工程数学线性代数

线性代数复习题一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。a2

=1，b2 a2

=1，则c2 a2

b112b 112

=（D ）22A．-2 B．-1C．1 D．2设A为三阶矩阵，|A|=a≠0，则其伴随矩阵的行列式B ）A．a B．a2C．a3 D．a4设矩阵A，B，C为同阶方阵，则B ）A．ATBTCT B．CTBTATC．CTATBT D．ATCTBT1 2 4已知向量α （0α （10α （11则该向量组的（C 1 2 A．1 B．2C．3 D．0设k为常数为n阶矩阵，|kA|=（C ）A．k|A| B．|k||A|C．kn|A| D．|k|n|A|a11 a12 a13 y1 6．设Aa21 a22 a23，Xx2，Yy2，则关系式（B ）aa

a32

a33

x 3x

y 3yx a

y

y＋a y1 111 21

313x2a12y1a22yx x a y a 3 131 23

＋a a a a 33 32的矩阵表示形式是A．XAY B．XATYC．XYA D．XYTA设,是非齐次线性方程组Axb的两个解则下列向量中仍为方程组解的（D ）1 2A． B． 1 2

222

3

225下列等式中正确的是（A ）AB

A2ABBAB2ABTATBTC．ABABA2B2

D．A23Ax x 线性方程组x1x22 有解的充分必要条件是=（B ）α 2 3x x 1x3 1A．-1 B．-1313

D．1f(xx1 2

,x)x3 1

x2

x3

2xx12

4xx13

的矩阵为（C ）1 2 4 1 2 4 A．2 1 0 B．0 1 04 0 1 0 0 1 1 1 2 1 1 0 C．1 1 02 0 1

D．1 1 20 2 1 a b c

4a

c1 1设行列式a b2 2a b3 3

1 1c =14a2 2c 4a3 3

1 12a 2 22a 3 3

1c =（C ）2c3A．8 B．12C．-12 D．4设n阶方阵A中有个以上元素为零，则A的值（B ）A．大于零 B．等于零C．小于零 D．不能确定设n阶方阵满足ABC=E，则必有（D ）A．ACB=E B．CBA=EC．BAC=E D．BCA=E14．设A为3阶方阵，且已|-2A|=2，则|A|=（B ）A．-1

B．-14C．14

D．11 23 设A为2阶可逆矩阵，且已知 ，则A=（D 3 3 4A．23 4

B．11 2 23 4 1 21 11 2 3 C．2 3

D．23 41 设向量α ，α ，…，α 线性相关，则必可推出1 s1 α ，α ，…，α 1 s1 α ，α ，…，α 1 s1 α ，α ，…，α 1 s1 α ，α ，…，α 1 sβ β α 已知 ， 是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解， ， 是其导出组Axβ β α 1 2 1 2的一个基础解系，C，C1 2

为任意常数，则方程组Ax=b的通解可以表为（A ）1(β2

β)Cα2 1

Cα2 2

1(β2

β)Cα2 1

Cα2 21(

β)C

C(

β) D．1(

β)C

C(

β)2 1

1 1 2 1 2

2 1

11 2 1 2 1若向量（Ⅰ, , , 可由向量（Ⅱ,, ,线性表示则必（A 1 2 r 1 2 sA．秩（Ⅰ）≤秩（Ⅱ）C．r≤s22 22

B．秩（Ⅰ）>秩（Ⅱ）D．r>s0设矩阵A=0C．正交矩阵

22020 02

202，则A为（C 0222D．正定矩阵1 已知矩阵A0 1 1，则二次型xTAx（C ） 1 1 2 x1

2x2

2xx12

2xx23

x2

2x3

2xx1

2xx2 3x2

2x3

2xx13

2xx23

x1

2x3

2xx1

2xx2 312321．行列式234的值为（C）345A．2C．022．二阶行列式

k12

2k1

B．1D．-1≠0的充分必要条件是（C ）A．k≠-1C．k≠-1k≠3

B．k≠3D．k≠-1或≠323．设A为3阶方阵，|A|=-2，则||等于（B ）A．-21C．2

1 1 1

B．12D．224．设矩阵A=1 2 1 的秩为2，则=（B ） 2 3 A．2C．01 25．矩阵A=2 1的逆矩阵的（1 1 A1 1 C．1

B．1D．-1

B． 2D． 2 α α α α α 设 则向量组 ，， 的秩（C α α α α α 1 2 3 1 2 3A．0 B．1C．2 D．31 α ，α 是非齐次方程组Ax=b的解，β是对应的齐次方程组Ax=0的解，则1 必有一个解是（D ）ααA． +αα1 2

