中学考试数学二次函数压轴题题型归纳

实用文档实用文档中考二次函数综合压轴题型归类、常考点汇总1、两点间的距离公式：AByYa Yb2 Xa Xb2、中点坐标：线段2、中点坐标：线段AB的中点C的坐标为:Xa XbYa Yb2 ' 2直线y k直线y k1xb1(k1 0)与y k2x b2(k2(1)两直线平行 ki k2且bi b20)的位置关系：(2)两直线相交ki k2(3)两直线重合 (3)两直线重合 k1 k2且b1 b2(4)两直线垂直 k1k2 13、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下:①用和参数的其他要求确定参数的取值范围；②解方程，求出方程的根；(两种形式：分式、二次根式)③分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。例：关于x的一元二次方程例：关于x的一元二次方程x2-2m1xm2=0有两个整数根,m<5且m为整数，求m的值。试确定方程总试确定方程总4、二次函数与x轴的交点为整数点问题。(方法同上)例：若抛物线ymx23m1x3与x轴交于两个不同的整数点，且 m为正整数，此抛物线的解析式。5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：已知关于x的方程mx23(m1)x2m30(m为实数)，求证：无论m为何值,有一个固定的根。

解：当m0时，x1；TOC\o"1-5"\h\ztci 2 3m1 , c3 /当m0时， m3 0,x ,Xi2一、x21；2m m综上所述：无论m为何值，方程总有一个固定的根是 1。6、函数过固定点问题，举例如下:已知抛物线y2已知抛物线y2Xmxm2（m是常数），求证：不论m为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。解：把原解析式变形为关于2解：把原解析式变形为关于2m的方程yx2m1x;yx221x0抛物线总经过一个固定的点（1,—1）。2（题目要求等价于：关于2（题目要求等价于：关于m的万程yx2m1x不论m为何值，方程恒成立）小结：关于x的方程axb有无数解♦♦7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）（1）如图，直线11、12,点A在12上，分别在11、12上确定两点M、N,使得AMMN之和最小。（2）如图，直线11、12相交，两个固定点A、B,分别在11、12上确定两点M、N,使得BMMNAN之和最小。

(3)如图，A、B是直线l(3)如图，A、B是直线l同旁的两个定点，线段a,在直线l上确定两点E、F(E在F的左侧)，使得四边形AEFB的周长最小。三角形的面积求解常用方法：如右图， Szpab=1/2 PMX=1/229、函数的交点问题： 二次函数(y=ax+bx+c)与一次函数(y=ax2+bx+c(1)解方程组) 可求出两个图象交点的坐标。y=kx+hy=ax2+bx+c (2)解方程组 ，即ax+b—kx+c—h=y=kx+h通过可判断两个图象的交点的个数TOC\o"1-5"\h\z有两个交点 >0仅有一个交点 0没有交点 <010、方程法

(1)设：设主动点的坐标或基本线段的长度(2)表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量(3)列方程或关系式11、几何分析法特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。几何要求几何分析涉及公式应用图形跟平行有关的图形平移11//l2k尸k2、k *-y2XiX2平行四边形矩形梯形跟直角有关的图形勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等._ / 2 2AByyA yB Xa Xb直角三角形直角梯形矩形跟线段有关的图形利用几何中的全等、中垂线的性质等。._ 2 2 2AByyA yB Xa Xb等腰三角形全等等腰梯形跟角有关的图形利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等【例题精讲】P点坐标P点坐标一基础构图：y=x22x3（以下几种分类的函数解析式就是这个）★和最小，差最大 在对称轴上找一点P,使得PB+PC的和最小，求出在对称轴上找一点P,使得PB-PC的差最大，求出P点坐标★求面积最大连接AC,在第四象限找一点P,使得ACP面积最大，求出P坐标

