圆锥曲线的综合问题课件

理数课标版第十节圆锥曲线的综合问题理数第十节圆锥曲线的综合问题考点一定点、定值问题典例1

(2016北京,19,14分)已知椭圆C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求

证:|AN|·|BM|为定值.考点突破考点一定点、定值问题考点突破2解析(1)由题意得

解得a=2,b=1.所以椭圆C的方程为

+y2=1.(2)证明:由(1)知,A(2,0),B(0,1).设P(x0,y0),则

+4

=4.当x0≠0时,直线PA的方程为y=

(x-2).令x=0,得yM=-

,从而|BM|=|1-yM|=

.解析(1)由题意得 3直线PB的方程为y=

x+1.令y=0,得xN=-

,从而|AN|=|2-xN|=

.所以|AN|·|BM|=

·

=

=

=4.当x0=0时,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2,所以|AN|·|BM|=4.综上,|AN|·|BM|为定值.直线PB的方程为y= x+1.综上,|AN|·|BM|为定值4方法技巧1.定点问题的常见解法(1)根据题意选择参数,建立一个含参数的直线系或曲线系方程,经过分

析、整理,对方程进行等价变形,以找出适合方程且与参数无关的坐标

(该坐标对应的点即为所求定点).(2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意.2.求定值问题常见的方法(1)从特殊情况入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.方法技巧2.求定值问题常见的方法51-1已知椭圆C:

+y2=1(a>1)的上顶点为A,右焦点为F,直线AF与圆M:(x-3)2+(y-1)2=3相切.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P,Q两点,且

·

=0,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.解析(1)圆M的圆心为(3,1),半径r=

.由题意知A(0,1),F(c,0),则直线AF的方程为

+y=1,即x+cy-c=0,由直线AF与圆M相切,得

=

,解得c2=2,所以a2=c2+1=3,1-1已知椭圆C: +y2=1(a>1)的上顶点为A,右焦6故椭圆C的标准方程为

+y2=1.(2)解法一:由

·

=0,知AP⊥AQ,从而直线AP与坐标轴不垂直,由A(0,1)可设直线AP的方程为y=kx+1(k≠0),则直线AQ的方程为y=-

x+1(k≠0).将y=kx+1代入椭圆C的方程

+y2=1中,整理,得(1+3k2)x2+6kx=0,解得x=0或x=-

,∴P

,即P

,故椭圆C的标准方程为 +y2=1.7将上面P的坐标中的k换成-

,得Q

.∴直线l的方程为y=

+

,化简得直线l的方程为y=

x-

,因此直线l过定点

.解法二:由

·

=0知AP⊥AQ,从而直线PQ与x轴不垂直,故可设直线l的方程为y=kx+t(t≠1),将其与椭圆方程联立得

将上面P的坐标中的k换成- ,将其与椭圆方程联立得 8消去y,整理得(1+3k2)x2+6ktx+3(t2-1)=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则

(*)由

·

=0,得

·

=(x1,y1-1)·(x2,y2-1)=(1+k2)x1x2+k(t-1)·(x1+x2)+(t-1)2=0,将(*)代入,得t=-

.∴直线l过定点

.消去y,整理得(1+3k2)x2+6ktx+3(t2-1)=9考点二最值与范围问题典例2

(2016课标全国Ⅱ,20,12分)已知椭圆E:

+

=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.解析(1)设M(x1,y1),则由题意知y1>0.当t=4时,E的方程为

+

=1,A(-2,0).

(1分)由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为

.因此直线AM的方程为y=x+2.

(2分)考点二最值与范围问题10将x=y-2代入

+

=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=

,所以y1=

.

(4分)因此△AMN的面积S△AMN=2×

×

×

=

.

(5分)(2)由题意,t>3,k>0,A(-

,0).将直线AM的方程y=k(x+

)代入

+

=1得(3+tk2)x2+2

·tk2x+t2k2-3t=0.

(7分)由x1·(-

)=

得x1=

,故|AM|=|x1+

|

=

.

(8分)由题设,直线AN的方程为y=-

(x+

),同理可得|AN|=

.

(9分)将x=y-2代入 + =1得7y2-12y=0.(2)由题意11由2|AM|=|AN|得

=

,即(k3-2)t=3k(2k-1).当k=

时上式不成立,因此t=

.

(10分)t>3等价于

=

<0,即

<0.

(11分)由此得

或

解得

<k<2.因此k的取值范围是(

,2).

