人教版B版高中数学选修3-2(B版)全套课件

人教版B版高中数学选修3-2(B版）全套PPT课件球面的基本性质导入新课

球面是我们非常熟悉的一个曲面，在我们生活中几乎随处都有它的影子.篮球地球高尔夫球

从表面上看，你可能觉得球面是一个比较简单的几何图形.然而，事实并非如此，球面有许多独特而有趣的性质.

事实上，球面作为空间中最完美的图形之一，具有很强的对称性，所以能给我们带来强烈的视觉美感.教学目标

【知识与能力】在回顾圆的知识的基础上，充分理解球面的定义和概念.熟悉球面的对称性，理解中心对称图形、轴对称图形的、镜面对称图形、旋转对称图形的性质.

【过程和方法】观察身边的事物，讨论球面在生活中的应用，认识研究球面的重要意义.通过实例和应用计算机辅助学习来掌握球面，球面对称性.

【情感态度与价值观】培养学生的观察能力，能通过身边常见事物理解球面的重要性质.能利用计算机作为辅助学习的工具，探索球面的对称性，深化对知识的理解.教学重难点重点

球面的定义、概念，理解球面的对称性.难点

掌握球面的中心对称性、轴对称性、镜面对称性和旋转对称性.教学内容知识回顾

我们都已经学过，画一条线段，以线段长为半径，以一端点为圆心画弧绕360度后得到圆.

同样，由圆的对称性可知圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线.圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心.OA对称轴l空间中与一定点的距离为定值的动点的集合称为球面.定点称为球心，定距离称为半径.球面所包围的立体称为球体，简称球.球面也可以看成是由半圆绕着它的直径旋转一周所形成的曲面.球面AOl1.球面是中心对称图形中心对称图形中心对称图形定义：

在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

中心对称图形上每一对对称点所连成的线段都被对称中心平分.

矩形，菱形，正方形，平行四边形，圆，边数为偶数的正多边形，某些不规则图形等.常见的中心对称图形有：

球面是中心对称图形，因为对于球面上任意一点A，假设它关于球心的对称点为A'

，则由A和A'到球心的距离相等可知，点A'

到球心的距离等于半径，即点A'

一定在这个球面上.以此我们可以知道球面是中心对称图形.AA'A"Ol2.球面是轴对称图形

如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

这时,我们也说这个图形关于这条直线对称.

例如等腰三角形、正方形、等边三角形、等腰梯形、圆和正多边形都是轴对称图形.有的轴对称图形有不止一条对称轴，但轴对称图形最少有一条对称轴.轴对称我国古代建筑很多都是轴对称的民间剪纸多采用轴对称

同样，球面也是轴对称图形，任意一条通过球心O的直线都是对称轴.

如图，l是通过球心

O的任意一条直线，对于球面上任意一点

A，设它关于直线l的对称点为

A//

，此时l是线段

AA//

的垂直平分线.又球心

O在直线

l上，因此

OA//

=OA，则可知

A//

一定在这个球面上.AA/A//Ol3.球面是镜面对称图形我们每天都照镜子，镜中的我们和自己完全一样，只是左右方向相反.

同样，所谓镜面对称图形就是该图形能关于某个平面对称，而这个面就称为它的对称面.

在日常生活中，我们也常应用镜面对称，如音箱的摆放.

类似的，我们也可以证明，球面是镜面对称图形，通过球心O的任意一个平面都是球面的对称面.O4.球面是旋转对称图形

把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角.（0度<旋转角<360度）.旋转对称图形：常见的旋转对称图形有：线段、正多边形、平行四边形、圆等.（注：所有的中心对称图形都是旋转对称图形）

海豹将球顶在头上旋转，在此过程中，球面始终与初始球面旋转对称.

如图我们可以知道，如果l是通过球心

O的任意一条直线，则球面绕

l旋转任意角度都会与自身重合.OlO探索球的对称性

通过一些计算机软件，如几何画板，我们可以进行一些有趣的试验，来进一步探索球的对称性，深化对球面性质的理解.课堂小结1.球面是中心对称图形：

球面绕某一点旋转180度后能与原图形完全重合.2.球面是轴对称图形：

球面沿着任意一条通过球心的直线对折后两部分完全重合.3.球面是镜面对称图形：

球面关于通过球心O的任意一个平面对称.4.球面是旋转对称图形：

即球面绕通过球心O的任意一条直线旋转任意角度都会与自身重合.(09全国卷)直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°则此球的表面积等于

.高考链接解:在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得

BC=23,由正弦定理,可得△ABC外接圆半径

r=2，设此圆圆心为O′，球心为O,在RT△OBO′中，易得球半径R=5，故此球的表面积为4πR2=20π2.（09湖南卷）在半径为13的球面上有A,B,C三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC的距离为___；（2）过Ａ，B两点的大圆面为平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为___.答案:（1）12；（2）3解析:（1）由△ABC的三边大小易知此三角形是.直角三角形，所以过三点小圆的直径即为10，也即半径是5，设球心到小圆的距离是d

，则由d2+52=132

，可得d=12.（2）设过ABC三点的截面圆的圆心是O,AB中点是

D点，球心是O点，则连三角形O1OD，易知∠ODO1就是所求的二面角的一个平面角，

O1D=OA2–()2=4，所以

ÐODO1===3，即正切值是3.2AB124OO1O1D3．（09陕西卷）如图球O的半径为2，圆O1是一小圆，O1O=2，A.B是圆O1上两点，若

ÐAO1B=，则A,B两点间的球面距离为

________.ABOp2解析:由O1O=2,

OA=OB=2,由勾股定理在圆O1

中则有O1A=OB=2,又∠AO1B=

则AB=2所以在∠AOB中，OA=OB=AB=2

则∠AOB为等边三角形，那么∠AO1B=60°由弧长公式L=rq(r为半径)得

A,B两点间的球面距离lAB=rq=p232p课堂练习1.下列图形不是旋转图形的是（）2.如图，有四个图案都是旋转对称图形，其中有一个图案与其余三个图案旋转的度数不同，它是（）C.等边三角形D.圆A.线段B.等腰三角形BB3.如图所示，绕其图形中心旋转90°不能和自身重合的是（）4.如图地板砖旋转（）角后与自身重合A.90°B.45°C.60D.30°BA5.下列图形中是旋转对称图形，但不是中心对称图形的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个C（1）这个图案可以看成正方形ABCD绕点O旋转45°前后图形共同组成的.（2）看成△ABC绕点O分别旋转45°、

