定积分的换元法和分部积分法解析课件

第三节定积分的换元法和分部积分法内容提要一、定积分的换元法二、定积分分部积分法三、定积分的常用公式第三节定积分的换元法和分部积分法内容提要一、定积分的换元法1重点、难点：定积分的换元法和分部积分法教学方法：讲练结合教学手段：多媒体课件和面授相结合教学课时：6课时重点、难点：定积分的换元法和分部积分法教学方法：讲练结合教学2指导思想：由牛顿—莱布尼兹公式，求解只要利用不定积分，先求出的一个原函数，再求出即可。我们知道，某些不定积分的求解过程还是很复杂或烦繁琐的，有必要找到一个简单一些的计算方法，定积分的换元法和分部积分法，就是在不定积分的换元法和分部积分法的基础上，简化了的计算方法。指导思想：由牛顿—莱布尼兹公式，求解3定理：设函数在区间上连续，变换满足：（1）（2）在区间上，单调且有连续的导数，则有上式称为定积分的换元公式一、定积分的换元法定理：设函数在区间上连续4证明：在上连续 的原函数存在，设为则有由牛顿莱布尼兹公式又在上单调，故在上有定义，且所以也是的一个原函数由牛顿—莱布尼兹公式，有

因此证明：在5例1、计算解：设，则当时，当时；当t从1变到2时，单调地从0变到3，于是由定积分的换元公式，得

例1、计算6由例1可见，不定积分的换元法与定积分的换元法的区别在于：不定积分的换元法在求得关于新变量t的积分后，必须代回原变量x，而定积分的换元法在积分变量由x换成t的同时，其积分限也由和相应地换成和，在完成关于变量t的积分后，直接用t的上下限和代入计算定积分的值，而不必代回原变量。由例1可见，不定积分的换元法与定积分的换元法的区别在7例2、求解：设当时，；时，于是例2、求8例3、设求解：设则当时；当时，于是

换元公式也可以反过来使用，即这时通常不写出中间变量t，而写作注意这里积分上下限不作变换，计算更为简便。例3、设9例4求解可见，这种计算方法对应于不定积分的第一换元法，即凑微分法。例4求10二、定积分的分部积分法设u(x)和v(x)在区间[a,b]上有连续的导数，由微分运算法则，有

移项得两边在区间[a,b]上积分，得因

或上述公式称为定积分的分部积分公式。二、定积分的分部积分法11例5

求解可见，定积分的分部积分法，本质上是先利用不定积分的分部积分法求出原函数，再用牛顿—莱布尼兹公式求得结果，这两者的差别在于定积分经分部积分后，积出部分就代入上、下限，即积出一步代一步，不必等到最后一起代。例5

求12例6

求定积分解例7求定积分解先换元，设则dx=2udu,当u=0时，x=0,u=1时，x=1.于是，

例6

求定积分例13三、定积分的几个常用公式1．

设f(x)在关于原点对称的区间[-a,a],上可积，则（1）

当f(x)为奇函数时，（2）当f(x)为偶函数时，证由定积分的性质3，有对积分则dx=-dt,当x=-a时，t=a,当x=0时t=0,于是从从而当f(x)为奇函数时，f(-x)+f(x)=0,因此当f(x)为偶函数时，f(-x)=f(x)，得三、定积分的几个常用公式14例8

计算下列定积分（1）（2）解（1）因为f(x)=sin7x在上为奇函数，所以(2)在中，令f(x)=，因为

f(-x)=所以f(x)在上为奇函数，于是例8

计算下列定积分所以f(x)在152、设f(x)是以T为周期的周期函数，且可积，则对任一实数a，有证由定积分性质3，有对右边第三个积分，x=t+T,并注意到f(t+T)=f(t),得于是

2、设f(x)是以T为周期的周期函数，且可积，则对任一实数a16例9求解函数sin2x是以为周期的周期函数，故

例9求17第三节定积分的换元法和分部积分法内容提要一、定积分的换元法二、定积分分部积分法三、定积分的常用公式第三节定积分的换元法和分部积分法内容提要一、定积分的换元法18重点、难点：定积分的换元法和分部积分法教学方法：讲练结合教学手段：多媒体课件和面授相结合教学课时：6课时重点、难点：定积分的换元法和分部积分法教学方法：讲练结合教学19指导思想：由牛顿—莱布尼兹公式，求解只要利用不定积分，先求出的一个原函数，再求出即可。我们知道，某些不定积分的求解过程还是很复杂或烦繁琐的，有必要找到一个简单一些的计算方法，定积分的换元法和分部积分法，就是在不定积分的换元法和分部积分法的基础上，简化了的计算方法。指导思想：由牛顿—莱布尼兹公式，求解20定理：设函数在区间上连续，变换满足：（1）（2）在区间上，单调且有连续的导数，则有上式称为定积分的换元公式一、定积分的换元法定理：设函数在区间上连续21证明：在上连续 的原函数存在，设为则有由牛顿莱布尼兹公式又在上单调，故在上有定义，且所以也是的一个原函数由牛顿—莱布尼兹公式，有

因此证明：在22例1、计算解：设，则当时，当时；当t从1变到2时，单调地从0变到3，于是由定积分的换元公式，得

例1、计算23由例1可见，不定积分的换元法与定积分的换元法的区别在于：不定积分的换元法在求得关于新变量t的积分后，必须代回原变量x，而定积分的换元法在积分变量由x换成t的同时，其积分限也由和相应地换成和，在完成关于变量t的积分后，直接用t的上下限和代入计算定积分的值，而不必代回原变量。由例1可见，不定积分的换元法与定积分的换元法的区别在24例2、求解：设当时，；时，于是例2、求25例3、设求解：设则当时；当时，于是

换元公式也可以反过来使用，即这时通常不写出中间变量t，而写作注意这里积分上下限不作变换，计算更为简便。例3、设26例4求解可见，这种计算方法对应于不定积分的第一换元法，即凑微分法。例4求27二、定积分的分部积分法设u(x)和v(x)在区间[a,b]上有连续的导数，由微分运算法则，有

移项得两边在区间[a,b]上积分，得因

或上述公式称为定积分的分部积分公式。二、定积分的分部积分法28例5

求解可见，定积分的分部积分法，本质上是先利用不定积分的分部积分法求出原函数，再用牛顿—莱布尼兹公式求得结果，这两者的差别在于定积分经分部积分后，积出部分就代入上、下限，即积出一步代一步，不必等到最后一起代。例5

求29例6

求定积分解例7求定积分解先换元，设则dx=2udu,当u=0时，x=0,u=1时，x=1.于是，

例6

求定积分例30三、定积分的几个常用公式1．

设f(x)在关于原点对称的区间[-a,a],上可积，则（1）

当f(x)为奇函数时，（2）当f(x)为偶函数时，证由定积分的性质3，有对积分