(12分)由2|AM|=|AN|得 = ,即(k3-2)t=3k(2k12方法技巧圆锥曲线中的最值(范围)问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有

两种方法:一是几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几

何中的定理、性质等进行求解;二是代数法,即把要求最值(范围)的几何

量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数,然后利用函数方法、不等

式方法等进行求解.2-1

(2014北京文,19,14分)已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率;(2)设O为原点.若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB

长度的最小值.方法技巧13解析(1)由题意,知椭圆C的标准方程为

+

=1.所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=

.故椭圆C的离心率e=

=

.(2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x0≠0.因为OA⊥OB,所以

·

=0,即tx0+2y0=0,解得t=-

.又

+2

=4,所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=

+(y0-2)2=

+

+

+4解析(1)由题意,知椭圆C的标准方程为 + =1.14=

+

+

+4=

+

+4(0<

≤4).因为

+

≥4(0<

≤4),且当

=4时等号成立,所以|AB|2≥8.故线段AB长度的最小值为2

.= + + +415考点三圆锥曲线中的探索性问题典例3

(2015北京,19,14分)已知椭圆C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,点P(0,1)和点A(m,n)(m≠0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示);(2)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:y轴上是

否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明

理由.解析(1)由题意得

解得a2=2.故椭圆C的方程为

+y2=1.考点三圆锥曲线中的探索性问题16设M(xM,0).因为m≠0,所以-1<n<1.因为直线PA的方程为y-1=

x,所以xM=

,即M

.(2)存在.因为点B与点A关于x轴对称,所以B(m,-n).设N(xN,0),则xN=

.“存在点Q(0,yQ),使得∠OQM=∠ONQ”等价于“存在点Q(0,yQ),使得

=

”,即yQ满足

=|xM||xN|.因为xM=

,xN=

,

+n2=1,设M(xM,0).17所以

=|xM||xN|=

=2.所以yQ=

或yQ=-

.故在y轴上存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ.点Q的坐标为(0,

)或(0,-

).所以 =|xM||xN|= =2.18方法技巧(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”.其步骤如下:假设满足条件的

元素(点、直线、曲线或参数)存在,列出与该元素相关的方程(组),若方

程(组)有实数解,则元素存在,否则,元素不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题的常用方法.3-1在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,

)且斜率为k的直线l与椭圆

+y2=1有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围;(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B,是否存在常数k,

使得向量

+

与

共线?如果存在,求k的值;如果不存在,请说明理由.方法技巧19解析(1)由已知条件知,直线l的方程为y=kx+

,代入椭圆方程得

+(kx+

)2=1,整理得

x2+2

kx+1=0.

①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ=8k2-4

=4k2-2>0,解得k<-

或k>

.即k的取值范围为

∪

.解析(1)由已知条件知,直线l的方程为y=kx+ ,代入椭20(2)不存在.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则

+

=(x1+x2,y1+y2),由方程①知,x1+x2=-

.

②由(1)知y1+y2=k(x1+x2)+2

=-

+2

=

.

③由题意知A(

,0),B(0,1),所以

=(-

,1),所以

+

与

共线等价于x1+x2=-

(y1+y2),将②③代入上式,解得k=

.由(1)知k<-

或k>

,故不存在符合题意的常数k,使得

+

与

共线.(2)不存在.所以 + 与 共线等价于x1+x2=- (y121理数课标版第十节圆锥曲线的综合问题理数第十节圆锥曲线的综合问题考点一定点、定值问题典例1

(2016北京,19,14分)已知椭圆C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求

证:|AN|·|BM|为定值.考点突破考点一定点、定值问题考点突破23解析(1)由题意得

解得a=2,b=1.所以椭圆C的方程为

+y2=1.(2)证明:由(1)知,A(2,0),B(0,1).设P(x0,y0),则

+4

=4.当x0≠0时,直线PA的方程为y=

(x-2).令x=0,得yM=-

,从而|BM|=|1-yM|=

.解析(1)由题意得 24直线PB的方程为y=

x+1.令y=0,得xN=-

,从而|AN|=|2-xN|=

.所以|AN|·|BM|=

·

=

=

=4.当x0=0时,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2,所以|AN|·|BM|=4.综上,|AN|·|BM|为定值.直线PB的方程为y= x+1.综上,|AN|·|BM|为定值25方法技巧1.定点问题的常见解法(1)根据题意选择参数,建立一个含参数的直线系或曲线系方程,经过分

析、整理,对方程进行等价变形,以找出适合方程且与参数无关的坐标

(该坐标对应的点即为所求定点).(2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意.2.求定值问题常见的方法(1)从特殊情况入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.方法技巧2.求定值问题常见的方法261-1已知椭圆C:

+y2=1(a>1)的上顶点为A,右焦点为F,直线AF与圆M:(x-3)2+(y-1)2=3相切.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P,Q两点,且