90°、135°、180°、225°得到的（3）这个图案可以看成是△BOC绕点O

分别旋转45°、90°、135°、180°225°、270°、315°前后组成的如图所示，正方形ABCD与正方形EFGH边长相等，下列说法正确的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.以上都不对C平面、直线与球面的位置关系旧知回顾

我们以前学习的平面几何和立体几何统称欧几里得几何（简称欧氏几何）.欧几里得新课导入

本讲我们从欧氏几何的角度，即把平面和球面都放到三维欧氏空间中，利用已学过的立体几何知识研究平面、直线与球面的位置关系及其几何性质，主要介绍平面与球面的位置关系、直线与球面的位置关系、球幂定理以及球面的对称性．教学目标知识与能力

学习平面几何与立体几何的异同点．认识球与平面、球与直线的关系．了解球面的对称性．过程与方法

通过与过去知识的对比学习，进一步了解欧氏几何．以球为主，介绍三维欧氏空间的特点．掌握球的一些基本性质．

情感态度与价值观

让学生在回顾旧知识时，学习新的知识．培养合作交流意识．教学重难点

了解平面与球面的位置关系．理解球幂定理．掌握直线与球面的位置关系．掌握球面的对称性．

类似平面与球面的位置关系：相交相离相切位置关系一、平面与球面的位置关系第一种：平面与球面相交

如上图所示，平面与球面相交，截面是圆面，平面与球面的交线是一个圆．当球面与平面相交时，球心到平面的距离小于球的半径r．OPa在平面与球面相交时，有两种情况：1、如果球面被经过球心的平面所截，那么所截得的圆叫做大圆．O2、如果球面被不经过球心的平面所截得的圆叫小圆．

当我们把地球看作一个球时，经线就是球面上从北极到南极的半个大圆．O

国际上，以过格林尼治天文台的经线为0°经线，向东叫做东经，向西叫做西经．地球球面上一点的经线的经度是过该点的经度所在的半平面与0°经线所在的半平面所成的二面角的大小．

很明显，地球表面上任意一点由经度和纬度唯一确定．第二种：平面与球面相离OPa

平面与球面相离时，它们没有交点，此时球心到平面的距离大于球的半径r．

第三种：平面与球面相切OPa

平面与球面相切，有且只有一个交点，球心到平面的距离等于球的半径r．二、直线与球面的位置关系和球幂定理2.1直线与球面的位置关系

我们可以参考平面与球面的位置关系，来学习直线与球面的位置关系．因为我们可以把平面看成是由无数条直线组成．1.直线与球面相交PlO

直线与球面有两个交点，此直线叫做球面的割线，球心到直线的距离小于球的半径r．2.直线与球面相离PlO

直线与球面没有公共点，球心到直线的距离大于球的半径r．3.直线与球面相切PlO

直线与球面有且只有一个公共点，这个公共点叫做切点，该直线叫做球面的切线，此时球心到直线的距离等于球的半径r．OBPA思考过球面外一点P，引球的所有切线有什么性质？

由上图可以容易得出，过球面外一点p做球的切线，所有的切线（切点与p的距离）都相等，它们构成一个圆锥面．归纳2.2球幂定理AEDQCFBPO

观察下图，想一想我们学过的一些关于圆的定理．想一想

之前在平面几何中学过切线长定理、切割线定理、相交弦定理，这些定理统称为圆幂定理．

类比圆幂定理，可以发现下面几个定理：定理1

从球面外一点p向球面引割线，交球面与Q，R两点；再从点p引球面的任一切线，切点为S，则

PS2=PQ·PR

．证明：如下图，连结SQ，SR．

由于两条相交直线PS，RP唯一确定a平面，设平面a与球面的截面的圆心为O．由圆幂定理可知PS2=PQ·PR．OPRQS定理2从球面外一点p向球面引两条割线，它们分别与球面相交于Q，R，S，T四点，则

PQ·PR=PS·PT．OPSTQR定理3

设p是球面内一点，过点做两条直线，它们分别与球面交于Q，R，S，T四点，则PQ·PR=PS·PT．OQPSTR定理1、定理2、定理3统称为球幂定理．想一想

你能仿照定理1的证明过程，证明定理2和定理3吗？

我们学过的圆它是对称图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形，球面是一个旋转曲面，与圆一样，球面也有对称性．三、球面的对称性O由右图可以看出：1.球面关于球心对称；2.球面关于球的任意一条直径对称；3.球面关于球的大圆对称．

球的这种对称性有很多应用，对我们研究球面几何具有很大的帮助．想一想你还能发现其他一些球的对称性吗？课堂小结1.平面与球面的位置关系．相交相离相切位置关系2.直线与球面的位置关系和球幂定理．位置关系相交相离相切球幂定理定理1，2，3．3.球面的对称性．球面上两点间的距离和球面直线教学目标知识与能力

感知球面上两点间的距离和两条弧间的角度．掌握球面上两点间的距离和两条弧间的角度的大小的计算．过程与方法

通过与平面上距离和角度的对比，来学习球面上的距离和角度．通过实例进一步来掌握球面上的距离和角度的计算方法．

情感态度与价值观

注重让学生通过过去的知识来学习新的知识．从生活中大量的实例来验证所学的知识．培养合作交流意识．教学重难点

认识球面上的距离和球面上的角．掌握球面上的距离和球面上的角的计算方法．一、球面上的距离

我们知道，在平面上，经过两点可以连一条直线，且只可连一条直线．平面上两点之间的所有连线中，线段最短，这条线段的长度叫做两点之间的距离．

平面上的两条直线有两种位置关系：平行和相交，如果相交，那么只有一个交点．平面上的直线可以无限延长等等．这些都是平面上直线的性质．

在平面上可以画出直线，但球面是一个曲面，球面上的线是弯曲的，不存在直线．

球面上有没有某种曲线可以“扮演”平面上直线的角色呢？连结球面上任意两点有无数条曲线，而且它们的长短不一，其中是否存在一条最短的曲线？探究CDBOAB、A两点的距离是多少？

