河北省衡水中学2012届高三下学期第三次模拟数学(理)试题(a卷)

绝密*启用前试卷类型：A衡水中学2012届高三下学期第三次模拟高三理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．复数，则实数的值是（）．A．B．C．D．2．在等差数列中，，那么该数列的前14项和为（）．A．20B．21C．42D．843．为调查衡水市高中三年级男生的身高情况，选取了人作为样本，右图是此次调查中的某一项流程图，若其输出的结果是，则身高在以下的频率为()A．B．C．D．4．给出下列命题①若直线与平面内的一条直线平行，则∥；②若平面平面，且，则过内一点与垂直的直线垂直于平面；③；④已知，则“”是“”的必要不充分条件．其中正确命题的个数是()A.4 B.3 C.2 D.15.在的展开式中，常数项为（）

A.－36 B.36 C.－84 D.846.下图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示,则该几何体的体积为（）A.B.C.D.7．设m，n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程有实根的概率为（） A． B． C． D．8．若双曲线的左、右顶点分别为A、B，点P是第一象限内双曲线上的点。若直线PA、PB的倾斜角分别为α，β，且，那么α的值是（） A． B． C． D．9.定义：，已知数列满足：，若对任意正整数，都有成立，则的值为（） A． B． C． D．10.如图，正方体的棱长为，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于（）A.B.C.D.11.已知，，规定：当时,；当时,，则（）A.有最小值,最大值1B.有最大值1,无最小值C.有最小值,无最大值D.有最大值,无最小值12.已知两点A(1,2),B(3,1)到直线L的距离分别是，则满足条件的直线L共有（）条A.1B.2C.3D.4Ⅱ卷（主观题共90分）二、填空题（每题5分，共20分，注意将答案写在答题纸上）13.由直线x=与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为14.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为.15．已知O是△ABC的外心，AB=2，AC=3，x+2y=1,若则16.已知函数的定义域为[-1,5],部分对应值如下表，的导函数的图像如图所示。下列关于的命题：①函数的极大值点为0,4；②函数在[0,2]上是减函数；③如果当时，的最大值为2，那么t的最大值为4；④当时，函数有4个零点；⑤函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个.其中正确命题的序号____________.(写出所有正确命题的序号)三、解答题（本大题共6个小题，共７０分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。17.（本题满分10分）在中，角A、B、C的对边分别为，且满足（1）求角B的大小；（2）若，求面积的最大值.18.（本题满分12分）如图,矩形所在的平面与直角梯形所在的平面互相垂直，∥,，且，，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.19.（本题满分12分）某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，分别测出它们的高度如下（单位：cm）甲：19202123252932333741乙：10263030343744464647（1）用茎叶图表示上述两组数据，并分别求两块地抽取树苗的高度的平均数和中位数；（2）绿化部门分配这株树苗的栽种任务，小王在株高大于35的7株树苗中随机的选种株，则小王选择时至少有一株来自甲苗圃的概率是多少？（3）现苗圃基地将甲、乙两块地的树苗合在一起，按高度分成一、二两个等级，每个等级按不同的价格出售.某市绿化部门下属的2个单位计划购买甲、乙两地种植的树苗.已知每个单位购买每个等级树苗所需费用均为5万元，且每个单位对每个等级树苗买和不买的可能性各占一半，求该市绿化部门此次采购所需资金总额的分布列及数学期望值20．（本小题满分12分）如图，设抛物线方程为，M为直线上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A、B.AMBxyOl(1)设抛物线上一点P到直线l的距离为d，AMBxyOl(2)求M到直线AB的距离的最小值.21．(本题满分12分)设函数f（x）＝x4＋bx2＋cx＋d，当x＝t1时，f（x）有极小值．（1）若b＝－6时，函数f（x）有极大值，求实数c的取值范围；（2）在（1）的条件下，若存在实数c，使函数f（x）在闭区间［m－2，m＋2］上单调递增，求实数m的取值范围；（3）若函数f（x）只有一个极值点，且存在t2∈（t1，t1＋1），使f′（t2）＝0，证明：函数g（x）＝f（x）－x2＋t1x在区间（t1，t2）内最多有一个零点．22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲自圆外一点引圆的一条切线，切点为，为的中点，过引圆的一条割线交圆于两点，且，，试求的大小。.23．（本小题满分10分）极坐标与参数方程 已知直线/经过点，倾斜角，圆C的极坐标方程为 （I）写出直线/的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程； （II）设l与圆C相交于两点A、B,求点P到A、B两点的距离之积．24.（本小题满分10分）不等式选讲已知求证：.

