【高三数学】易错题解析

高三数学-易错题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合，，，，则A． B． C． D．【分析】根据指数函数和二次函数的性质求出集合，，进而可以判断集合，的关系．【解答】解：由已知可得当时，，则，当时，，所以，则，故选：．【点评】本题考查了集合间的包含关系，涉及到指数函数以及二次函数的性质，属于基础题．2．（5分）已知，则“”是“，”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】“，”，或，，解得范围即可判断出结论．【解答】解：“，”，或，，解得．“”是“，”的充分不必要条件．故选：．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十四里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，七朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走254里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了7天后到达目的地，请问第四天走了A．64里 B．32里 C．16里 D．8里【分析】设此人每天走的路程构成数列，数列的前项和为，由题设条件求得首项，即可求得结果．【解答】解：设此人每天走的路程构成数列，数列的前项和为，由题设知数列是公比的等比数列，，解得：，，故选：．【点评】本题主要考查等比数列在实际问题中的应用，属于基础题．4．（5分）设，则A． B． C． D．【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：，，，，，，故选：．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．5．（5分）国防部新闻发言人在2020年9月24日举行的例行记者会上指出：“台湾是中国不可分割的一部分，解放军在台海地区组织实兵演练，展现的是捍卫国家主权和领土完整的决心和能力”，如图为我空军战机在海面上空绕台巡航．已知海面上的大气压强是，大气压强（单位：和高度（单位：之间的关系为是自然对数的底数，是常数），根据实验知高空处的大气压强是，则我军战机在高空处的大气压强约是（结果保留整数）A． B． C． D．【分析】由题意知，，求出的值，再代入中，求得的值，即可．【解答】解：高空处的大气压强是，，即，当时，有．故选：．【点评】本题考查函数的实际应用，熟练掌握指数的运算法则是解题的关键，考查学生的运算求解能力，属于基础题．6．（5分）如图，在平行四边形中，，分别是，的中点，已知，，则A． B． C． D．【分析】可设，然后可得出，然后即可得出，，从而根据即可求出的值．【解答】解：设，则，两式相加、相减得：，，．故选：．【点评】本题考查了向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘和数量积的运算，考查了计算能力，属于中档题．7．（5分）朱载堉是明太祖朱元璋的九世孙，虽然贵为藩王世子，却自幼俭朴敦本，聪颖好学，遂成为明代著名的律学家，历学家、音乐家．朱载堉对文艺的最大贡献是他创建下十二平均律，亦称“十二等程律”．十二平均律是将八度的音程按频率比例分成十二等份，也就是说，半单比例应该是，如果12音阶中第一个音的频率是，那么第二个音的频率就是，第三个单的频率就是，第四个音的频率是，，第十二个音的频率是，第十三个音的频率是，就是．在该问题中，从第二个音到第十三个音，这十二个音的频率之和为A． B． C． D．【分析】分析题意，利用等比数列的求和公式即可计算得解．【解答】解：由题意知，第二个音到第十三个音的频率分别为，显然以上12个数构成了以为首项，以为公比的等比数列，故其和为．故选：．【点评】本题考查学生合情推理的能力，考查了等比数列的求和，属于基础题．8．（5分）如图，在四面体中，，，，的重心为，则A．2 B． C． D．3【分析】画出图形，连接交于，连接，则为边的中线，的重心为靠近的三等分点．把长方体的对角面单独画出，如图，记为和的交点．通过三角形的相似，转化求解即可．【解答】解：如图，将四面体还原到长方体中，易知四面体的棱是长方体的面对角线，则，连接交于，连接，则为边的中线，的重心为靠近的三等分点．把长方体的对角面单独画出，如图，记为和的交点．因为，且，所以为靠近的三等分点，即重心与点重合，故．故选：．【点评】本题考查空间几何体的相关知识的应用，点线面距离的求法，考查转化思想以及计算能力．二、选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多选符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．（5分）已知为虚数单位，则下列结论正确的是A．复数的虚部为 B．复数的共轭复数 C．复数在复平面对应的点位于第二象限 D．复数满足，则【分析】．利用复数的运算法则及其虚部的定义即可得出；．利用复数的运算法则及其共轭复数的定义即可得出；．利用复数的几何意义即可得出；．设，，，不全为，根据满足，化简即可得出结论．【解答】解：．复数的虚部为，因此正确；．