如下图，一架飞机从北京首都国际机场起飞，目的地是美国纽约肯尼迪国际机场，北京与纽约大致都在北纬40上，如果不考虑其他因素，飞机如何飞行才能使航程最短？NBO北京S旧金山O´T北南

如上图，我们用点B代表北京、点N代表纽约，点O表示球心．用经过B点、N点、O点的平面去截球面，得到一个大圆（由于平面过球心），那么B点、N点就把这个大圆分成两段圆弧，长的一段叫优弧，短的一段叫劣弧．

再回到上图，很容易得到，飞机沿着大圆从北京向北经极地飞行到达纽约，航程最短，它比飞机向东沿北纬40°的小圆，经旧金山到达纽约的航程要短．

如果我们把图中的大圆弧和小圆弧画到同一个平面，如下图．TSBNOO´r´r

观察图形可知，以O为圆心，OB为半径的圆弧，比以点O为圆心，OB为半径的圆弧要短．也就是说，平面上经过任意两点的劣弧中，半径越大，劣弧越短．

劣弧的长度是球面上两点之间的最短路径，我们把它称为球面上两点之间的距离．

因此过球面上两点一定可以连一条且只可以连一条大圆弧——劣弧．

例1

假设地球的半径为R，如图，在北纬45°的纬线上有A，B两点，且AB所对的圆心角∠AO´B=90°，求球面上A，B两点间的距离．ABOO´解：如图，连结OA，OB，AB，OO´.由纬度的意义，可得∠OBO´=45,O´B=Rcos∠OBO´=Rcos45=同理，因为∠AO´B=90．所以又因为OA=OB=R，所以∠AOB=60，因此，球面上A，B两点间的距离等于

由于不在同一条直线上的三点唯一确定一个圆，因此过球面上两点必可连一条大圆弧—劣弧．这类似平面上经过两点可以连一条直线，且只可能连一条直线；平面上两点之间的最短路径是线段．因此，球面上的大圆可以“扮演”平面上直线的角色．

尽管球面上的大圆可以“扮演”平面上直线的角色，但是两者之间也有很大的不同．平面上的两条直线可以相交：只有一个交点；也可以不相交（平行）：没有交点．但是球面上任意两个大圆（类似平面上的两条直线）必定相交，且有两个交点．思考

为什么两个大圆必定相交，且有两个交点？AA´O

如上图，因为球面上的两个大圆所在的平面都经过球心O．所以这两个大圆所在的平面有一个公共点，因此这两个平面必有一条过球心O的相交直线，这条相交直线显然是球面的直径所在的直线，两个大圆的交点是这条直径的两个端点A，A´．我们把球的直径的两个端点A，A´称为对径点．因此，两个大圆相交于对径点A，A´．球面上圆的极、赤道与球面角

上一讲中，运用欧式几何的方法，研究了球面的一些性质．这次课从球面上的距离和角入手，进入球面几何的学习．旧知回顾导入新课

欧式几何中，用距离和角度（方位）来刻画位置间的关系，对于球面的学习，从球面上的距离和角两个基本概念开始．一、球面上的距离

我们知道，在平面上，经过两点可以连一条直线，且只可连一条直线．平面上两点之间的所有连线中，线段最短，这条线段的长度叫做两点之间的距离．

平面上的两条直线有两种位置关系：平行和相交，如果相交，那么只有一个交点．平面上的直线可以无限延长等等．这些都是平面上直线的性质．

在平面上可以画出直线，但球面是一个曲面，球面上的线是弯曲的，不存在直线．

球面上有没有某种曲线可以“扮演”平面上直线的角色呢？连结球面上任意两点有无数条曲线，而且它们的长短不一，其中是否存在一条最短的曲线？探究

如下图，一架飞机从北京首都国际机场起飞，目的地是美国纽约肯尼迪国际机场，北京与纽约大致都在北纬40°上，如果不考虑其他因素，飞机如何飞行才能使航程最短？ABBOAB、A两点的距离是多少？NBO北京S旧金山O´T北南

如上图，我们用点B代表北京、点N代表纽约，点O表示球心．用经过B点、N点、O点的平面去截球面，得到一个大圆（由于平面过球心），那么B点、N点就把这个大圆分成两段圆弧，长的一段叫优弧，短的一段叫劣弧．劣弧的长度就是球面上两点间的最短距离，简称之为球面上两点间的距离。

再回到上图，很容易得到，飞机沿着大圆从北京向北经极地飞行到达纽约，航程最短，它比飞机向东沿北纬40°的小圆，经旧金山到达纽约的航程要短．

如果我们把图中的大圆弧和小圆弧画到同一个平面，如下图．TSBNOO´r´r

观察图形可知，以O为圆心，OB为半径的圆弧BSN

，比以点O为圆心，OB为半径的圆弧BTN要短．也就是说，平面上经过任意两点的劣弧中，半径越大，劣弧越短．

因此过球面上两点一定可以连一条且只可以连一条大圆弧——劣弧．

例1

假设地球的半径为R，如图，在北纬45°的纬线上有A，B两点，且AB所对的圆心角∠AO´B=90°，求球面上A，B两点间的距离．ABOO´ABOO´解：如图，连结OA，OB，AB，OO´.由纬度的意义，可得∠OBO´=45,O´B=Rcos∠OBO´=Rcos45=同理，因为∠AO´B=90．所以又因为OA=OB=R，所以∠AOB=60，因此，球面上A，B两点间的距离等于

由于不在同一条直线上的三点唯一确定一个圆，因此过球面上两点必可连一条大圆弧—劣弧．这类似平面上经过两点可以连一条直线，且只可能连一条直线；平面上两点之间的最短路径是线段．因此，球面上的大圆可以“扮演”平面上直线的角色．