★讨论直角三角连接AC,在对称轴上找一点P,使得ACP为直角三角形,求出P坐标或者在抛物线上求点P,使4ACP是以AC为直角边的直角三角形.ACP为等腰三角形,★讨论等腰三角连接AC,在对称轴上找一点P,使得求出P坐标ACP为等腰三角形,F在抛物线上,★讨论平行四边形 1、点EF在抛物线上,F的坐标且以B,A,F,EF的坐标二综合题型例1 (中考变式)如图，抛物线y2xbxC与x轴交与A(1,0),B(-3,0)两点，顶点为Do交Y轴于C(1)求该抛物线的解析式与^ABC的面积。(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点 M,使4MBC是以/BCM为直角的直角三角形，若存在,求出点P的坐标。若没有，请说明理由⑶若E为抛物线B、C两点间图象上白^一个动点(不与A、B重合)，过E作EF与X轴垂直，交BC于F,设E点横坐标为x.EF的长度为L,求L关于X的函数关系式？关写出X的取值范围？当E点运动到什么位置时，线段 EF的值最大，并求此时E点的坐标？(4)在(5)的情况下直线BC与抛物线的对称轴交于点 H。当E点运动到什么位置时，以点E、F、D为顶斗的四边形为平行四边形?⑸在（5）的情况下点E运动到什么位置时，使三角形BCE的面积最大?例2考点:关于面积最值如图，在平面直角坐标系中，点 A、C的坐标分别为（―1,0）、（0,—73）,点B在x轴上.已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线 x=1,点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F.图象上的一个动点（点（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P的横坐标为m,试用含m的代数式表示线段（3）求4PBC面积的最大值，并求此时点 P的坐标.例3考点:讨论等腰如图，已知抛物线y=1x2+bx+c与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A的坐标为（2,0）,2(1)求抛物线的解析式；(2)点E是线段AC上一动点，过点E作DE，x轴于点D,连结DC,当4CE的面积最大时，求点D的坐标；(3)在直线BC上是否存在一点P,使4ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.备用图P,使得4PBCP,使得4PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在， 求出所有的点例4考点:讨论直角三角⑴如图，已知点A(—1,0)和点B(1,2),在坐标轴上确定点P,使得4ABP为直角三角形，则满足这样条件的点 P共有()(A)2个 (B)4个(C) 6个(D)7个⑵已知：如图一次函数y=-x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B；二次函数y=—x22 21+bx+c的图象与一次函数y=-x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1,0)(1)求二次函数的解析式;(2)求四边形BDEC的面积S;(3)在x轴上是否存在点P,若不存在，请说明理由.ADQ.是ADQ.是如果例5考点:讨论四边形已知：如图所示，关于x的抛物线y=ax2+x+c(a却)与x轴交于点A(—2,0),点B(6,0),与y轴交于点C.(1)求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；(2)在抛物线上有一点D,使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，并求出直线的解析式；(3)在(2)中的直线AD交抛物线的对称轴于点M,抛物线上有一动点P,x轴上有一动点否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点 Q的坐标;不存在，请说明理由.综合练习：□平面直角坐标系xOy中，抛物线yax24ax4ac与x轴交于点A、点B,与y轴的正半轴交于点C,点A的坐标为(1,0),OB=OC,抛物线的顶点为Do(1)求此抛物线的解析式；(2)若此抛物线的对称轴上的点 P满足/APB=/ACB,求点P的坐标；(3)Q为线段BD上一点，点A关于/AQB的平分线的对称点为A,若QAQB行，求点Q的坐标和此时^QAA的面积。

