湘教版九年级数学下册全一套课件

二次函数第1章二次函数本课内容本节内容1.1学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆墙围成一个矩形植物园，如下图所示.已知篱笆墙的总长度为100m，设与围墙相邻的一面篱笆墙的长度为xm，那么矩形植物园的面积S（m2）与x之间有何关系？xm动脑筋

设与围墙相邻的一面篱笆墙的长度为xm，则与围墙相对的一面篱笆墙的长度为(100-2x)m.于是矩形植物园的面积S与x之间有如下关系：即S=x(100-2x)，

0＜x＜50，S=-2x2+100x，0＜x＜50.

①xm①式表示植物园面积S与围墙相邻的一面篱笆墙长度x

之间的关系，而且对于x

的每一个取值，S都有唯一确定的值与它对应，即S是x

的函数.S=-2x2+100x，0＜x＜50.为什么有0<x<50？xm动脑筋

某种型号的电脑两年前的销售价为6000元，现降价销售，如果每年的平均降价率为x，怎样用x来表示该型号电脑现在的售价y（元）？笔记本电脑每次降价后的售价都是降价前的(1-x)倍，我们容易得到售价y与平均降价率x之间有如下的关系：y=6000(1-x)2，

0＜x＜1，即

y=6000x2-12000x+6000，0＜x＜1.

②

②式表示两年后的售价y与平均降价率x之间的关系，而且对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与它对应，即y是x的函数.y=6000x2-12000x+6000，0＜x＜1.说一说①式与②式有什么共同点？它们与一次函数的表达式有什么不同？S=-2x2+100x，0＜x＜50.y=6000x2-12000x+6000，0＜x＜1.

像①、②式那样，如果函数的表达式是自变量的二次多项式，那么，这样的函数称为二次函数，它的一般形式是y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0).

其中x是自变量，a，b，c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.

二次函数的自变量的取值范围是所有实数.但是对于实际问题中的二次函数，它的自变量的取值范围会有一些限制.例如，上面第一个例子中，0＜x＜50，在第二个例子中，0＜x＜1.

如下图，一块矩形木板，长为120cm、宽为80cm，在木板4个角上各截去边长为x（cm）的正方形，求余下面积S（cm2）与x之间的函数表达式.举例例解

木板余下面积S与截去正方形边长x有如下

函数关系：

S=120×80-4×x2=-4x2+9600，0＜x≤40.分析

本问题中的数量关系是：

木板余下面积=矩形面积-截去面积.写出下列函数的表达式，并且指出它们中哪些是二次函数，哪些是一次函数，哪些是反比例函数.练习答：S=x2.（1）正方形的面积S关于它的边长x的函数；答：C=2πr.（2）圆的周长C关于它的半径r的函数；（3）圆的面积S关于它的半径r的函数；（4）当菱形的面积S一定时，它的一条对角线

的长度y关于另一条对角线的长度x的函数.答：S=πr2.

其中(1)、(3)是二次函数，(2)是一次函数，(4)是反比例函数.结束二次函数本章内容第1章

二次函数本课内容本节内容1.1动脑筋

学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆墙围成一个矩形植物园，如图所示.已知篱笆墙的总长度为100m，设与围墙相邻的一面篱笆墙的长度为(m),那么矩形植物园的面积S（m2）与之间有何关系？探究

由于与围墙相邻的一面墙的长度为xm，则与围墙相对的一面篱笆墙的长度为

m，于是矩形植物园的面积S与x之间有如下关系：（100－2x）即为什么有此式表示了植物园的面积S与围墙相邻的一面墙的长度x之间的关系，而且对于x的每一个取值，S都有唯一确定的值与它对应，即S是x的函数.动脑筋某型号笔记本电脑两年前的销售价为6000元，现降价销售，若每年的平均降价率为x，怎样用x来表示该型号电脑现在的售价y（元）？解：笔记本电脑每次降价后的售价都是降价前的

倍，（1-x）于是我们得到售价y与平均降价率x之间有如下的关系：平均降价率x的取值范围是多少？即此式表示了两年后的售价y与平均降价率x之间的关系，而且对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与它对应，即y是x的函数.