尽管球面上的大圆可以“扮演”平面上直线的角色，但是两者之间也有很大的不同．平面上的两条直线可以相交：只有一个交点；也可以不相交（平行）：没有交点．但是球面上任意两个大圆（类似平面上的两条直线）必定相交，且有两个交点．思考

为什么两个大圆必定相交，且有两个交点？AA´O

如上图，因为球面上的两个大圆所在的平面都经过球心O．所以这两个大圆所在的平面有一个公共点，因此这两个平面必有一条过球心O的相交直线，这条相交直线显然是球面的直径所在的直线，两个大圆的交点是这条直径的两个端点A，A´．我们把球的直径的两个端点A，A´称为对径点．因此，两个大圆相交于对径点A，A´．

在平面上过一点A，做两条射线AB、AC，构成的图形叫做角记作∠BAC——平面上角的定义．二、球面上的角ABC

过球面上一点A，做两条大圆弧AB

，AC它们构成图形是球面角．仍记为∠BAC,点A叫球面角的顶点，大圆AB

、AC

叫球面角的边，记为AB、AC．（结合下图）

类似地，我们可以定义球面上的角：如何度量角∠BAC的大小？AA´OBC

如右图，球面角∠BAC的两边AB，AC延长后相交于点A的对径点A´．AB，AC所在大圆的半平面构成一个二面角B-AA´-C．显然，球面角∠BAC与二面角B-AA´-C唯一对应．A´AC´B´BOCED

我们用二面角B-AA´-C来度量球面角∠BAC，而二面角B-AA´-C的大小可以用它的平面角来度量，这样球面角∠BAC的大小可以用平面上的角度来度量了．即在二面角B-AA´-C棱AA´上，如果我们在球心O处，分别作OD⊥AA´，OE⊥AA´，且他们分别交球面角∠BAC的两边AB，AC于D，E两点，那么∠DOE为二面角B-AA´-C的平面角。这时，用∠DOE的大小度量球面角∠BAC．

从另外一个角度看，如果点A处分别作大圆弧AB和AC

得切线AB´和AC´，显然AB´⊥AA，OD⊥OA，且AB´和OD在同一个平面内，所以AB´‖OD．同理，AC´‖OE.所以，∠B´AC´=∠DOE.也就是说，∠DOE等于点A处分别与球面角∠BAC的两边AB和AC相切的射线AB´和AC´所成的角∠B´AC´．

由球面角的定义，我们再看一下经线经度的意义．如下图，地球球面上一点的经线是过该点的经线（半个大圆）所在半平面与过格林尼治天文台的经线所在半平面组成的二面角的大小．

实际上，为了考虑问题方便，二面角B-AA´-C平面角通常取为大圆的圆心角∠DOE．

点A在东经90°的经线上，东经90°的意义就是球面角∠BNC=90°．这个角我们也通常取为赤道所在大圆的圆心角，即∠BOC=90°．SNAOCB赤道0°经线

例2

设地球的半径为R，且点A和点B分别表示地球赤道上的两个城市，它们的经度分别为东经15°和西经30°，那么它们之间的距离是多少？AOB0°经线AOB0°经线解：如图，连结OA，OB，由经度的意义，我们知道，∠AOB=15°+30°=45°=因此，球面上A，B两点之间的距离为本讲小结1.由在平面上的距离引出球面上的距离的定义．2.由平面上的角引出球面上的角的定义，以此来给出它的度量．球面三角形及其极对称性三角形本节所学内容球面三角形极对称三角形

球面上，顺次连接不在同一个大圆上的三个点的球面线段所构成的图形，称为球面三角形。如图中的三角形ABC。

球面三角形定义：AOBCAOBC类似于平面三角形中的定义，我们称这三条球面线段叫做球面三角形的边；这三个点叫做球面三角形的顶点；每两条球面线段所形成的球面角，叫做球面三角形的内角。

球面三角形的三个角和三条边称为球面三角形的六要素。

航海上讨论的球面三角形的六要素均大于0°，而小于180°，又称其为欧拉球面三角形。

AOBCAOBC

球面三角形ABC中，AB,BC,AC均为球面上的3个点，所以结合球的基础知识，我们可以得出：球面三角形的边长等于它所对的圆心角的弧度数乘以球面的半径。这可以有弧长公式证得。

三面角的定义在掌握球面三角形的定义之后，借助同一个图形，我们连接球心和球面三角形的三个顶点，可以得到三条射线OA,OB,OC，由这三条线所在的三个平面围成的图形就叫三面角。进一步考虑它的边和角的元素，还称这三条射线就三面角的棱，两条棱为成的角角三面角的面角。AOBC三面角的性质球面三角形的三个内角分别与相应的三面角的两个面所成的角相等。这一性质可以从空间中的两个面所成的角即二面角的性质推出。AOBC球极三角形

设球面三角形ABC各边a、b、c的极分别为A'、B'、C'，且弧AA'、弧BB'、弧CC'都是劣弧，则由通过A'、B'、的大圆弧构成的球面三角形A'B'C'叫做原球面三角形的球极三角形。极三角形和原三角形有着非常密切的关系，这种关系可以用下面的定理来描述：定理1：如果一球面三角形为另一球面三角形的球极三角形，则另一球面三角形也为这一球面三角形的球极三角形。下面来看一看这个定理的证明：设球面三角形ABC是球面三角形A'B'C'的球极三角形，则A是B'C'的极点↔AO⊥B'O,AO⊥C'O(O为球心)，同理BO⊥A'O,BO⊥C'O,CO⊥A'O,CO⊥B'O。

综合可得：A'O⊥BO,A'O⊥CO，即A'是BC的极点，类似可证B'是AC的极点，C'是AB的极点。

所以A'B'C'是ABC的极三角形。定理2：球极三角形的边和原三角形的对应角互补；球极三角形的角和原三角形的对应边互补。注：这是球面三角形所特有的性质。对于这一定理的理解，我们可以结合上面的图形，在单位球面上，如果球面△ABC的极对称三角形是球面△A'B'C'，且它们的内角（单位：弧度）与边长分别为A,B,C,a,b,c和A',B',C',a',b',c',那么a'+A=π,b'+B=π,c'+C=π;a+A'=π,b+B'=π,c+C'=π.

