知识讲解空间几何体结构基础

空几何体的构【学目】1．利用物模型、算机件察大批空形，柱、、台、球的构特点；2．由柱、、台、球成的几何合体的构特点；3．能用上述构特点描生活中物体的构．【重点梳理】【高清堂：空几何体的构394899棱柱的构特点】重点一：棱柱的构特点1、定：一般地，有两个面相互平行，其他各面都是四形，而且每相两个四形的公共都相互平行，由些面所成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，称底；其他各面叫做棱柱的面；相面的公共叫做棱柱的棱．面与底的公共点叫做棱柱的点．棱柱中不在同一平面上的两个点的叫做棱柱的角．不相的两条棱所形成的面叫做棱柱的角面．2、棱柱的分：底面是三角形、四形、五形、⋯⋯的棱柱分叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱⋯⋯3、棱柱的表示方法：①用表示底面的各点的字母表示棱柱，以下，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分表示ABCDA1B1C1D1、ABCDEA1B1C1D1E1、ABCDEFA1B1C1D1E1F1；②用棱柱的角表示棱柱，如上，四棱柱可以表示棱柱A1C或棱柱D1B等；五棱柱可表示棱柱AC1、棱柱AD1等；六棱柱可表示棱柱AC1、棱柱AD1、棱柱AE1等．4、棱柱的性：棱柱的棱相互平行.重点：有两个面相互平行，其他各个面都是平行四形，些面成的几何体不用然是棱柱．以下所示的几何体足“有两个面相互平行，其他各个面都是平行四形”一条件，但它不是棱柱．判断一个几何体是不是棱柱，除了看它能否足：“有两个面相互平行，其他各个面都是平行四形”两个条件外，要看其他平行四形中“每两个相的四形的公共都相互平行”即“棱相互平行”一条件，不具一条件的几何体不是棱柱．【高清堂：空几何体的构394899棱的构特点】重点二：棱的构特点1、定：有一个面是多形，其他各面是有一个公共点的三角形，由些面所成的几何体叫做棱．个多形面叫做棱的底面．有公共点的各个三角形叫做棱的面．各面的公共点叫做棱的点．相面的公共叫做棱的棱；2、棱的分：按底面多形的数，可以分三棱、四棱、五棱⋯⋯；SSSCDDCACBEBAAB3、棱的表示方法：用表示点和底面的字母表示，如四棱SABCD．重点：棱有两个本特点：1）有一个面是多形；2）其他各面是有一个公共点的三角形，二者缺一不可以．【高清堂：空几何体的构394899旋体的构特点】重点三：柱的构特点1、定：以矩形的一所在直旋，其他三旋形成的曲面所成的几何体叫做柱．旋叫做柱的．垂直于的旋而成的曲面叫做柱的底面．平行于的旋而成的曲面叫做柱的面．无旋到什么地点不垂直于的都叫做柱的母．2、柱的表示方法：用表示它的的字母表示，如柱OO/．重点：1）用一个平行于柱底面的平面截柱，截面是一个与底面全等的面．2）柱的的截面是一个矩形，其两条分是柱的母和底面直径，柱的的截面平常叫做截面．3）柱的任何一条母都平行于柱的．重点四：的构特点1、定：以直角三角形的直角所在直旋，其他两旋而成的曲面所成的几何体叫做．旋叫做的．垂直于的旋而成的曲面叫做的底面．不垂直于的旋而成的曲面叫做的面．无旋到什么地点不垂直于的都叫做的母．2、的表示方法：用表示它的的字母表示，如SO．重点：1）用一个平行于底面的平面去截，截面是一个比底面小的面．2）的的截面是一个等腰三角形，其底是底面的直径，两腰是面的两条母．3）圆锥底面圆周上随意一点与圆锥极点的连线都是圆锥侧面的母线．【高清讲堂：空间几何体的构造394899棱台的构造特点】重点五：棱台和圆台的构造特点１、定义：用一个平行于棱锥(圆锥)底面的平面去截棱锥(圆锥)，底面和截面之间的部分叫做棱台(圆台)；原棱锥(圆锥)的底面和截面分别叫做棱台(圆台)的下底面和上底面；原棱锥(圆锥)的侧面被截去后节余的曲面叫做棱台(圆台)的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后节余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后节余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共极点叫做棱台的极点；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，所以旋转的轴叫做圆台的轴.2、棱台的表示方法：用各极点表示，如四棱台3、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台重点解说：

