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文档简介

2023年高考数学模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设函数,则函数的图像可能为()A. B. C. D.2.下列函数中,值域为R且为奇函数的是()A. B. C. D.3.已知,,且是的充分不必要条件,则的取值范围是()A. B. C. D.4.某校为提高新入聘教师的教学水平,实行“老带新”的师徒结对指导形式,要求每位老教师都有徒弟,每位新教师都有一位老教师指导,现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师,则不同的师徒结对方式共有()种.A.360 B.240 C.150 D.1205.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B. C. D.6.函数的图像大致为().A. B.C. D.7.函数,,的部分图象如图所示,则函数表达式为()A. B.C. D.8.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题,叫做“物不知数”,原文如下:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何?现有这样一个相关的问题:将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列,构成一个数列,则该数列各项之和为()A.56383 B.57171 C.59189 D.612429.一个封闭的棱长为2的正方体容器,当水平放置时,如图,水面的高度正好为棱长的一半.若将该正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转,则容器里水面的最大高度为()A. B. C. D.10.已知命题:R,;命题:R,,则下列命题中为真命题的是()A. B. C. D.11.已知命题:任意,都有;命题:,则有.则下列命题为真命题的是()A. B. C. D.12.当输入的实数时,执行如图所示的程序框图,则输出的不小于103的概率是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若正三棱柱的所有棱长均为2,点为侧棱上任意一点,则四棱锥的体积为__________.14.已知函数,若,则的取值范围是__15.的展开式中项的系数为_______.16.在平面直角坐标系中,若双曲线(,)的离心率为,则该双曲线的渐近线方程为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知点P在抛物线上,且点P的横坐标为2,以P为圆心,为半径的圆(O为原点),与抛物线C的准线交于M,N两点,且.(1)求抛物线C的方程;(2)若抛物线的准线与y轴的交点为H.过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A,B,且,求的值.18.(12分)已知在中,角、、的对边分别为,,,,.(1)若,求的值;(2)若,求的面积.19.(12分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)设的最小值为,正数,满足,证明:.20.(12分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若函数的定义域为,求实数的取值范围.21.(12分)已知函数.(1)若在上是减函数,求实数的最大值;(2)若,求证:.22.(10分)已知函数.(1)求函数的零点;(2)设函数的图象与函数的图象交于,两点,求证:;(3)若,且不等式对一切正实数x恒成立,求k的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】

根据函数为偶函数排除,再计算排除得到答案.【详解】定义域为:,函数为偶函数,排除,排除故选【点睛】本题考查了函数图像,通过函数的单调性,奇偶性,特殊值排除选项是常用的技巧.2.C【解析】

依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.【详解】A.,值域为,非奇非偶函数,排除;B.,值域为,奇函数,排除;C.,值域为,奇函数,满足;D.,值域为,非奇非偶函数,排除;故选:.【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性,意在考查学生对于函数知识的综合应用.3.D【解析】

“是的充分不必要条件”等价于“是的充分不必要条件”,即中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集.【详解】由题意知:可化简为,,所以中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集,所以.【点睛】利用原命题与其逆否命题的等价性,对是的充分不必要条件进行命题转换,使问题易于求解.4.C【解析】

可分成两类,一类是3个新教师与一个老教师结对,其他一新一老结对,第二类两个老教师各带两个新教师,一个老教师带一个新教师,分别计算后相加即可.【详解】分成两类,一类是3个新教师与同一个老教师结对,有种结对结对方式,第二类两个老教师各带两个新教师,有.∴共有结对方式60+90=150种.故选:C.【点睛】本题考查排列组合的综合应用.解题关键确定怎样完成新老教师结对这个事情,是先分类还是先分步,确定方法后再计数.本题中有一个平均分组问题.计数时容易出错.两组中每组中人数都是2,因此方法数为.5.A【解析】

利用已知条件画出几何体的直观图,然后求解几何体的体积.【详解】几何体的三视图的直观图如图所示,则该几何体的体积为:.故选:.【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积,判断几何体的形状是解题的关键.6.A【解析】

本题采用排除法:由排除选项D;根据特殊值排除选项C;由,且无限接近于0时,排除选项B;【详解】对于选项D:由题意可得,令函数,则,;即.故选项D排除;对于选项C:因为,故选项C排除;对于选项B:当,且无限接近于0时,接近于,,此时.故选项B排除;故选项:A【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.7.A【解析】

根据图像的最值求出,由周期求出,可得,再代入特殊点求出,化简即得所求.【详解】由图像知,,,解得,因为函数过点,所以,,即,解得,因为,所以,.故选:A【点睛】本题考查根据图像求正弦型函数的解析式,三角函数诱导公式,属于基础题.8.C【解析】

根据“被5除余3且被7除余2的正整数”,可得这些数构成等差数列,然后根据等差数列的前项和公式,可得结果.【详解】被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23,公差为的等差数列,记数列则令,解得.故该数列各项之和为.故选:C.【点睛】本题考查等差数列的应用,属基础题。9.B【解析】

根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半,由此得到结论.【详解】正方体的面对角线长为,又水的体积是正方体体积的一半,且正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转,所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半,即最大水面高度为,故选B.【点睛】本题考查了正方体的几何特征,考查了空间想象能力,属于基础题.10.B【解析】