B． -αα1 2ααC．β

+α D．β+111 2 2 1 2 2设n阶方阵满足ABC=E，则必有（B ）A．ACB=EC．BAC=E

B．BCA=ED．CBA=E29．设A为3阶方阵，且已|-2A|=4，则|A|=（B ）1A．-11

B．-2C．2 D．1f(xx1 2

,x)x3 1

3x2

4x3

6xx1

10xx2 3

的矩阵为（C ）1 3 5 A．3 3 0 5 0

1 6 0 B．0 3 10 0 0 1 3 0 1 6 0 C．3 3 5 0 5

D．6 3 10 0 10 二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。0 a 0b c

d 0 e 0

1 2 0 1 0 0

3 2 032．设矩阵A=2 1 0，B=0 2 1，则A+2B= 2

5 2） 0 0 1 0 1 0 1 3

5 20 033．设3阶矩阵A=0 2 5，则（AT）-1= 02 0 0 1

3 1）0 0 2 1 0 0 34．设3阶矩阵A=2 2 0，则.（6E3） 3 3 α3都是齐次线性方程组Ax=0的解向量则1-5α2+2α36．设向α1=（1，1，1）T，α2=（1，1，0）T，α3=（1，0，0）T，β=（0，1，1）T，βα2，α3线性表出的表示式1-α3）37．向量α1=(1,2,-1,1),α2=(2,0,3,0),α3=(-1,2,-4,1)的秩x x x 038 1 2 3．已知3元齐次线性方程组2x 3x

0a=

.（2） 1 2 3x 2x 3x 01 2 3α α α β β α α α β β 1 2 s 1 2 t则s与t的大小关系5 2 1 若实对称矩阵A=2 1 1为正定矩阵，则k的取值应满＞2） 1 1 0b0aa0b0b0aa0b00a0bb0a0

a2b2 ）1 2 3三阶行列式D2 2 2，则A11

A |A12

0）4 5 11 1

0 1 0 已知2 ,1是3阶单位矩阵则

＝ . 2 3 0）3 0 3 0

3 144．若,线性无关，而,,线性相关，则向量组的一个最大线性无1 2 1 2 3 1 2 3关组.（,）1 245．若向量组 线性无关，则t 应满足条件1 2 3t5 ）246．设,, 是方程组Ax0的基础解系，则向量组,, 的秩为1 2 3 1 2 3 11 047．设A1 0 1，则A的特征值.（

2） 0 1

1 2 3134．设向α（11，，则它的单位化向量 （ ）3设1

22T，2

5T，则1 2

的内积（,1 2

）＝ .（-10）f1

,x,x2

x1

4x2

x32txx12

t的取值范围是（2t2）12351．行列式012 中（212351．行列式012 中（2，3）元素的代数余子式A2342552．设A是4阶方阵，A=-2，则A*= 0 0 153．设矩阵A0 1 0，则A的全部特征值

1;

1） 1 0

1 2 354．向量α=[1，2，3，4，5]的秩55．设α

=[1，2，x],α1α1

=[-2，-4，1]线性相关，则x=2

1 ）256．矩阵[1 -1 1]的秩57．设向量α=[2，1，2]，则它的单位向量为

1 ）3

=[1，1，-1，-1],α =[-1，-1，1，1]则T 1 2 1 2已知三阶矩阵A的三个特征值-1，1，2，则|A|= 1 1 0 160．二次型f(x,x,x)=x2-2xx+xx的矩阵.（1 0 ）1 2 3

12 23

210 012 三、计算题61．计算行列式

3 1 1 11 3 1 11313111311111311113111131

的值.311113111131111311113111131 1 0 2 =60 0 0 0

100=48 821 1 0 1 0 62．设A1 0 1 1 1 0 解：AB1 0 1

B10001

1，求A B11

…………4分 10 1 1 12 111 11= 12 12

…………8分a a 1 2 0 1设2阶矩阵A可逆且A-1=1 2对于矩阵P= = 令B=PAP，b b 11 2

0 1

2 1 0 1 2求B-1.1 2 2 解：B-1=（PAP）-1=P-1P-1 21 2 2 0 11a a1 21=1 0

b20 1 41 b 1 =0 1a=1 1

a12

2 61 0b

b20 1b 2bb a a 2a a 1 1 201101的全部特征值及对1110

1 2

…………8分A=解：先求出A的特征多项式：

应的全部特征向量11111A110111111 1 0

1 11 (2 10 2 1(1)2(2)因此，A1 2

1 , 3

2 4对应于特征值 1 的特征向量为

1 P 0及全体向量为1 2

0

2 1kpkp1 1 2

kk k12 1

不全为零； 6分21时对应于特征值3

2

P3

11

及全体向量为kp3

kk8分x x x x 0求线性方程组x1x2x3 40 的通解，并用其基础解系表. 1 2 3 3x4x x 2x 3x 01 2 3 41 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1解：A=1 1 0 0 2 40 0 1 2 ……4分 1 1 2 3 0 0 1 2 0 0 0 0xx x 01 2 4 x 2x 03x1x3