ABCDA1B1C1D1；；1）棱台必然是由棱锥用平行于底面的平面截得的几何体．所以，棱台可复原为棱锥，即延伸棱台的全部侧棱，它们必订交于同一点．2）棱台的上、下底面是相像的多边形，它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高之比的平方．（3）圆台可以看做由圆锥截得，也可以看做是由直角梯形绕其直角边旋转而成.4）圆台的上、下底面的面积比等于截去的小圆锥的高与原圆锥的高之比的平方．重点六：球的构造特点1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球.半圆的半径叫做球的半径.半圆的圆心叫做球心.半圆的直径叫做球的直径.2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O.重点解说：（1）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面．假如截面经过球心，则截面圆的半径等于球的半径；假如截面不经过球心，则截面圆的半径小于球的半径．（2）若半径为R的球的一个截面圆半径为r，球心与截面圆的圆心的距离为22d，则有dRr．重点七：特其他棱柱、棱锥、棱台特其他棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体；特其他棱锥：假如棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四周体；特其他棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台；注：简单几何体的分类以下表：重点八：简单组合体的构造特点1、组合体的基本形式：①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体；2、常有的组合体有三种：①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组合.①多面体与多面体的组合体由两个或两个以上的多面体构成的几何体称为多面体与多面体的组合体．三棱柱的组合体；如图（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（合体．

以以以下图（1）是一个四棱柱与一个3）是一个三棱柱与一个三棱台的组②多面体与旋转体的组合体由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图（1）是一个三棱柱与一个圆柱组合而成的；如图（2）是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的；而图（3）是一个球与一个三棱锥组合而成的．③旋转体与旋转体的组合体由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体与旋转体的组合体．个圆柱体组合而成的；如图（2）是由一个圆台和两个圆柱组合而成的；如图（一个圆锥组合而成的．

如图（1）是由一个球体和一3）是由一个圆台、一个圆柱和重点九：几何体中的计算问题几何体的有关计算中要注意以下方法与技巧：在正棱锥中，要掌握正棱锥的高、侧面、等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形，有关证明及运算常常与二者有关．正四棱台中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中对于上、下底及梯形高的计算，有关问题常常要转变到这两个等腰梯形中．其他要可以将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在适合的平面图形中联系起来．研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是由于在轴截面中，易找到所需有关元素之间的地点、数目关系．圆柱、圆锥、圆台的侧面张开是把立体几何问题转变为平面几何问题办理的重要手段之一．圆台问题有时需要复原为圆锥问题来解决．对于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决；对于球与多面体的切接问题，要适合地采纳截面，化“空间”为平面．【经典例题】种类一：简单几何体的构造特点例1．判断以下说法能否正确．1）棱柱的各个侧面都是平行四边形；2）一个n（n≥3）棱柱共有2n个极点；3）棱柱的两个底面是全等的多边形；4）假如棱柱有一个侧面是矩形，则其他各侧面也都是矩形．【答案】（1）（2）（3）正确，（4）不正确．【分析】（1）由棱柱的定义可知，棱柱的各侧棱相互平行，同一个侧面内两条底边也相互平行，所以各侧面都是平行四边形．（2）一个n棱柱的底面是一个n边形，所以每个底面都有n个项点，两个底面的极点数之和即为棱柱的极点数，即2n个．（3）由于棱柱同一个侧面内的两条底边平行且相等，所以棱柱的两个底面的对应边平行且相等，故棱柱的两个底面全等．（4）假如棱柱有一个侧面是矩形，只好保证侧棱垂直于该侧面的底边，但其他侧面的侧棱与相应底边不用然垂直，所以其他侧面不用然是矩形．故（1）（2）（3）正确，（4）不正确．【总结升华】解决这种与棱柱、棱锥、棱台有关的命题真假判断的问题，其重点在于正确掌握它们的构造特点，也就是要以棱柱、棱锥、棱台见解的实质内涵为依据，以详细实物和图形为模型来进行判断．贯串交融：【变式1】以以以下图中所示几何体中是棱柱有（）A．1B．2个C．3个D．4个【答案】C【高清讲堂：空间几何体的构造394899同步练习】【变式2】有两个面相互平行，其他各面都是平行四边形的几何体是棱吗？【答案】不用然例2．有下边五个命题：1）侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；2）侧棱都相等的棱锥是正棱锥；3）底面是正方形的棱锥是正四棱锥；4）正四周体就是正四棱锥；5）极点在底面上的射影既是底面多边形的心里，又是底面多边形的外心的棱锥必是正棱锥．此中正确命题的个数是（）．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【分析】此题主要察看正棱锥的见解，重点看能否知足定义中的两个条件．命题（1）中的“各侧面都是全等的等腰三角形”其实不可以保证底面是正多边形，也不可以保证极点在底面上的射影是底面的中心，故不是正棱锥，以以以下图（1）中的三棱锥S-ABC，可令SA=SB=BC=Ac=3，SC=AB=1，则此三棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形，但它不是正三棱锥；命题（2）中的“侧棱都相等”其实不可以保证底面是正多边形，以以以下图（2）中的三棱锥P-DEF，可令PD=PE=PF=1，DEDF2，EF=1，三条侧棱都相等，但它不是正三棱锥；命题（3）中的“底面是正方形的棱锥”，其极点在底面上的射影不用然是底面的中心，如以以下图（3），从正方体中截取一个四棱锥D1-ABCD，底面是正方形，但它不是正四棱锥；命题（4）中的“正四面体”是正三棱锥．三棱锥中共有4个面，所以三棱锥也叫四周体．四个面都是全等的正三角形的正三棱锥也叫正四周体；命题（5）中的“极点在底面上的射影既是底面多边形的心里，又是外心”，说了然底面是一个正多边形，符合正棱锥的定义．贯串交融：【变式1】假如一个面是多边形，其他各面都是三角形的几何体必然是棱锥．这种说法能否正确？假如正确说明原因；假如不正确，举出反例．【答案】不正确．【分析】以以下图的几何体由两个底面相等的四棱锥组合而成，它有一个面是四边形，其他各面都是三角形，可是该几何体不是棱锥．例3．判断以以下图所示的几何体是不是台体？为何？【分析】三个图都不是台体．（1）AA1，DD1交于一点，而BB1，CC1交于另一点，此图不可以复原成锥体，故不是台体：（2）中面ABCD与面A1B1C1D1不平行，故也不是台体；（3）中应⊙O与⊙O1不平行，故也不是台体．【总结升华】判断一个几何体能否为台体，必然紧扣台体的两个实质特点：（1）由锥体截得的；（2）截面平行于锥体的底面．即棱台的两底面平行，且侧棱必然订交于同一点；圆台的两底面平行，且两底面圆心的连线与两底面垂直．贯串交融：【变式1】判断以以以下图所示的几何体是不是台体？为何？【答案】①②③都不是台体．【分析】由于①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是台体；固然②是由棱锥所截，但截面不睦底面平行，故不是台体．只合用平行于锥体底面的平面去截锥体，底面与截面之间的部分才是台体．④是一个台体，由于它是用平行于圆锥SO底面的平面截圆锥SO而得的．种类二：几何体中的基本计算例4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．【答案】14cm，142cm，7cm和21cm．【分析】圆台的轴截面以以下图，设圆台上、下底面半径分别为