①②①与②有什么共同点？它们与一次函数的表达式有什么不同？说一说结论如果函数的表达式是自变量的二次多项式，那么，这样的函数称为二次函数.它们的一般形式是其中x是自变量，

a、b、c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.（a、b、c是常数，a

≠0）注：二次函数的自变量取值范围是全体实数.但在实际问题中，它的自变量取值会有一些限制.想一想1.为什么规定a≠0?当a=0时，，为含有自变量的一次多项式，它不是二次函数.因此a≠0.2.b=0可以吗?当b=0时，,为含有自变量的二次多项式，它是二次函数，缺少了一次项.4.b=0，c=0可以吗?想一想3.c=0可以吗?当c=0时，,为含有自变量的二次多项式，它是二次函数，缺少了常数项.当b=0,c=0时，,为含有自变量的二次多项式，它是二次函数，缺少了一次项和常数项.所以a≠0，b、c可以是全体实数.举例例1下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数和常数项.

(1)

y=3(x－1)²+1

(2)s=3－2t²

(3)y=(x+3)²－x²(4)y=r²是.a=3,b=-6,c=4.是.a=-2,b=0,c=3.不是.是.a=,b=0,c=0.举例例2一块矩形木板，长120cm、宽为80cm，在木板四个角上各截去边长为x(cm)的正方形，求余下面积S(cm2)与x之间的函数表达式.

x分析：本题中的数量关系是木板余下面积=矩形面积-截去面积解：木板余下面积S与剪去正方形边长x有如下函数关系：x的取值范围是多少？练习函数y=(m+3)xm2－7m取什么值时,此函数是二次函数?

解：∵y是x的二次函数变：m取什么值时,此函数是一次函数?

∴∴

m=3

∵y是x的一次函数

∴∴

变：m取什么值时,此函数是反比例函数?

∵y是x的反比例函数

∴∴

练习2.写出下列函数的表达式，并指出哪些是二次函数，哪些是一次函数，哪些是反比例函数.（1）正方形的面积S关于它的边长x的函数.（2）圆的周长C关于它的半径r的函数.(3)圆的面积S关于它的半径r的函数.（4）当菱形的面积S一定时，它的一条对角线的

长度y关于另一条对角线的长度x的函数.小结与复习1.定义：如果函数的表达式是自变量的二次多项式，那么，这样的函数称为二次函数.2.一般形式：（a、b、c是常数，a

≠0）结束单位：北京市国子监中学姓名：王静二次函数本章内容第1章

二次函数的图象与性质本课内容本节内容1.2子目内容1.2.1二次函数y=ax2的图象与性质说一说(1)上节课学习了二次函数的概念，仿照一次函数和反比例函数的学习内容，接下来要研究二次函数的哪些问题？(2)用什么方法画出二次函数的图象？如何研究二次函数的性质？

从一次函数与反比例函数的学习来看，主要研究函数的概念、图象、性质及其应用．在上节课学习了二次函数的概念后，接下来主要研究它的图象和性质．

先要用描点法画出函数图象，再结合函数图象通过观察、归纳得出函数性质．探究画二次函数y=x2的图象（1）列表xy…-3-2-10123……9410149…问题①：在列表时对自变量x取这些值的理由是什么?列表之前要考虑自变量取值范围，自变量的选值要注意对称性.由解析式可以看出x可以取任意实数，不妨以0为中心，均匀选取一些便于计算的x的值．探究画二次函数y=x2的图象（1）列表xy…-3-2-10123……9410149…问题②：观察表格中的数据，你有什么发现？

y的值是非负数；自变量的取值互为相反数时，两函数值相等．问题①：在列表时对自变量x取这些值的理由是什么?探究画二次函数y=x2的图象（1）列表：xy…-3-2-10123……9410149…问题②：观察表格中的数据，你有什么发现？问题①：在列表时对自变量x取这些值的理由是什么?问题③：你能根据表格中的数据，描述一下函数y=x2图象的位置和大致形状吗？图象通过原点，分布在第一、二象限，图象关于y轴对称，在y轴左侧图象从左到右呈下降趋势，在y轴右侧图象从左到右呈上升趋势等．画二次函数y=x2的图象(2)描点：探究问题：观察左图，你能结合图象检

验刚才的猜测吗？A’AB’BC’C画二次函数y=x2的图象(2)描点：(3)连线：二次函数y=x2的图象具有哪些特征?函数具有哪些性质？探究图象特征顶点开口对称性函数性质增减性最值原点,是图象的最低点．开口向上．关于y轴对称．也可表示为：x<0时，y随x的增大而减小；

x>0时，y随x的增大而增大．x＝0时，函数y取最小值0．二次函数y=x2的图象特征和函数性质图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右升”．

