复变函数与积分变换重要知识点归纳

：：在z0时,矢量与 eei,z1.复数的概念：zxiy,x,y是实数,xRez,yImz.i21.注：一般两个复数不比较大小但其模〔为实数〕有大小2.1〕模：zx2y2； Argz当x0,argzarctany；

y0,argzarctany0,argzarctan

4〕三角表示：zzcosisin,其中argz；注：中间一定是"+"号.5〕指数表示：zzei,其中argz.<二>复数的运算1.加减法：若zxiy xiy,则zzxxiyy1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2.乘除法：1〕若zxiy xiy,则1 1 2 2

；

i

y21

1

ei,则2

wwfz,在几何上可以看作把zzzcos3.1）若zz(cosisin)zei,则zn2）若zz(cosisin)zei,则

zn(cosnisinn)znein.

2k

2k

(k0,1,2 复变函数1．复变函数：

的一个2．复初等函数1〕指数函数：ezexcosyisiny,在z平面处处可导,处处解析；且ezez.3）对数函数：Lnzlnzi(argz2k)(k0,1,2)〔多值函数〕；主值：lnzlnziargz.〔单值函数〕.不同〕3〕乘幂与幂函数：abebLna (a0)；zbebLnz (z0)注：在除去原点与负实轴的z平面内处处解析,且zbbzb1.4

sinz

eizeiz

,cosz

eizeiz

,tgz

sinz

cosz1/15内内可微,且满足

ezez

ezezshz奇函数,chz是偶函数.shz,chz 平面内解析,且1〕点可导：

=

z0

zfz

2 fz1〕点解析：fz在z0

0

的邻域内可导,称fz在z02〕区域解析：fz在区域内每一点解析,称fz在区域内解析；3〕若f(z)在z00

3、积、商〔除分母为1．函数可导的充要条件 ux,y vx,y在x,y可微,且在x,y处满足CD条件：

此时,有fzuiv.

ux,y vx,y在x,y在D CD条件：

2/1533〕利用可导或解析函数的四则运算定理.〔函数fz是以 dzlim此时fzuiv. u,v具有一阶连续偏导且满足CR条件时,函数f(z)uiv一定是1 〔题目要求用定义,如第二章习题1〕2〕利用充要条件 1．复变函数积分的概念：fz zc 注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分2．复变函数积分的性质 fzdzfzdz c1[fzgz]dzfzdzgzdz,,是常数； 3〕若曲线c由与连接而成,则c1

dz

fzdzf[zt]z(t)dt.c 3/15,内的简单闭曲线内的简单闭曲线,它们互不包含互不相交,②②fzdz0,其中由,内任意一点内任意一点,则①①fzdzfzdz, fz c 2．复合闭路定理：设fz在多连域D内解析,c为D内任意一条简

n

c c1(k1,2, n)所组成的复合闭路. fzfz z2fzdzGzGz 2 1 .5.柯西积分公式： fz D c 0

fzdz2ifz

6．高阶导数公式：解析函数fz的导数仍为解析函数,它的n阶导

0

的任何一条正向简单闭曲线,而7．重要结论4/15,,曲线c内有多于一个奇点：fzdzfzdz〔或：或：fzdz2iRes[f(z),z

(za)n1,dz0,

n0.n0

a1〕若fz在区域D内处处不解析,用一般积分法fzdzf[zt]zdtc 2〕设fz在区域D内解析, fzdz0 3〕设fz在区域D内不解析

fzdz2ifz fz dzc(zz)n1 n!