理科三模数学测试题参考答案17.解：（1）条件可化为：．根据正弦定理有．∴，……6分……6分由基本不等式可知．即，故△ABC的面积．即当a=c=时，△ABC的面积的最大值为．……12分18.解析：（Ⅰ）证明：因为//，平面，平面，所以//平面．……………2分因为为矩形，所以//．又平面，平面，所以//平面．……………4分又，且，平面，所以平面//平面．……………5分又平面，所以平面．……………6分（Ⅱ）解：由已知平面平面，且平面平面，，所以平面，又，故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系.……………7分由已知得，易得，．则，，．，．……………8分设平面的法向量，则即令，则，．所以．……………10分又是平面的一个法向量，所以．故所求二面角的余弦值为．……………12分19.解：画出茎叶图如下：……………2分①甲地树苗高度的平均数为，乙地树苗高度的平均数为，……2分②甲地树苗高度的中位数为，乙地树苗高度的中位数为。…………4分（2）都来自乙苗圃的概率为，所以至少有一株来自甲苗圃的概率为….7分（3），设，则～………………8分，，，，∴的分布列为05101520…………10分∴∴该市绿化部门此次采购的资金总额的数学期望值为10万元…12分20.【解析】(1)由，得yP+2p-(yP+)=p=1，∴抛物线方程为.……2分设过M点的直线为y=k(x-2)-2，联立：，消去y，得(*)，相切，则△=0，此时，方程(*)有等根x=k，∴xB=，xA=，……4分xB-xA=，xB+xA=.A、B在抛物线上，yB-yA=∴|AB|=.……6分(2)设M(m,-2p)，，直线MA：，直线MB：，把M(m,-2p)分别代入两直线方程得：，，∴AB方程化为：，……8分点M到AB的距离d==，………11分当且仅当，即时，上式成立等号，∴M到直线AB的距离的最小值为.………12分21.解：（1）因为f（x）＝x4＋bx2＋cx＋d，所以h（x）＝f′（x）＝x3－12x＋c。……2分由题设，方程h（x）＝0有三个互异的实根,函数h（x）＝x3－12x＋c，则h′（x）＝0，得x＝±2．x（－∞，－2）－2（－2，2）2（2，＋∞）h′（x）＋0－0＋h（x）增c＋16（极大值）减c－16（极小值）增所以故－16<c<16．………………4分（2）存在c∈（－16，16），使f′（x）≥0，即x3－12x≥－c，（*）所以x3－12x>－16，即（x－2）2（x＋4）>0（*）在区间［m－2，m＋2］上恒成立．…………6分所以［m－2，m＋2］是不等式（*）解集的子集．所以或m－2>2，即－2<m<0，或m>4．………8分（3）由题设，可得存在α，β∈R，使f′（x）＝x3+2bx＋c＝（x－t1）（x2＋αx＋β），且x2＋αx＋β≥0恒成立．…………………9分又f´（t2）＝0，且在x＝t2两侧同号，所以f´（x）＝（x－t1）（x－t2）2．…………10分另一方面,g′（x）＝x3＋（2b－1）x＋t1＋c＝x3＋2bx＋c－（x－t1）＝（x－t1）［（x－t2