例1试着找到三个内角都是π/2的球面三角形。

解：建立空间直角坐标系O-xyz，以O为球心作单位球，分别截坐标轴于A、B、C三点，球面三角形ABC即为三个内角都是π/2的球面三角形。课堂小结球面三角形及其极对称三角形的定义球面三角形与其极对称三角形之间的边角度量关系球面三角形的全等

类似于平面上研究全等的思路，首先给出球面上全等的定义．

两个球面三角形全等：两个图形完全相等，即球面三角形的六个要素——三条边、三个角分别相等．

由于球面的半径不同，球面的大小也不一样，所以研究球面三角形的全等问题只能在同一球面上或者是半径相等的球面上．注意下面讨论两个球面三角形全等的判定1、“边边边”（s.s.s）判定定理

我们知道，如果平面三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等．

如果两个球面三角形的三对边对应相等，则两个球面三角形全等．类似地，我们可以得到：

分析：由球面△ABC与三面角O-ABC的对应关系可知，由于球面三角形的三条边对应相等，所以与球面三角形对应的两个三面角相等．这时，如果能够证明这两个三面角中每两个面所成的二面角也相等，那么就证明了球面三角形中的角对应相等，也即两个球面三角形全等．证明：图5-1AOODEFBCA´D´E´F´B´C´

如图5-1，在两个三面角O-ABC和O-A´B´C´中，连结AB，BC，CA，A´B´，B´C´，C´A´，因为球面△ABC与球面△A´B´C´的三条边对应相等又因等弧上的弦相等，所以AB=A´B´,BC=B´C´,CA=C´A´．

因为三对面角∠AOB=∠A´O´B´,∠BOC=∠B´O´C´,∠COA=∠C´O´A´．又因为OA=OB=OC=OA´=OB´=OC´,

所以△AOB≌△A´OB´,△BOC≌△B´OC´,△COA≌△C´OA´．

所以∠OAB=∠OA´B´,∠OBC=∠OB´C´,∠OCA=∠OC´A´．又因为△AOB≌△A´OB´，所以∠BAC=∠B´A´C´.

在OA和OA´上分别取点D和D´，使AD=A´D´，再过点D在平面OAB和OAC上作OA的垂线，分别交AB和AC于点E和F；同样地，过点D´在平面OA´B´和OA´C´上作OA´的垂线，分别交A´B´和A´C´于点E´和F´，容易证明：∠EDF=∠E´D´F´.

又因为EDF和E´D´F´分别是二面角B-OA-C和B´-OA´-C´的平面角，所以这两个二面角相等．

同理可证，另外两对二面角也相等．

由球面三角形的内角与三面角中二面角的对应关系，可得：球面△ABC的和球面△A´B´C´的三对内角对应相等．所以，球面△ABC≌球面△A´B´C´．2、“边角边”（s.a.s）判定定理

如果两个球面三角形的两对边对应相等，且它们的夹角也相等，那么这两个球面三角形全等．

借助三面角这个“脚手架”，我们还可以证明下面一些球面三角形全等的判定定理．3、“角边角”（a.s.a）判定定理

如果两个球面三角形的两对角对应相等，且夹边相等，则两个球面三角形全等．4、“角角角”（a.a.a）判定定理

在平面上，我们知道，三对角对应相等的两个三角形不一定全等．也就是说，平面三角形全等的一个必要条件是至少有一对边对应相等．在球面上，三对角对应相等的两个球面三角形是否也有类似的结论呢？

答案是否定的。我们知道，半径为r的球面上，球面△ABC的面积=（A+B+C-π）r2．

因此，若两个球面三角形的三对内角相等，那么它们的面积一定相等．所以，若两个球面三角形的三对内角相等（可以理解为一样），则它们的面积必相等，形状和大小一样的两个三角形当然全等．

如果两个球面三角形的三对角对应相等，则两个球面三角形全等．

所以，在球面上有两个球面三角形全等的“角角角（a.a.a）”判定定理．下面我们给出它的证明．

分析：由于已经学过三个判定球面三角形全等的判定定理，我们尝试把球面三角形中角的关系转化为边的关系，由边的关系判定球面三角形全等．由于球面三角形与它的球极三角形之间存在定量的边角关系，因此我们设法通过构造球面三角形的球极三角形，实现球面三角形和球极三角形之间边角的转换，进而证明结论．

证明：设球面△ABC和△DEF的极对称三角形分别为球面△A´B´C´和△D´E´F´，且这四个球面三角形的边长分别为a，b，c；d，e，f；a´，b´，c´；d´，e´，f´．根据球面三角形和球极三角形之间的边角关系，有：a´=π-∠A，d´=π-∠D，

b´=π-∠B，e´=π-∠E，

c´=π-∠C，f´=π-∠F.又因为∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，所以a´=d´,b´=e´,c´=f´．因此，球面△A´B´C´≌球面△D´E´F´.所以∠A´=∠D´,∠B´=∠E´,∠C´=∠F´.

又根据球面三角形和球极三角形之间的边角关系，有：a=π-∠A´，d=π-∠D´，

b=π-∠B´，e=π-∠E´，

c=π-∠C´，f=π-∠F´.所以a=d,b=e,c=f．因此，球面△ABC≌球面△DEF．

从第四个判定定理可以看出，平面几何与球面几何有显著不同之处：

1.

平面几何中，如果两个三角形的三个角对应相等，那么两个三角形相似，不一定全等．2.球面几何中，在同一球面上，如果两个球面三角形的三对角对应相等，那么它们全等．

由1、2知道，在同一个球面上不存在相似三角形．1.求证:球面三角形与它的对顶三角形全等．2.利用球面三角形全等的判定定理证明：若一个球面三角形的两条边相等，则这两条边相对的角也相等；反过来也成立．课堂小结

球面三角形全等的判定定理：边边边（s.s.s.）边角边（s.a.s）角边角（a.s.a）角角角（a.a.a）球面三角形边角的基本性质导入新课

球面三角形是一类特殊的三角形，也具有三角形的一些通性，同样，在生活当中我们也可以发现它的应用.某些天然矿石具有球面三角形态汽车标志的设计一些精美的饰品

在前面所学的平面几何知识中，我们已经知道，在平面三角形中：三角形三内角和等于180°（在球面上，三角形内角之和大于180°）；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.