〔f(z)在c内解析〕 ci内只有一个奇点z〕 c ]〔留数基本定理〕c

fz(zz)n1

,数定理来计

2 2

0,(x,y)为D内的调和函数.5/15解析函数fzuiv的实部u与虚部v都是调和函数,并称虚部v3．已知解析函数fz的实部或虚部,求解析函数fzuiv的方法.xy对vu两边积分,得vudygx

〔*xx

〔**〕由CR条件,uv,得u

*

vudygx2〕线积分法：若已知实部uux,y,利用CR条件可得dvv

dy

v 由于该积分与路径无关,可选取简单路径〔如折线〕计算它,其中0与x,y是解析区域中的两点.3〕不定积分法：若已知实部uux,y,根据解析函数的导数公式和CR条件得知,将此式右端表示成z的函数Uz,由于fz仍为解析函数,故fzUzdzc 6/15u1〕复数列{}{aib}〔n1,2 〕收敛于复数abi的充要条件为n n limaa, limbb { n n}收敛实数列{a

},{b

}.n n (aib a b同 n n0 n0 n02〕级数收敛的必要条件是lim

0.n

n0

c

(zz0)n

n0

cnzn1〕幂级数的收敛定理—阿贝尔定理<Abel>：

n0

cnzn0

0处收敛,那么对满足zz

的一切z,该级数绝对收敛；如果0z

2〕幂级数的收敛域—圆域幂级数在收敛圆域内,绝对收敛；在圆域外,发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散3〕收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径.7/15：：设anz,((anz)(nnz)(a如果如果limc,.(a))zar时,fa则当则当zR时,f[gz]adzdzan

n10,则收敛半径Rn 0,则收敛半径R1；

如果,则R0；说明仅在zz0或z0点收敛；nz2nn03．幂级数1〕代数性质

n0

n0

的收敛半径分别为

1

2RminR 2,则当zR时,有n0

b

n0

n0n0

n0

n0

an1b

a

)zn2〕复合性质：设当 zR时,gz解析且n0gzr, [gnn0

n0

nzn

的收敛半径为R0,则n0

nznn0

nzn1

zR8/15

n0n1

n

zR1f,,；并且此展开式是唯一的.eez1z 133〕sinz44〕cosz,,于是fzc1.泰勒展开：设函数fz在圆域zz0R内解析,则在此圆域内fz

n0

fnzn!

0

解析,则fz在z0

的泰勒展开式成立的圆域的收敛

Rz

a；

0

02．常用函数在z00的泰勒展开式

n0n!

z2

znn!

z

1z

zn1zz2n0

zn

z1n0

(1)n(2n1)!

2n1

z

z3 z3!

(1)n(2n1)!

2n1

zn0

(1)n(2n)!

z2n1

z2

z4

(1)n(2n)!

z2n

z3泰勒级数的方法

n!

nn0

zz0

n合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开概念：

n

cn

zz0

n

zz

c

09/15R内解析,不存在且不为.zz c,

n

n

zz0

n3．解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开.*4．利用洛朗级数求围线积分：设 fz在rzz

rzz,

fzdz2ic.其中c 为f(z)在rzzR内洛朗展开式中1 0 0

(zz0)1

00

内解2.1〕可去奇点：展开式中不含

zz0

的负幂项；

c

c

zz

m

0

m

3含无穷多项

zz

1．可去奇点：limfzc 2．极点：limfz

10/15的孤立奇点,fz(zzm 其中z在z0

解析,z0

0

m级零点

n

z0,00

(n1,2, 0

m级零点z0

1 若za分别是z与z的m级与n级零点,则za是zz的mn级零点；当mn时,za是z的可去奇点；当mn时,za是zz的l级零点,其中lm(n)1．留数的定义：

0

0

0zz

内解析,c为该域内包含z0

的任一正向简单闭曲线,则称积

1

fzdz为c

0

的留数〔或残留〕,记作Res[fz,z]

1

c

11/15Q. fzdz2iRes[fz,z]FF[ejwtf(t)]F(w) 0 0)1

]c1

1

01〕可去奇点处的留数：若

0

0

]0

0

特别地 0 zz0.

P

P0

0,

0,Qz

0,则Res[

P

,z]

Pz0

2

n

内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则 n 说明：线积分的整体问题转化为求被积fz

www12/15

〔〔 .f(t)是以

F[sinw0tf(t)]

1[F(ww

F[cosw0tf(t)]1[F(ww0)F(ww0)]F[f(n)(t)](jw)nF(w),t,f(n1)(t)0

,f(t)0〕, nf(t)]F(n)(w)

F[f(a