复数的共轭复数，正确；．复数在复平面对应的点，位于第四象限，因此不正确；．设，，，不全为，满足，则，，即，，因此正确．故选：．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义、共轭复数复数的性质、几何性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．（5分）已知是等差数列的前项和，且，则下列说法正确的是A．中的最大项为 B．数列的公差 C． D．当且仅当时，【分析】由，可得，，，可得，，再利用求和公式及其性质即可判断出结论．【解答】解：，，，，，，，，因此中的最大项为，，，，故选：．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）已知双曲线，若圆与双曲线的渐近线相切，则A．双曲线的实轴长为6 B．双曲线的离心率 C．点为双曲线上任意一点，若点到的两条渐近线的距离分别为，，则 D．直线与交于，两点，点为弦的中点，若为坐标原点）的斜率为，则【分析】由题意知的渐近线方程为，由点到直线的距离可得圆心到渐近线的距离为半径，，解得，进而可得双曲线实轴长为，即可判断是否正确；由，解得，计算离心率，即可判断是否正确；设，，由点到直线的距离可得点到渐近线的距离，，再计算，即可判断是否正确；设，，，，可得，，两式相减，得，即，进而可判断是否正确．【解答】解：由题意知的渐近线方程为，所以，解得，所以双曲线实轴长为，故错误，所以半焦距，所以，故正确，设，，所以，，所以，故正确，对于选项：设，，，，所以，，两式相减，得，所以，，所以，所以，所以，所以，所以．故正确，故选：．【点评】本题考查直线与双曲线的相交问题，解题中需要一定的运算能力，属于中档题．12．（5分）已知双曲线满足条件：（1）焦点为，；（2）离心率为，求得双曲线的方程为，若去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线的方程仍为，则下列四个条件中，符合添加的条件可以为A．双曲线上的任意点都满足 B．双曲线的虚轴长为4 C．双曲线的一个顶点与抛物线的焦点重合 D．双曲线的渐近线方程为【分析】分别运用双曲线的定义、虚轴的定义和抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，结合离心率公式，计算可判断符合题意的条件．【解答】解：对于，因为，所以，又焦点为，，可得，所以离心率，故符合条件；对于，双曲线的虚轴长为4，所以，，则离心率，故不符合条件；对于，双曲线的一个顶点与抛物线的焦点重合，可得，，故不符合条件；对于，因为渐近线的方程为，可得，又，，解得，则离心率，故符合条件．故选：．【点评】本题考查命题的真假判断，主要是双曲线的方程和性质的合理运用，考查运算能力和推理能力，是中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，他写的《数学百草园》《好玩的数学》《故事中的数学》等书，题材广泛、妙趣横生，深受广大读者喜爱．下面我们一起来看《好玩的数学》中谈老的一篇文章《五分钟内挑出埃及分数》：文章首先告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）．如用两个埃及分数与的和表示等．从这100个埃及分数中挑出不同的3个，使得它们的和为1，这三个分数是．（按照从大到小的顺序排列）【分析】由即可求出答案．【解答】解：，这三个分数是：，故答案为：．【点评】本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．14．（5分）已知在，上单调递增，．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为．【分析】由：先求出的导数，由题意可得恒成立，求出的范围，再根据是的充分不必要条件即可求出的取值范围．【解答】解：在，上单调递增，在，恒成立，即在，恒成立，，，若是的充分不必要条件，，故的取值范围为，故答案为：．【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离，考查函数的单调性的运用，属于中档题．15．（5分）经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称为地理坐标系统，它是一种利用三度空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系统，能够标示地球上的任何一个位置，经度是个二面角，是两个经线平面（经线与地轴所成的半平面）的夹角，某一点的经度，就是该点所在的经线平面与本初子午线平面间的夹角．纬度是个线面角，某一点的纬度是指该点与地球球心的连线和地球赤道面所成的线面角．城市位置东经，北纬，城市位置为东经，北纬，若地球的半径为，则过，两点和地心的平面截球所得的截面圆的劣弧的长是．【分析】由题意可求劣弧所对的圆心角的值，进而根据弧长公式即可求解．【解答】解：设球心为，由题意和劣弧所对的圆心角，即，所以过，两点和地心的平面截球所得的截面圆的劣弧的长．故答案为：．【点评】本题主要考查了弧长公式的应用，属于基础题．16．（5分）已知直线与椭圆相交于，两点，椭圆的两个焦点分别是，，线段的中点为，则△的面积为．