七年级数学多边形的内角和与外角和及用正多边形拼地板华东师大版知识精讲

七年级数学多边形的内角和与外角和及用正多边形拼地板华东师大版【本讲教育信息】一授课内容：多边形的内角和与外角和及用正多边形拼地板［学习要求］1掌握正多边形的看法，引导研究、归纳多边形的内角和公式、

外角和定理，并能灵便地运用。能将多边形的问题转变成三角形的问题来解决。理解并掌握正多边形能够铺满地面的道理，并能设计图案。在铺满地面的过程中，欣赏多彩的图案，体验数学的美，提高自己的审美情味。［知识内容］（一）多边形的内角和与外角和1四边形、五边形、n边形的看法1）由四条不在同一条直线上的线段首尾按次连结组成的平面图形，叫做四边形。2）由五条不在同素来线上的线段首尾按次连结组成的平面图形，叫做五边形。（3）由n条不在同素来线上的线段首尾按次连结组成的平面图形，叫做n边形。（我们所研究的多边形都是凸多边形，即所有的内角都小于180°的多边形）正多边形的看法若是多边形的各边都相等各内角也都相等，这样的多边形叫做正多边形。n边形内角和公式：n边形内角和等于，在这里给同学们介绍几种n边形内角和公式的推导方法：（1）在n边形内任取一点，并把这一点与n个极点连结起来，因此共组成了n个三角形（以以下列图1），这n个三角形的内角和为。计算n边形的内角和，应该把中间那个周角去掉，因此，在中减去360°，即获取n边形的内角和为（2）在n边形的某一边上取一点，把这一点与它不相邻的个极点相连，图2），n边形内角和等于这个三角形的内角和再减去一个平角，即

得个三角形（如（3）过n边形的一个极点连对角线，能够连条对角线，这条对角线把角形（如图3），这些三角形的内角的和恰好是n边形的内角和，即等于。

n边形分成个三（4）在n边形（n＞3）外取一点块正三角形，n块正方形拼，则有，即：。由于m、n均为正整数，因此，因此用3块正三角形、2块正方形可铺满地面。（2）设用m块正三角形、n块正六边形拼，则有，即：，因此，或，因此用2块正三角形，2块正六边形，或4块正三角形，1块正六边形可铺满地面。3）设用m块正方形、n块正六边形拼，则有，即：，这样的正整数不存在，因此不能够同时用正方形和正六边形铺地板。4）设用m块正方形、n块正八边形拼，则有，即：，因此，因此用1块正方形，2块正八边形能够铺满地面。其他，同学们可模拟以上的研究方法，研究正三角形与正五边形，正三角形与正七边形等两种正多边形组合情况。若能，试一试有几种可能的铺法。4用三种不同样的正多边形拼。方法与两种不同样的正多边形拼近似，设用块正三角形，块正方形，块正六边形拼，则有，即，因此，因此用1块正三角形，2块正方形，1块正六边形能够铺满地面。至于用其他三种不同样的正多边形或是用四种不同样的正多边形可否能铺满地面，同学们可以模拟以上方法去研究。【典型例题】例1已知两个多边形的内角和为1800°，且两多边形的边数之比为2：5，求这两个多边形的边数。解析：此题含有两个等量关系：（1）第一个多边形内角和加上第二个多边形内角和等于1800°；2）两个多边形的边数之比为2：5，故可考虑用方程（组）来求解。解：设这两个多边形的边数分别为、，依照题意，得：解得：经检验吻合题意。答：这两个多边形的边数分别为4、10。例2一个n边形中，其内角中至多有多少个锐角请说明原由。解析：此题若单独从内角来考虑是很麻烦，从外角方面来考虑就简单多了，内角中有一个锐角则外角中必有一钝角，而多边形的外角和是360°，因其他角至多只能有3个钝角，因此内角中至多只能有3个锐角。解：一个n边形中，其内角中至多只能有3个锐角，由于一个多边形若有3个以上的锐角，则它的外角中最少有4个钝角，4个钝角的和大于360°，这与多边形的外角和为360°相矛盾。因此一个n边形中，至多只能有3个锐角。例3已知多边形的一个内角的外角与其他各内角和为600°，求边数及相应的外角的度数。解析：依照多边形的边数，可表示这个多边形的内角和，由于内角和中的一个内角换成了这个内角的外角，故可设一辅助未知数列出方程求解。解：设这个多边形边数为n，这个外角的度数为，则与这个外角相邻的内角为，列方程得：解之得：由于0°＜＜180°，n为正整数或当时，当时，答：当边数为5时，这个外角为120°；当边数为6时，这个外角为30°。注意：此题有两种吻合题意的答案，不要漏解。例4以下列图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H的度数。解析：从图中可看出，此图是由四个三角形和一个四边形组成的。在△ABO中，它的两个内角∠A、∠B之和等于△ABO的外角∠个正方形的角，n个正八边形的角，则这些角的和等于360°，即，其整数解为，因此每个极点周围有1个正方形和两个正八边形，只有一种情况可能。设在一个极点周围有m个正三角形的角，360°，即，其整数解为，因此每个极点周围有