xcm

和3xcm，延伸AA1交OO1的延伸线于点S．在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，则∠SAO＝45°．∴SO＝AO＝3xcm，OO12xcm．∴1(6x2x)2x392，解得x＝7，∴圆2台的高OO114cm，母线长l2OO1142cm，底面半径分别为7cm和21cm．【总结升华】对于这种旋转体的有关计算问题，其重点在于作出它们的轴截面（即过旋转铀的截面），再把它们转变为平面几何问题即可．贯串交融：【变式1】已知圆台的上、下底面积之比为1：9，圆台的高为10，求截得圆台的圆锥的高．【分析】设圆锥的高为h，上、下底半径为r,R．则rh101，解得h15．Rh3种类三、简单几何体的组合体例5．指出以以下图中的图形是由哪些简单几何体构成的．【分析】切割原图，使它们的每一部分构成简单几何体．（1）是一个三棱柱和一个四棱柱组合而成的；（2）是一个圆锥和一个四棱柱组合而成的．【总结升华】判断实物图是由哪些简单几何体所构成的图形问题，第一要娴熟掌握简单几何体的构造特点，其次要擅长将复杂的组合体“切割”成几个简单的几何体．会鉴识较复杂的图形是学好立体几何的第一步，所以我们应注意察看四周的物体，此后将它们“分拆”成几个简单的几何体，从而培育我们的空间想象能力和识图能力．贯串交融：【变式1】以以以下图，察看以下几何体，分析它们是由哪些基本几何体构成的，并说出它们的主要构造特点．【答案】图（1）是由一个四棱柱在它的上、下底面上向内挖去一个三棱柱构成的几何体，它有9个面，14个极点，21条棱，拥有四棱柱和三棱柱的构造特点．图（2）是一个四棱柱和一个底面与该四棱柱上底面重合的四棱锥构成的几何体，它有9个面，9个极点，16条棱，拥有四棱柱和四棱锥的构造特点．图（3）是由一个三棱柱和一个底面与该三棱柱的上底面重合的三棱台构成的几何体，它有9个极点，8个面，15条棱，拥有三棱柱和三棱台的构造特点．【变式2】以以以下图（1）是由图（2）中的平面图形（）旋转获得的．【答案】A【总结升华】要作出一个平面图形绕某一条直线旋转一周所形成的几何体，一般是先作出这个平面图形的各极点（假如是半圆形，则取垂直于这条直线的半径的端点）对于这条直线的对称点