图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而减小，简称为“左降”；一般地，当a＞0时，y=ax2的图象都具有上述性质．于是我们画y=ax2（a＞0）的图象时，可以先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分．在画右边部分时，只需“列表、描点、连线”三个步骤．结论举例例1画二次函数的图象．解因为二次函数的图象关于y轴对称，因此

列表时，自变量x可以从原点的横坐标0开始取值.列表举例例1画二次函数的图象．列表描点、连线先画出图象在y轴右边的部分．举例例1画二次函数的图象．列表描点、连线利用对称性，画出图象在y轴左边的对称点，并用一条光滑曲线把y轴左边的点和原点顺次连接起来，这样就得到了

的图象.练习在同一直角坐标系中画出二次函数y＝3x2及的图象，并比较它们的共同点与不同点.不同点：图象开口的大小不同，可以发现a>0时，a越大,图象开口越小．相同点：两函数图象顶点都是原点且是图象的最低点，开口都向上，都是轴对称图形，对称轴是y轴，在y轴左侧的函数值随自变量取值的增大而减小，在y轴右侧的函数值随自变量取值的增大而增大，x=0时，函数y取最小值0．结论图象特征顶点．开口对称性函数性质增减性最值原点,是图象的最低点．开口向上．关于y轴对称．也可表示为：x<0时，y随x的增大而减小；

x>0时，y随x的增大而增大．x＝0时，函数y取最小值0．二次函数y=ax2(a>0)的图象特征和函数性质图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右升”;图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而减小，简称为“左降”.a越大,抛物线开口越小．探究

我们已经会画的图象，能不能从它得出二次函数的图象呢？在的图象上任取一点

它关于x轴的对称点Q的坐标是.

从点Q的坐标看出，点Q在

的图象上．由此可知，的图象与的图象关于x轴对称.因此只要把的图象沿着x轴翻折并将图象“复制”出来，就可以得到

的图象.说一说

观察的图象，你能说说图象具有哪些特征，该函数具有哪些性质吗？图象特征顶点开口对称性函数性质增减性最值原点,是图象的最高点．开口向下．关于y轴对称．也可表示为：x<0时，y随x的增大而增大；

x>0时，y随x的增大而减小．x＝0时，函数y取最大值0．二次函数

的图象特征和函数性质图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而减小，简称为“右降”；图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“左升”.一般地，当a<0时，y=ax2的图象都具有上述性质．于是我们画y=ax2（a<0）的图象时，可以先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只需“列表、描点、连线”三个步骤．结论举例例2画二次函数的图象．解列表举例描点、连线画出图象在y轴右边的部分．利用对称性，画出图象在y轴左边的部分,这样就得到了

图象．

练习在同一直角坐标系中画出二次函数y＝-0.3x2及y＝-8x2的图象，并比较它们的共同点与不同点.不同点：图象开口的大小不同，可以发现a<0时，a越大,图象开口越大．相同点：两函数图象顶点都是原点且是图象的最高点，开口都向下，都是轴对称图形，对称轴是y轴，在y轴的左侧函数值随自变量取值的增大而增大，在y轴的右侧函数值随自变量取值的增大而减小，x＝0时，函数y取最大值0．结论图象特征顶点．开口对称性函数性质增减性最值原点,是图象的最高点．开口向下．关于y轴对称．也可表示为：x<0时，y随x的增大而增大；

x>0时，y随x的增大而减小．x＝0时，函数y取最大值0．二次函数y=ax2(a<0)的图象特征和函数性质图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而减小，简称为“右降”；图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“左升”.a越大,抛物线开口越大．在棒球赛场上，棒球在空中沿着一条曲线运动，它与二次函数y=ax2(a<0)的图象相像吗？说一说以棒球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x轴的正方向水平向右，y轴的正方向竖直向上，则可以看出棒球在空中经过的路线是形如y=ax2(a<0)的图象的一段．由此受到启发，我们把函数y=ax2的图象这样的曲线叫作抛物线（parabola），简称为抛物线y=ax2．实际上，二次函数的图象都是抛物线.结论意大利著名科学家伽利略将炮弹发射经过的路线命名为“抛物线”