·

=0,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.解析(1)圆M的圆心为(3,1),半径r=

.由题意知A(0,1),F(c,0),则直线AF的方程为

+y=1,即x+cy-c=0,由直线AF与圆M相切,得

=

,解得c2=2,所以a2=c2+1=3,1-1已知椭圆C: +y2=1(a>1)的上顶点为A,右焦27故椭圆C的标准方程为

+y2=1.(2)解法一:由

·

=0,知AP⊥AQ,从而直线AP与坐标轴不垂直,由A(0,1)可设直线AP的方程为y=kx+1(k≠0),则直线AQ的方程为y=-

x+1(k≠0).将y=kx+1代入椭圆C的方程

+y2=1中,整理,得(1+3k2)x2+6kx=0,解得x=0或x=-

,∴P

,即P

,故椭圆C的标准方程为 +y2=1.28将上面P的坐标中的k换成-

,得Q

.∴直线l的方程为y=

+

,化简得直线l的方程为y=

x-

,因此直线l过定点

.解法二:由

·

=0知AP⊥AQ,从而直线PQ与x轴不垂直,故可设直线l的方程为y=kx+t(t≠1),将其与椭圆方程联立得

将上面P的坐标中的k换成- ,将其与椭圆方程联立得 29消去y,整理得(1+3k2)x2+6ktx+3(t2-1)=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则

(*)由

·

=0,得

·

=(x1,y1-1)·(x2,y2-1)=(1+k2)x1x2+k(t-1)·(x1+x2)+(t-1)2=0,将(*)代入,得t=-

.∴直线l过定点

.消去y,整理得(1+3k2)x2+6ktx+3(t2-1)=30考点二最值与范围问题典例2

(2016课标全国Ⅱ,20,12分)已知椭圆E:

+

=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.解析(1)设M(x1,y1),则由题意知y1>0.当t=4时,E的方程为

+

=1,A(-2,0).

(1分)由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为

.因此直线AM的方程为y=x+2.

(2分)考点二最值与范围问题31将x=y-2代入

+

=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=

,所以y1=

.

(4分)因此△AMN的面积S△AMN=2×

×

×

=

.

(5分)(2)由题意,t>3,k>0,A(-

,0).将直线AM的方程y=k(x+

)代入

+

=1得(3+tk2)x2+2

·tk2x+t2k2-3t=0.

(7分)由x1·(-

)=

得x1=

,故|AM|=|x1+

|

=

.

(8分)由题设,直线AN的方程为y=-

(x+

),同理可得|AN|=

.

(9分)将x=y-2代入 + =1得7y2-12y=0.(2)由题意32由2|AM|=|AN|得

=

,即(k3-2)t=3k(2k-1).当k=

时上式不成立,因此t=

.

(10分)t>3等价于

=

<0,即

<0.

(11分)由此得

或

解得

<k<2.因此k的取值范围是(

,2).

(12分)由2|AM|=|AN|得 = ,即(k3-2)t=3k(2k33方法技巧圆锥曲线中的最值(范围)问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有

两种方法:一是几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几

何中的定理、性质等进行求解;二是代数法,即把要求最值(范围)的几何

量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数,然后利用函数方法、不等

式方法等进行求解.2-1

(2014北京文,19,14分)已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率;(2)设O为原点.若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB

长度的最小值.方法技巧34解析(1)由题意,知椭圆C的标准方程为

+

=1.所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=

.故椭圆C的离心率e=

=

.(2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x0≠0.因为OA⊥OB,所以

·

=0,即tx0+2y0=0,解得t=-

.又

+2

=4,所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=

+(y0-2)2=

+

+

+4解析(1)由题意,知椭圆C的标准方程为 + =1.35=

+

+

+4=

+

+4(0<

≤4).因为

+

≥4(0<

≤4),且当

=4时等号成立,所以|AB|2≥8.故线段AB长度的最小值为2

.= + + +436考点三圆锥曲线中的探索性问题典例3

(2015北京,19,14分)已知椭圆C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,点P(0,1)和点A(m,n)(m≠0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示);(2)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:y轴上是

否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明

理由.解析(1)由题意得

解得a2=2.故椭圆C的方程为

+y2=1.考点三圆锥曲线中的探索性问题37设M(xM,0).因为m≠0,所以-1<n<1.因为直线PA的方程为y-1=

x,所以xM=

,即M

.(2)存在.因为点B与点A关于x轴对称,所以B(m,-n).设N(xN,0),则xN=

.“存在点Q(0,yQ),使得∠OQM=∠ONQ”等价于“存在点Q(0,yQ),使得

=

”,即yQ满足

=|xM||xN|.