【分析】先设出点，的坐标，代入椭圆方程，利用点差法和的中点以及直线的斜率即可求出的值，进而可以求出的值，从而可以求解．【解答】解：设，，，，则，两式相减得：，因为直线的斜率为，线段的中点为，所以，得，因为，所以，故△的面积为，故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的方程以及点差法的应用，涉及到中点坐标公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．（10分）已知数列的前项和为，且满足：，．（1）求数列的通项公式；（2）设的前项和为，证明：．【分析】（1）先根据已知条件计算出的值，当时，由，可得，两式相减进一步计算即可得到数列的通项公式；（2）先根据第（1）题的结果判断出数列是以2为首项，1为公差的等差数列，即可计算出的表达式，进一步计算出数列的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前项和的表达式，再根据不等式的运算即可证明结论成立．【解答】（1）解：依题意，当时，，当时，由①，可得②，①②，可得，即，当时，也满足上式，，．（2）证明：由（1）知，，故数列是以2为首项，1为公差的等差数列，，则，，不等式成立．【点评】本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和与不等式的综合．考查了整体思想，转化与化归思想，不等式的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．18．（12分）如图，在中，内角，，所对的边分别是，，，在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．已知，，是边上的一点，，若____，求的面积．【分析】若选择①，由题意利用三角形内角和定理可得，，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得的值，利用两角差的正弦公式可求，进而根据三角形的面积公式可求的面积；若选择②，由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合，可得的值，结合，可求，利用三角形内角和定理可求，由正弦定理可得，由正弦定理解得，利用两角差的正弦公式可求，进而根据三角形的面积公式可求的面积；若选择③，利用正弦定理，余弦定理化简已知等式，结合，可得，由正弦定理可得，的值，利用两角差的正弦公式可求，进而根据三角形的面积公式可求的面积．【解答】解：若选择①，由于，则在中，，，由正弦定理：，得．在中，由正弦定理：，即，解得，可得，所以．若选择②，由于，则，化简得：，因为，所以，故，又，故，所以．由正弦定理：，得．在中，由正弦定理：，即，解得，可得，所以．若选择③，由于，则有，即，可得，由于，故．由正弦定理：，得．在中，由正弦定理：，即，解得，可得，所以．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（12分）“十三五”规划确定了到2020年消除贫困的宏伟目标，打响了精准扶贫的攻坚战，为完成脱贫任务，某单位在甲地成立了一家医疗器械公司吸纳附近贫困村民就工．已知该公司每生产某种型号医疗器械千件，需投入成本万元，且，另外每年需投入固定成本200万元，由市场调研知，每件售价0.5万元，且生产的产品当年能全部销售完．（1）请写出年利润（万元）关于产量（千件）的函数解析式；（2）产量为多少千件时，该公司在这一型号医疗器械的生产中所获年利润最大？并求出最大利润．【分析】（1）由题意可知：，然后分段求出，再以分段函数的形式写出即可；（2）利用二次函数以及基本不等式分段求出的最大值，比较即可求解．【解答】解：（1）由题意可知：，所以当时，，当时，，所以；（2）当时，，则当时，万元；当时，，当且仅当，即时取等号，此时，所以产量为100千件时，该公司在这一型号医疗器械的生产中所获年利润最大，且最大利润为9000万元．【点评】本题考查了函数的实际应用，涉及到二次函数以及基本不等式求最值的问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．20．（12分）已知向量，，向量，．函数，且函数的周期为．（1）求函数在上的值域；（2）若，，，求的值．【分析】（1）由题意可得，而，则，由此求得值域；（2）化简可得，结合，，可得，再展开化简代值运算得出答案．【解答】解：（1），函数的周期为，，，（1），，，函数在上的值域为；（2）由，且，可得，整理得，，，，故，．【点评】本题考查数量积的坐标运算以及三角函数的图象及性质，考查和差角公式的运用，考查化简变形能力以及运算求解能力，属于中档题．21．（12分）已知椭圆的左．右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰好为．（1）求椭圆的方程；（2）如图，下顶点为，过点作一条与轴不重合的直线．该直线交椭圆于，两点．直线，分别交轴于点，．求证：与的面积之积为定值，并求出该定值．【分析】（1）写出直线方程，取求得值，得到直线与椭圆的交点，再由已知列关于，的方程组，求解，的值，则椭圆方程可求；（2）由题意知，直线的斜率存