4x x2 42x4

…………6分x 1 11 x2

1

0 ,

,k为任意常数 8分x

10

22 1 23 4x 0 144 2 3设A=1 1 0，且矩阵X满足AX=A+2X，求X. 解：AX2XA2EAXA2E11 4

…………4分 又A2E11 5 1 6 41 4 34 2 3 3 8 6故X1 5 31 1 02 9 6 1 6 41 2 3 2 12 9

…………8分210012100121001210012100122 1 0 0

1 2

0 1 2 1 0解：D1

2 1 0=2 1

0 00 3 2

0……4分0 1 2 1 0 0 0 1 2 0

2 1 0 1 2 11 2 0 0 1 23 2 0

3

4 3 4= 0

2 11 2

2 311 0

35 8设向量组 求该向量组的秩，1 2 3 4并判断其线性相关性。1210121014501210121014500660011101111 2

4 1 2 1 0 1 2 1 0 1 0 1 0=0 1 1 00 1 1 00 1 1

……4分 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 =T, T, T,

B 61 2 3 4易见B的秩为3，并 0从而A的秩为3，且 3 1 2 4 3 1 2 4故该向量组,,,线性相关。 8分1 2 3 411 169．设A0 1

，求矩阵BA2ABE 0 0 解：由于A2-AB=E，故A（A-B）=E，有A-B=A-1，所以，B=A-A-1 4分1 1 2又A1

0

1 6B

0 0 10 2 1 0 0 0 0 0

…………8分给定齐次线性方程组x x x x1 2 3

0,x x x1 2 3

0,x x x x 0.1 2 3 4λ满足什么条件时，方程组的基础解系中只含有一个解向量？λ＝1解：由题意秩1 1 1 1 1 1 1A=

1 0

0 2 4 1 1 0 0 1 2所以当1时，秩3。这时齐次线性方程组的基础解系中只有一个解向量。 1 1 1 当1A

0 0 0 10 0 0 0

…………6分1 11 0X

k ,

,k为任意常数 8分10

21 1 20 0 1 2 71．设A1 0，又f(x)x23x2，求f( 1 22 1 2 1 0 解：f(A)1 0 31 0 2 4

…………8分2 0 1 0 0

172.设矩阵A2 3 0，求A* . 3 5 解：AAEnA

,A18 得AAEA

…………4分1 0 0AA

A 1 故，A

182 3 03 5 6

…………8分1 22 373．求行列式3 44 1

3 44 11 22 321 2342 3411 2342 3413 4124 123

3 44 1

1 20 1

3 41 3解： =10 10 4分4 1 2 0 2 2 2 1 2 3 0 1 1 11 1 3 1 1 3=10

2 2

100 4

160 8 1 1 1 0 0 41 0 074．设A=1 1 0 1 1 求1A+2）-（A2-4）（2A+2）-A-2）解：1A+2）-A-4=(A2E)1(A2E)(A2E)3 0 0A2E1 3

4 1 1 2A+2）-A-2=3 0 0A2E11 3 0 1 1 1 0 0又A2E

1 1 0 0 1 1 3 0 0 A+2）-A-2）=

4 3 0

…………8分0 4 α α α 75．求向量组 =[1，-1，2，4]， =[0，3，1，2]， =[3，0，7，14], =[1，-1，2，α α α 1 2 3 4的秩，并求出向量组的一个最大线性无关组。解：A=

T,, T, T,

103111031103113010 3 3 0217201101 2

44 2 14 04

02 2 401 0

3 1 1 0 3 1 1

3 00 1 1 0 0

1 0 0 1 1 0

40 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 10 02 2 4 0 0 0 40 02 =T, T, T,

B 61 2 3 4易见B3，并3204124是B一个最大线性无关组。从而A的秩为3，且 3 1 2 4故，向量组,1 2

,,3

的一个最大线性无关组为1

，2 4给定线性方程组x x x a31 2 3x ax x 21 2 3x x ax 21 2 3a为何值时，方程组有无穷多个解；当方程组有无穷多个解时，求出其通解（系表示）.1 1解）1

1 1 1 110 1 0 201 1 0 0 1所以当1时该方程组有无穷多个解。 4分（2）1 1 2 1 1 1 21 1 20 0 0 0 由xx x 2

1 2 31 1 0 0 0令x x2 3

0,得x1为该方程的一个特解。2即0 0

x 1 0由xx

0,令x2分别为0和1可求得基础解系为31 2 3

1 ， 01 0

2 1于是可求出通解为：k

k

,k为任意实。 8分11 2 2 1 21 2设A=2 2 4，求一秩为2的3阶方阵B使AB=0. 3 3 解：由于AB=0，所以B的各列均为方程组AX=0的解，求解方程组AX=0。……3分1 1 2 由于A0 0 0 0 0

x 1 0由xx 2x

0,令x2分别为0和1可求得基础解系为：31 2 33

2

, 0 61 0

2 1从而所有矩阵可为1 2 0 B1 0 0（答案不唯一） 8

1 01 1 1 设A0 1 1，求矩阵B，使A2ABE 0 0 1 解：由于A2-AB=E，故A（A-B）=E，有A-B=A-1，所以，B=A-A-1 4分1 1 2又A1