那么对于球面三角形，这些性质是否依然成立呢？下面，我们将对球面三角形的一些基本性质进行学习.教学目标

【知识与能力】掌握球面三角形的基本概念.熟记球面三角形中边角的基本性质.

【过程和方法】利用所学过的平面三角形的边角关系进行知识迁移，掌握球面三角形基本性质.通过对球面三角形基本性质的证明，加深对知识的理解.

【情感态度和价值观】通过平面几何向空间几何的过渡，培养学生的空间想象能力，和知识迁移能力.在球面三角形边角性质的证明过程中，锻炼逻辑思维能力.重点

球面三角形定义、概念，理解球面三角形中边角对应关系.难点

球面三角形边角性质的证明.教学重难点教学内容

球面上，顺次连接不在同一个大圆上的三个点的球面线段所构成的图形，称为球面三角形.球面三角形定义：知识回顾这三条球面线段叫做球面三角形的边；这三个点叫做球面三角形的顶点；

每两条球面线段所形成的球面角，叫做球面三角形的内角.AOBC基本性质1

球面三角形的两边之和大于第三边.即在球面△ABC中，a+b>cc+a>bb+c>a证明：

如图，在球面△ABC中，将A,B,C三个顶点分别与球心O相连，从而得到三面角O-ABC.由三面角的性质（三面角任意一个面角小于其他两个面角之和而大于其差），可得Ð

AOB+Ð

AOBÐ

BOC>Ð

AOC

又在单位圆中弧长与其对应的圆心角的弧度数相等，所以c+a>b同理，可证明a+b>c,b+c>a由球面三角形的基本性质1，我们可以推知，OABCabc球面三角形的两边之差小于第三边若在球面三角形中，三边关系为

a>b>c则a-b<ca-c<bb-c<a基本性质2

球面三角形中，等边所对的角相等，等角所对的边相等.FOAEDBCbac即在球面ABC中，b=cÐB=ÐCÐB=ÐCb=c证明：FOAEDBCbac

先证明在球面△ABC中，若b=c则∠B=∠C，如图，过顶点A作平面OBC的垂线交该平面于点D，过点D分别作OB,OC的垂线DE,DF.因b=c，所以∠AOE=∠AOF又因为OA=OA,所以Rt△AEO≌Rt△AFO,

所以∠AED=∠AFD,又因为∠AED=∠B,∠AFD=∠C,从而有∠B=∠C.

所以AE=AF,又因为AD=AD，所以

Rt△ADE≌Rt△ADF,下面再证明由∠B=∠C推出b=c.

观察球面△ABC的球极三角形，由于球极三角形的边与原三角形的对应角之和为π，所以

b'=c'.由上面的证明可得∠B=∠C

再由球极三角形的边与原三角形的对应角之和为π，就可得b=cFOAEDBCbac基本性质3

球面三角形中，大角对大边，大边对大角.即在球面ABC中，b>aÐB>ÐAÐB=ÐAb>aABCbca则由基本性质2，可推知,根据基本性质1，ABCDabc证明：在球面三角形ABC中，设ÐABC=ÐBAC作球面角∠ABD,使其等于∠A，ADBD=有b=+=+>aADDCBDDC证明：因为a，b，c均为正，故a+b+c＞0°,又由立体几何得知凸多面角各面角之和小于360°，因此课外扩展

通过前面的学习，我们知道了球面三角形中边角对应关系，现在我们来学习两条有关球面三角形中边、角的角度的性质.

球面三角形三边之和大于0°而小于360°.

0<a+b+c<360°∠AOB+∠BOC+∠COA＜360°OABCabc证明：由极三角形和原三角形的关系得：

a'+A=180°，b'+B=180°，c'＋C=180°，即A+B+C=540°-(a'+b'+c')但根据定理2有：

0°＜a'＋b'＋c'＜360°所以上式化为

180°＜A+B+C＜540球面三角形三角之和大于180°而小于540°.OABCabc课堂小结1.球面三角形的两边之和大于第三边.

由三面角的性质，两面角之和大于第三个面角，并由单位球面中，弧长与圆心角对应关系可知.2.球面三角形等边对应的角相等，等角对应的边相等.

通过作图，添加辅助线，构造全等三角形来证明边角间的对应关系.3.球面三角中，大边对大角，大角对大边

利用前面的基本性质1、性质2可以推知，边（角）越大，对应的角（边）也越大.解析：本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题.解：设球半径为R，圆M的半径为r，则πr2=3π，即r2=3由题得R2-（）2=3

，所以R2=44πR2=16π.R高考链接1.（09全国卷）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于___________.2到圆C.若圆C的面积等于，则球O的表面积等于________.742.(09全国卷)设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得答案：8π解析：本题考查立体几何球面知识，注意结合平面几何知识进行运算，由47.8)144(4422pppp===RS3.(09全国卷)直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2,Ð=BAC则此球的表面积等于________.120°解:在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°可得,BC=23由正弦定理,可得△ABC外接圆半径r=2,设此圆圆心为O′，球心为O，在RT△OBO′

中，易得球半径R=5

，故此球的表面积为4πR2=20π.答案：20π弧长是（为R地球半径），则这两地间的球1．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的_______倍；2.北纬60°圈上M,N两地，它们在纬度圈上的R2面距离为______．课堂练习3.在半径为13cm的球面上有A,B,C三点，其中AB=BC=AC=12cm，求球心到经过这三点的截面的距离.ABCO4．已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB=BC=CA=2，求球的表面积．OAO/BC5．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积．A6OBCD所以，球心到截面距离为11cm.3.解：设经过A,B,C三点的截面为⊙O′,设球心为O

，连结OO′

，则OO′⊥平面ABC,∵AO′=×12×=4,∴=-=11OOOAOA22¢¢1.2.33p习题答案3232644.解：设截面圆心为O'，连结O'A，设球半径为R