口在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数yax2+2axc的图像与y轴交于点C0,3,与x轴交于A、B两点，点B的坐标为3,0。(1)求二次函数的解析式及顶点D的坐标；(2)点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1:2的两部分，求出此时点M的坐标；(3)点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点 P在何处时4CPB的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P的坐标。工如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y工如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y—x 2x与x轴负半轴交于点A,顶点为B,m且对称轴与x轴交于点C。(1)求点B的坐标(用含m的代数式表示)；(2)D为OB中点，直线AD交y轴于E,若E(0,2),求抛物线的解析式;(3)在(2)的条件下，点M在直线OB上，且使得AMC的周长最小，P在抛物线上，Q在直线BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点 P的坐标。W ri47Jb知关于x的方程(1m)x2(4m)x30。(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；2(2)右正整数m满足82m2,设二次函数y(1m)x(4m)x3的图象与x轴交于A、B两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象；请你结合这个新的图象回答：当直线ykx3与此图象恰好有三个公共点时，求出k的值(只需要求出两个满足题意的 k值即可)。接CQ.接CQ.当4CEQ的面积最大时，求点Q的坐标;-4-205如图，抛物线y=ax，2ax+c(a却)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A(-4,0)和B.(1)求该抛物线的解析式;(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE//AC,交BC于点E,(3)平行于x轴的动直线1与该抛物线交于点P,与直线AC交于点点D的坐标为(-2,0).问是否有直线1,使^ODF是等腰三角形?若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说『明理由.三、中考二次函数代数型综合题题型一、抛物线与x轴的两个交点分别位于某定点的两侧(X2,0)两点,例1.已知二次函数y=x2+(m-1)x+m-2的图象与x轴相交于A(xi,0),B且xivx2.(X2,0)两点,(1)若xix2<0,且m为正整数，求该二次函数的表达式;(2)若x1v1,x2>1,求m的取值范围;(3)是否存在实数m,(3)是否存在实数m,使得过A、B两点的圆与y轴相切于点C(0,2),若存在,求出的值;若不存在，请说明理由;若不存在，请说明理由;(4)若过点D(4)若过点D(0,t)的直线与(1)中的二次函数图象相交于M、N两点，且MDDN求该直线的表达式.题型二、抛物线与x轴两交点之间的距离问题例2已知二次函数y=x2+mx+m-5

(1)求证：不论m(1)求证：不论m取何值时，抛物线总与(2)求当m取何值时，抛物线与x轴两交点之间的距离最短.题型三、抛物线方程的整数解问题2 2例1.已知抛物线yx2(m1)xm0与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且 m<5,则整数m的值为例2.已知二次函数y=x2—2mx+4m—8.(1)当x<2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；(2)以抛物线y=x2—2mx+4m—8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正 AMN(M,N题型四、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合例1.已知抛物线yx2bxc(其中b>0,c#0)与y轴的交点为A,点A关于抛物线对称轴的对称点为B(m,n),且AB=2.⑴求m,b的值(2)如果抛物线的顶点位于x轴的下方，且BO=7200求抛物线所对应的函数关系式(友情提醒：请画图思考)题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用(线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等)2例1.已知：二次函数yx4xm的图象与x轴交于不同的两点A(x1，0)、B(x2,0)(x1<x2),其顶点是点C,对称轴与x轴的交于点D.(1)求实数m的取值范围；(2)如果(4+1)(x2+1)=8,求二次函数的解析式；(3)把(2)中所得的二次函数的图象沿 y轴上下平移，如果平移后的函数图象与 x轴交于点A、Bi,顶点为点C1,且^ABiCi是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式.综合提升.已知二次函数的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C(0,4),且|AB|=2>/3,图象的对称轴为x=1.(1)求二次函数的表达式；(2)若二次函数的图象都在直线y=x+m的下方，求m的取值范围..已知二次函数y=-x2+mx-m+2.(1)若该二次函数图象与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB=45,求m的值;(2)设该二次函数图象与y轴的交点为C,二次函数图象上存在关于原点对称的两点 M、N,且S玉nc=27,求m的值..已知关于x的一元二次方程x2—2(k+1)x+k2=0有两个整数根，k<5且k为整数.(1)求k的值；(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=x2—2(k+1)x+k2的图象沿x轴向左平移4个单位，求平移后的二次函数图象的解析式;(3)根据直线y=x+b与(2)中的两个函数图象交点的总个数，求b的取值范围..已知二次函数的图象经过点A(1,0)和点B(2,1),且与y轴交点的纵坐标为m.(1)若m为定值，求此二次函数的解析式；(2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围；(3)若二次函数的图象截直线y=-x+1所得线段的长为2、/2,求m的值.四、中考二次函数定值问题.如图，已知二次函数Li:y=x2-4x+3与x轴交于A.B两点(点A在点B左边)，与y轴交于点C.(1)写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)研究二次函数L2：y=kx2-4kx+3k(k却).①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由.

O的直.如图，已知抛物线与坐标轴分别交于 A(—2,O)、B(2,0)、C(0,—l)O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点.