Rsin60°＝v2t2，R(1－cos60°)＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,2)，联立解得eq\f(v1,v2)＝eq\f(\r(6),3)，故选项D正确．答案D题组三“平抛＋斜面”问题9．(单选)如图4－2－17所示，小球以v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则飞行时间t为(重力加速度为g)()．图4－2－17A．t＝v0tanθB．t＝eq\f(2v0tanθ,g)C．t＝eq\f(v0cot