根据,可知命题的真假,然后对取值,可得命题的真假,最后根据真值表,可得结果.【详解】对命题:可知,所以R,故命题为假命题命题:取,可知所以R,故命题为真命题所以为真命题故选:B【点睛】本题主要考查对命题真假的判断以及真值表的应用,识记真值表,属基础题.11.B【解析】

先分别判断命题真假,再由复合命题的真假性,即可得出结论.【详解】为真命题;命题是假命题,比如当,或时,则不成立.则,,均为假.故选:B【点睛】本题考查复合命题的真假性,判断简单命题的真假是解题的关键,属于基础题.12.A【解析】

根据循环结构的运行,直至不满足条件退出循环体,求出的范围,利用几何概型概率公式,即可求出结论.【详解】程序框图共运行3次,输出的的范围是,所以输出的不小于103的概率为.故选:A.【点睛】本题考查循环结构输出结果、几何概型的概率,模拟程序运行是解题的关键,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】

依题意得,再求点到平面的距离为点到直线的距离,用公式所以即可得出答案.【详解】解:正三棱柱的所有棱长均为2,则,点到平面的距离为点到直线的距离所以,所以.故答案为:【点睛】本题考查椎体的体积公式,考查运算能力,是基础题.14.【解析】

根据分段函数的性质,即可求出的取值范围.【详解】当时,,,当时,,所以,故的取值范围是.故答案为:.【点睛】本题考查分段函数的性质,已知分段函数解析式求参数范围,还涉及对数和指数的运算,属于基础题.15.40【解析】

根据二项定理展开式,求得r的值,进而求得系数.【详解】根据二项定理展开式的通项式得所以,解得所以系数【点睛】本题考查了二项式定理的简单应用,属于基础题.16.【解析】

利用,解出,即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】,且,,,该双曲线的渐近线方程为:.故答案为:.【点睛】本题考查了双曲线离心率与渐近线方程,考查了双曲线基本量的关系,考查了运算能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)4【解析】

(1)将点P横坐标代入抛物线中求得点P的坐标,利用点P到准线的距离d和勾股定理列方程求出p的值即可;(2)设A、B点坐标以及直线AB的方程,代入抛物线方程,利用根与系数的关系,以及垂直关系,得出关系式,计算的值即可.【详解】(1)将点P横坐标代入中,求得,∴P(2,),,点P到准线的距离为,∴,∴,解得,∴,∴抛物线C的方程为:;(2)抛物线的焦点为F(0,1),准线方程为,;设,直线AB的方程为,代入抛物线方程可得,∴,…①由,可得,又,,∴,∴,即,∴,…②把①代入②得,,则.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,以及抛物线与圆的方程应用问题,考查转化思想以及计算能力,是中档题.18.(1)7(2)14【解析】

(1)在中,,可得,结合正弦定理,即可求得答案;(2)根据余弦定理和三角形面积公式,即可求得答案.【详解】(1)在中,,,,,,.(2),,,解得,.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理解三角形,解题关键是掌握正弦定理边化角,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.19.(1)(2)证明见解析【解析】

(1)将表示为分段函数的形式,由此求得不等式的解集.(2)利用绝对值三角不等式求得的最小值,利用分析法,结合基本不等式,证得不等式成立.【详解】(1),不等式,即或或,即有或或,所以所求不等式的解集为.(2),,因为,,所以要证,只需证,即证,因为,所以只要证,即证,即证,因为,所以只需证,因为,所以成立,所以.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法,考查分析法证明不等式,考查基本不等式的运用,属于中档题.20.(1)(2)【解析】

(1)分类讨论,去掉绝对值,化为与之等价的三个不等式组,求得每个不等式组的解集,再取并集即可.(2)要使函数的定义域为R,只要的最小值大于0即可,根据绝对值不等式的性质求得最小值即可得到答案.【详解】(1)不等式或或,解得或,即x>0,所以原不等式的解集为.(2)要使函数的定义域为R,只要的最小值大于0即可,又,当且仅当时取等,只需最小值,即.所以实数a的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法,考查利用绝对值三角不等式求最值,属基础题.21.(1)(2)详见解析【解析】

(1),在上,因为是减函数,所以恒成立,即恒成立,只需.令,,则,因为,所以.所以在上是增函数,所以,所以,解得.所以实数的最大值为.(2),.令,则,根据题意知,所以在上是增函数.又因为,当从正方向趋近于0时,趋近于,趋近于1,所以,所以存在,使,即,,所以对任意,,即,所以在上是减函数;对任意,,即,所以在上是增函数,所以当时,取得最小值,最小值为.由于,,则,当且仅当,即时取等号,所以当时,.22.(1)x=1(2)证明见解析(3)【解析】

(1)令,根据导函数确定函数的单调区间,求出极小值,进而求解;(2)转化思想,要证,即证,即证,构造函数进而求证;(3)不等式对一切正实数恒成立,,设,分类讨论进而求解.【详解】解:(1)令,所以,当时,,在上单调递增;当时,,在单调递减;所以,所以的零

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