.小知识联系实际，感受抛物线联系实际，感受抛物线练习1．函数y=3x2,当x＝

时，函数y取得最_____值，函数y的最＿＿值为＿＿＿＿；当x<0时，y随x的增大而＿＿＿＿，当x>0时，y随x的增大而＿＿＿＿．０小小０减小增大练习2．若二次函数y=ax2(a<0)的图象上有两点

(2,y1)，

(3,y2)，

则y1-y2

的值是（

）．

A.正数

B.负数

C.非正数

D.非负数A练习3．函数y=x2，，

y=-2x2的图象如图所示，请指出

三条抛物线的名称．答：①为抛物线，②为抛物线y=x2，③为抛物线y=-2x2．（1）本节课主要学习了哪些知识?小结与复习

y=ax2a>0a<0示意图图象特征顶点开口对称性函数性质增减性最值原点,是抛物线的最高点．抛物线开口向下．抛物线关于y轴对称．x<0时，y随x的增大而增大；x>0时，y随x的增大而减小．x＝0时，函数y取最大值0.原点,是抛物线的最低点．抛物线开口向上．抛物线关于y轴对称．x<0时，y随x的增大而减小；x>0时，y随x的增大而增大．x＝0时，函数y取最小值0.a越大,抛物线开口越小．a越大,抛物线开口越大．（3）接下来应该研究二次函数的哪些问题？（2）通过这节课你在思想方法上有什么收获?小结与复习返回结束单位：北京市第一六六中学姓名：孙梅二次函数本章内容第1章本课内容本节内容1.2

二次函数的图象与性质子目内容1.2.2二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质说一说二次函数y=ax2的图象具有哪些特征？函数具有哪些性质？问题y=ax2a>0a<0示意图图象特征顶点开口对称性函数性质增减性最值原点,是抛物线的最高点．开口向下．关于y轴对称．x<0时，y随x的增大而增大；x>0时，y随x的增大而减小．x＝0时，函数y取最大值0.原点,是抛物线的最低点．开口向上．关于y轴对称．x<0时，y随x的增大而减小；x>0时，y随x的增大而增大．x＝0时，函数y取最小值0.a越大,抛物线开口越小．a越大,抛物线开口越大．做一做画出二次函数

的图象，指出它具有哪些特征？函数具有哪些性质？二次函数抛物线E：图象特征顶点开口对称性函数性质增减性最值(0,0)开口向上关于y轴对称x<0时，y随x的增大而减小；x>0时，y随x的增大而增大．x＝0时，函数y取最小值0.把二次函数

的图象E向右平移一个单位得到图形F,指出图形F具有哪些特征？该函数具有哪些性质？问题二次函数抛物线F：图象特征顶点开口对称性函数性质增减性最值(1,0)开口向上．关于直线x=1对称．x<1时，y随x的增大而减小；x>1时，y随x的增大而增大．x＝1时，函数y取最小值0.?图形F是哪个函数的图象呢？问题..问题(1)在抛物线上任取一点,那么在向右平移１个单位后，点P的像点Q的坐标是什么？向右平移１个单位..问题(2)能否通过点Q的坐标推出图形F的函数表达式？设b=a+1,则a=b-1，向右平移１个单位二次函数抛物线E：抛物线F：图象特征顶点开口对称性函数性质增减性最值开口向上．关于直线x=1对称．x<1时，y随x的增大而增大；x>1时，y随x的增大而减小．x＝1时，函数y取最小值0.(0,0)开口向上．关于y轴对称．x<0时，y随x的增大而减小；x>0时，y随x的增大而增大．x＝0时，函数y取最小值0.(1,0)y=ax2h>0，向右平移|h|个单位h<0，向左平移|h|个单位顶点（0，0）顶点（h，0）顶点平移二次函数与图象之间的关系结论二次函数

图象特征和函数性质二次函数图象特征顶点开口对称性函数性质增减性最值开口向下．关于直线x=1对称．x<h时，y随x的增大而增大；x>h时，y随x的增大而减小．x＝h时，函数y取最大值0.(h,0)开口向上．x＝h时，函数y取最小值0.(h,0)a>0a<0关于直线x=1对称．x<h时，y随x的增大而减小；x>h时，y随x的增大而增大．结论我们已经知道了二次函数y=a(x-h)2的图象特征，因此今后在画y=a(x-h)2的图象时，只要先画出对称轴以及图象在对称轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分．举例例1