n个正十二边形的角，则这些角的和等于1个正三角形和两个正十二边形，也只有一种情况可能。例7已知一个多边形的每个内角都为144°，求此多边形的内角和。解析：要求此多边形内角和，应该知道此多边形是几边形，再依照每个内角为求出内角和。解：法一：由于每个内角为144°因此正多边形的每个外角为而多边形的外角和为360°因此此正多边形为边形即：此正多边形的内角和为法二：用方程思想来解。设此正多边形为正n多边形，则有

144°，解之得：∴内角和为【模拟试题】（答题时间：50分钟）1已知一个多边形的内角和是外角和的倍，则此多边形的边数为（）A5B6C7D82若一个多边形的每一个内角都是108°，则这个多边形是（）A四边形B五边形C六边形D七边形3若一个多边形的每一个外角都等于36°，则它的内角和为（）A1260°B1440°C1620°D1800°4六边形的对角线共有（）A12条B9条C5条D3条5边形的外角和是（n为大于1的整数）（）A360°B720°CD180°6一个多边形中，最多有（）个锐角。A1B2C3D47一个多边形除了一个内角之外，其他各内角之和是2570°，则这一内角的度数是（）A90°B105°C130°D120°8用以下两种正多边形不能够铺满平面的是（）A正三角形、正方形B正三角形、正六边形C正方形、正八边形D正五边形、正六边形9商店销售以下形状的地砖：（1）正三角形；（2）正方形；（3）正八边形；（4）正五边形；5）正六边形。若选购其中两种地砖镶嵌地面可选择的方案共有（）A1种B2种C3种D4种10一个n边形的边数增加一倍，则它的内角和增加（）A180°B360°CD二填空题。11九边形的内角和为______________，外角和为______________。12一个多边形的内角和为900°，那么这个多边形的边数是______________。13已知一个多边形的内角和与外角相等，则这个多边形是______________边形。14从一个多边形的一个极点出发，最多能引6条对角线，这是一个______________边形。15若正n边形的一个内角与正2n边形的一个内角的和等于225°，则n＝__________。16一个多边形的每个外角相等，且比它的内角小140°，则这个多边形是___________边形。17四边形的内角和与外角和的和是______________。18一个多边形的每个外角的度数等于某相邻内角度数的，则这个多边形是__________边形。以下列图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝______________。五边形的各内角度数之比为2：3：4：5：6，这个五边形中最大角是__________，最小角是____________。解答题。在某正多边形中，一个外角等于一个内角的，求这个正多边形的边数。22一个多边形的每个外角都相等，若是它的内角与外角的度数之比为13：2，求这个多边形的边数。已知：以下列图，求的度数。以下列图，用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，先请你观察以下列图形，再解答后边的问题：1）在第n个图中，每一横行共有___________块瓷砖，每一竖列共有___________块瓷砖（用含有n的代数式表示）。（2）设铺设地面所用瓷砖的总数为，请写出与n的关系式。（3）在第10个图中，需要白色__