，则323==2

3

232O'A··在直角△O'OC中，OA2=O'A2+O'O232314R2=(

)2+R23∴R=4∴S=4pR2=

9p5.解：作轴截面如图所示，AOBCD设球的半径为R,则R2=BC2+OB2=(6)2+(3)2=9∴R=3∴S球=4πR2=36π43V球=

πR3=36πBC=6,AB=2×6=23球面三角形的面积与欧拉公式问题提出如何计算球面三角形的面积？球面三角形面积与平面三角形面积有什么区别？如何利用球面三角形面积公式证明球面多面体的欧拉公式？如何利用球面知识证明简单多面体的欧拉公式？球面二角形的面积

我们知道，若球面半径为R，则球面面积为

，现在考虑球面上的一个小区域：球面上由两个大圆的半周所围成的较小部分叫做一个球面二角形。球面二角形的面积例1：计算地球上一个时区所占有的面积。球面二角形的面积解：如图所示，设O为地心，N、S为北极点和南极点，A、B为赤道上两点，且，地球半径为R=6400km。根据地理知识，地球共分为24个时区，一个时区跨越地球表面，所以由经线NAS与经线NBS围成的二角形就是一个时区，它所占面积为地球表面积的。即球面二角形的面积如何计算一般球面二角形的面积？二角形的夹角α，就是平面PA与PB所夹的二面角的平面角；这个二角形可以看成半个大圆绕直径P旋转角所生成；球面二角形的面积与其夹角成比例。计算球面三角形的面积

设表示球面三角形ABC的面积，对球面三角形ABC，分别画出三条边所在的大圆。计算球面三角形的面积设A、B、C的对径点分别是，则计算球面三角形的面积球面三角形+球面三角形+球面三角形+球面三角形构成半个球面，所以计算球面三角形的面积又因为 计算球面三角形的面积所以得到定理：球面三角形的面积等于其内角和减去。球面三角形的三个内角和大于。计算球面三角形的面积例2：计算以北京、上海、重庆为顶点的球面三角形的边长和的面积。解：根据地理知识，北京位于北纬39°56′、东经116°20′，上海位于北纬31°14′、东经121°29′，重庆位于北纬29°30′、东经106°30′的经纬度，地球半径为R=6400km.计算球面三角形的面积如图所示，设N为北极点，B为北京，S为上海，C为重庆.计算球面三角形的面积在球面三角形NBC中计算球面三角形的面积解球面三角形NBC，有即同理 计算球面三角形的面积解球面三角形BSC，有即所以球面三角形BSC的面积为练习1．证明：半径为R的球面上，夹角为的二角形的面积为。2．证明：半径为R的球面上，球面三角形ABC的面积。3．已知球面二角形的面积是球面面积的，求其夹角。练习4．已知球面三角形的边角关系如下，求它的面积.（1）已知（2）已知球面上的欧拉公式设S是一个球面，我们把球面分割成若干个球面三角形，要求球面上的每一点至少包含在某个球面三角形的内部或边上。同时，任何两个球面三角形或者没有公共点，或者有一个公共点的顶点，或者有一条公共边，三者比居其一，这样构成的球面上的网络，叫做球面S上的一个三角剖分，记为。球面上的欧拉公式图中所示的两个三角形的位置关系在球面的三角剖分中都是不允许出现的。球面上的欧拉公式例3：观察下面的球面三角剖分，记录它们的顶点数V，三角形边数E和三角形个数F，说明它们满足什么关系？球面上的欧拉公式在左图中，顶点为A、B、C、D，顶点数V=4，三角形的边为AB、AC、AD、BC、BD、CD，边数E=6，三角形为ABC、ABD、ACD、BCD，三角形个数F=4，所以球面上的欧拉公式在中图中，顶点为A、B、C、D、E、F，顶点数V=6，三角形边为AB、AC、AD、AE，FB、FC、FD、FE、BC、BE、CD、ED，边数E=12三角形为ABC、ABE、ACD、ADE，FBC、FBE、FCD、FDE，三角形个数F=8，所以 ；球面上的欧拉公式在右图中，顶点为A、B、C、D、E、F、G、H，顶点数V=8，三角形的边为AB、AC、AH、HD、AE、CH、HE，FG、GB、FC、FD、FE、BC、BE、CD、ED、CG、GE，边数E=18，三角形为ABC、ABE、ACH、CHD、AHE、HED，FGC、GCB、FGE、GEB、FCD、FDE，三角形个数F=12，所以球面上的欧拉公式球面上的三角剖分满足下面的公式：