画函数y=(x-2)2

的图象解抛物线y=(x-2)2的对称轴是直线x=2，顶点坐标是(2,0)．列表：

自变量x从顶点的横坐标2开始取值．xy2345…0149…举例例1

画函数y=(x-2)2

的图象描点、连线：先画出图象在对称轴右边的部分，再利用对称性画出图象在对称轴左边的部分，这样就得到了y=(x-2)2的图象．练习1．抛物线的开口______，对称轴是_______，顶点坐标是______，它可以看作是由抛物线

向_______平移_______个单位得到的．2．抛物线，当x_______时，函数值y随x的增大而减小．当x=__时，函数取得最_____值是___．它可以看作是由抛物线

向_______平移_____

个单位得到的．左直线x=-1(-1,0)

向下1

<2

2

小0右2（1）由二次函数的图象如何得到的图象？问题向右平移1个单位顶点（0，0）顶点（1，0）（1）由二次函数的图象如何得到的图象？问题（2）还记得一次函数y=2x与y=2x+1的图象的关系吗？你能由此推测二次函数

与

的图象之间的关系吗？问题当自变量x取同一数值时，函数

和

的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？从上表看出：对于每一个给定的x值，函数的值都要比函数的值大3，由此可以得到：向上平移3个单位向上平移3个单位动脑筋（1）将二次函数的图象向下平移7个单位，得到的是哪个函数的图象？问题（2）二次函数与图象之间具有什么关系？二次函数

与的图象呢？y=a(x-h)2k>0，向上平移|k|个单位k<0，向下平移|k|个单位顶点（h，0）顶点（h，k）顶点平移结论二次函数与图象之间的关系y=ax2k>0，向上平移|k|个单位k<0，向下平移|k|个单位顶点（0，0）顶点（0，k）顶点平移二次函数与图象之间的关系结论练习1．抛物线的开口______，对称轴是_______，顶点坐标是______，它可以看作是由抛物线

向_______平移______个单位得到的．2．抛物线向上平移5个单位得到抛物线_________________________．向上y轴(0,-6)

下6问题如何由函数

的图象得到的图象？顶点（0，0）顶点（1，0）顶点（1，3）向右平移1个单位向上平移3个单位向上平移3个单位向右平移1个单位顶点（0，3）二次函数与图象之间的关系顶点（0，0）顶点（h，0）顶点（1，3）顶点（0，k）结论问题观察函数

的图象，指出它具有哪些特征？该函数具有哪些性质？二次函数抛物线：图象特征顶点开口对称性函数性质增减性最值开口向上．关于直线x=1对称．x＝1时，函数y取最小值3.(1,3)x<1时，y随x的增大而减小；x>1时，y随x的增大而增大．二次函数

图象特征和函数性质二次函数图象特征顶点开口对称性函数性质增减性最值开口向下．关于直线x=h对称．x＝h时，函数y取最大值k.(h,k)开口向上．x＝h时，函数y取最小值k.(h,k)a>0a<0关于直线x=h对称．x<h时，y随x的增大而减小；x>h时，y随x的增大而增大．结论x<h时，y随x的增大而增大；x>h时，y随x的增大而减小．结论画y=a(x-h)2+k的图象的步骤：第一步写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点；第二步列表（自变量x从顶点的横坐标开始取值），描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分；第三步利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分（这只要先把对称轴左边的对应点描出来，然后用一条光滑曲线顺次连接它们和顶点）．举例例2

画二次函数的图象．解对称轴是直线x=-1，顶点坐标是(-1,-3)．列表：

自变量x从顶点的横坐标-1开始取值．xy-10123…5-3-2.5-11.5…举例描点、连线：先画出图象在对称轴右边的部分，再利用对称性画出图象在对称轴左边的部分，这样就得到了函数的图象．例2

画二次函数的图象．举例例3

已知某抛物线的顶点坐标为（-2，1），且与y轴相交于点（0，4），求这个抛物线所表示的二次函数的表达式.解由于点（-2，1）是该抛物线的顶点，可设这个抛物

线所表示的二次函数的表达式为y=a(x+2)2+1.由函数图象过点（0，4），可得4＝a(0+2)2

+1，解得．

因此，所求的二次函数的表达式为练习1．抛物线的开口______，对称轴是___________，顶点坐标是______，它可以看作是由抛物线

先向_______平移______个单位，再向_______平移_____个单位得到的．2．抛物线向右平移0.5个单位，再向上平移2.5个单位得到抛物线_________________________．向下直线x=-9

(-9,-8)