其中V、E、F分别是三角剖分的顶点数，三角形边数和三角形个数。我们把这个公式叫做球面的欧拉公式。这个公式与球面的大小，三角剖分的方式无关。球面上的欧拉公式如何利用球面三角形面积公式证明球面多面体的欧拉公式？1．考虑E和F的关系：球面上共有F个三角形，每个三角形有三条边，每条边属于两个三角形，所以球面上的欧拉公式2．把F个三角形编号，记为。对于第个三角形，设它的面积为，三角形的内角分别为，那么因此，整个球面的面积球面上的欧拉公式3．因为三角剖分共有V个顶点，而在每个顶点处，以它为顶点的所有球面角之和为，所以4．根据（1）、（2）、（3）式，得球面上的欧拉公式这个公式用欧拉的名字命名，是因为在1750年欧拉首次发现了凸多面体的欧拉公式。由若干个平面多边形所围成的封闭的立体，称为多面体。如果一个多面体在它的每一个面所决定的平面的同一侧，就称为凸多面体。球面上的欧拉公式如图所示，（1）、（2）、（3）、（4）、（5）都是凸多面体，而（6）、（7）不是凸多面体。球面上的欧拉公式例4观察下面的图形，写出凸多面体和它对应的球面三角剖分的顶点数V、棱数E和面数F，并验证凸多面体的欧拉公式和它对应的球面三角剖分的欧拉公式。球面上的欧拉公式解:在上图中，凸多面体的顶点数V=4，棱数E=6，面数F=4它对应的球面三角剖分的顶点数V=4，棱数E=6，面数F=4，凸多面体的欧拉公式是，它对应的球面三角剖分的欧拉公式；球面上的欧拉公式在中图中，凸多面体的顶点数V=6，棱数E=12，面数F=8它对应的球面三角剖分的顶点数V=6，棱数E=12，面数F=8，凸多面体的欧拉公式是，它对应的球面三角剖分的欧拉公式；球面上的欧拉公式在下图中，凸多面体的顶点数V=8，棱数E=18，面数F=12它对应的球面三角剖分的顶点数V=8，棱数E=18，面数F=12，凸多面体的欧拉公式是，它对应的球面三角剖分的欧拉公式；习题A1．已知地球表面上的球面三角形的三边分别是1000km，1500km，2000km，求它的面积。2．在单位球面上，已知等边球面三角形的面积等于球面面积的，求它的三个内角和三条边。3．已知一个简单多面体的顶点数为8，面数为6，求这个多面体的棱数。4．在一个球面上，画出一个三角剖分，并分别数出V、E、F，验证欧拉公式。习题A5．如图所示，验证简单多面体的欧拉公式。习题A6．若是球面上的一个三角剖分，说明的三角形个数一定是偶数。7．用8个全等的球面三角形覆盖整个球面，如何构造？8.在平面上，用等边三角形可以覆盖整个平面，从一点出发需要6个等边三角形。从球面上一点出发，用5个球面等边三角形覆盖整个球面，这样的球面三角形覆盖是否成立？说明你的想法习题B1．求以北京、上海、广州为顶点的球面三角形的面积。2．球面上除了可以有等边三角形覆盖外，还有其它三角形的覆盖吗？举例说明。

球面多边形的内角和与欧拉公式旧知回顾

上节我们主要讨论了球面上三角形的全等判定定理．在这基础上，我们可以了解到，球面几何有很多应用．导入新课

用球面多边形的内角和公式证明拓扑学中的著名公式——欧拉公式就是一个重要的应用．本讲我们首先在球面三角形的基础上介绍球面多边形，然后推导球面多边形的内角和公式，最后用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式．O教学目标

1．在熟悉球面三角形的基础上充分理解球面多边形的定义；掌握其内角和公式．

2．熟悉简单多面体的欧拉公式．知识与能力

1．通过球面多边形的学习，理解和掌握球面多边形的概念和其内角和公式．

2．培养通过已学过球面三角形的知识，推导出球面多边形的内角和公式．过程与方法

1．通过球面三角形与球面多边形的比较，能够体会数学中由简到繁的思想，有利于理解和掌握．

2．通过课堂学习培养敢于结合以前所学知识，推导出新的知识或性质，有利于深刻理解．情感态度与价值观球面多边形的定义、内角和公式，以及对欧拉公式的初步应用．重点欧拉公式的推导．难点教学重难点一、球面多边形及其内角和公式

与先学平面三角形再学平面多边形一样，我们在球面三角形的基础上，引进球面多边形的概念．图6-1A1A6A2A3A4A5O

我们知道，在平面上，n(n≥3)条收尾相接且互不相交的线段围成的封闭图形叫做n边形．类似地，如图6-1中，在球面上有n个点：A1，A2,A3,...An，且任意三点不在同一个大圆上，经过这n个点中任意两点做大圆，首尾顺次相接劣弧A1A2,A2A3,...An-1An．

如果这些劣弧互不相交，那么就把这些劣弧组成的封闭图形叫球面n边形．记为球面n边形A1A2A3...An-1An.点A1，A2，...，An称为球面n边形的顶点，∠A1，∠A2，...，∠An称为球面n边形的内角．

类似平面凸多边形，如果球面n边形A1A2A3...An-1An总在它的每一条边所在大圆的半个球面内，那么这个球面多边形称为球面凸n边形．我们重点研究球面凸n多边形．

在平面几何中，我们知道平面多边形的内角和为(n-2)π，单位球面上球面三角形△ABC的面积S´=（A+B+C-π），因此得到球面三角形的内角和为S´+π．

我们大胆猜想，单位球面上，球面n（n≥3）边形的内角和等于（n-2）π+S,其中S为球面n边形的面积．事实上猜测是正确的．那么下面的结论是成立的

设单位球面上的n(n≥3)边形A1A2...An-1An的n个内角分别为∠A1,∠A2...∠An

，其弧度数分别为A1,A2...An，S为这个球面n边形的面积，则

A1+A2+...+An=（n-2）π+S．

分析：当n=3时，就是球面三角形的面积公式，结论显然成立．当n=4时，如图6-2，我们总可以把两个不相邻的顶点用大圆弧连接起来，由于这两个不相邻的顶点都在一个大圆的半个球面内，所以这段圆弧是劣弧，因此这段劣弧把球面四边形分为两个球面三角形，而这两个球面三角形面积的和等于球面四边形的面积，依次类推，便可得到球面n边形的面积公式，进而得到球面n边形的内角和公式．图6-2A1A6A2A3A4A5O

你能把这个证明过程写出来吗？二、简单多面体的欧拉公式

为什么可以用球面多边形的内角和公式证明简单多面体的欧拉公式呢？两者之间有什么样的联系？为了解决这个问题，我们首先回顾简单多面体的欧拉公式．

我们知道，多面体是由若干个平面多边形围成的封闭几何体，如果一个多面体在它的每一个面所在的平面的同一侧，那么这个多面体称为凸多面体．

如果把多面体想象成由橡皮膜组成的，对这个橡皮膜充气，如果能变成一个球面，就把这样的多面体叫做简单多面体．

如果用V表示简单多面体的顶点数，E

表示简单多面体的棱数，F表示简单多面体的面数，通过计算，得出：V﹣E﹢F=2．这个结论被称为简单多面体欧拉公式三、用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式

从橡皮变换角度看，简单多面体与球等价，简单多面体的表面与球面等价．这时，我们大胆想象，橡皮膜变成球后，组成简单多面体的每个面的各条边可以与球面多边形建立一定的联系．下面我们给出欧拉公式的证明．

欧拉公式如果用V表示简单多面体的顶点数，E表示简单多面体的棱数，F表示简单多面体的面