下8左9练习4.一条抛物线的对称轴与

相同，其顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），这条抛物线的函数表达式是_____________________．3．抛物线当x_____时，函数值y随x的增大而增大，当x_____时，函数值y随x的增大而减小，当x=_____时，函数取得最_____值为_______．<1大7>11（1）二次函数y=a(x-h)2+k的图象具有哪些特征，函数具有哪些性质？问题小结与复习二次函数

图象特征和函数性质二次函数图象特征顶点开口对称性函数性质增减性最值开口向下．关于直线x=h对称．x＝h时，函数y取最大值k.(h,k)开口向上．x＝h时，函数y取最小值k.(h,k)a>0a<0关于直线x=h对称．x<h时，y随x的增大而减小；x>h时，y随x的增大而增大．结论x<h时，y随x的增大而增大；x>h时，y随x的增大而减小．（2）如何画出二次函数y=a(x-h)2+k的图象？问题小结与复习第一步写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点；第二步列表（自变量x从顶点的横坐标开始取值），描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分；第三步利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分（这只要先把对称轴左边的对应点描出来，然后用一条光滑曲线顺次连接它们和顶点）．（3）如何由二次函数y=ax2的图象得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象？问题小结与复习经过左右平移和上下平移得到，移动的路径主要看顶点的移动．数形结合的思想，由特殊到一般的研究方法，由函数图象观察得出函数性质这种研究函数的一般方法等等．问题小结与复习（4）通过本节课，你在思想方法上有哪些收获？中考试题例1（2013•淮安）二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是___________．

（0，1）例2（2013•北京）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式__________．y=x2+1等中考试题例3（2013•吉林省）如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y=-2(x-h)2+k，则下列结论正确的是（

）h＞0，k

＞0B.h＜0，

k＞0C.h

＜0，k＜0D.h＞0，

k＜0A中考试题例4（2013•济南）下列函数中，当x>0时，

y随x的增大而增大的是()A.B.C.D.

B中考试题例5（2013•泰安）对于抛物线y=（x+1）2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（-1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小.其中正确结论的个数为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

C中考试题例6（2013•毕节）将二次函数y=x2

的图像向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图像解析式为（

）A.B.C.D.

C结束单位：北京市第一六六中学姓名：孙梅二次函数本章内容第1章本课内容本节内容1.2

二次函数的图象与性质子目内容1.2.3二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质说一说（1）二次函数y=a(x-h)2+k的图象具有哪些特征，

函数具有哪些性质？问题二次函数

的图象特征和函数性质二次函数图象特征顶点开口对称性函数性质增减性最值开口向下．关于直线x=h对称．x=h时，函数y取最大值k.(h,k)开口向上．x=h时，函数y取最小值k.(h,k)a>0a<0关于直线x=h对称．x<h时，y随x的增大而减小；x>h时，y随x的增大而增大．结论x<h时，y随x的增大而增大；x>h时，y随x的增大而减小．说一说问题（2）如何画出二次函数y=a(x-h)2+k的图象？第一步写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点；第二步列表（自变量x从顶点的横坐标开始取值），描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分；第三步利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分（这只要先把对称轴左边的对应点描出来，然后用一条光滑曲线顺次连接它们和顶点）．

动脑筋如何画二次函数

y=-2x2+6x-1的图象?问题

由于我们已经会画y=a(x-h)2+k的图象了，因此只需把y=-2x2+6x-1配方成y=a(x-h)2+k的形式就可以了.

动脑筋如何画二次函数y=-2x2+6x-1的图象?问题配方：对称轴是直线，顶点坐标是．xy动脑筋如何画二次函数y=-2x2+6x-1的图象?问题……233-1列表：

自变量x从顶点的横坐标开始取值．描点、连线：先画出图象在对称轴右边的部分，再利用对称性画出图象在对称轴左边的部分，这样就得到了函数的图象．动脑筋问题如何画二次函数y=-2x2+6x-1的图象?说一说观察图象，当x

等于多少时，函数y=-2x2+6x-1的值最大？这个最大值是多少？问题

当x等于顶点的横坐标时，函数值最大，这个最大值等于顶点的纵坐标．结论二次函数y=ax2+bx+c

，当x等于顶点的横坐标时，达到最大值（a<0）或最小值（a>0），这个最大（小）值等于顶点的纵坐标．举例例1

求函数的最大值．解配方：顶点坐标是(2,1)

．所以当x=2时，y达到最大值1．

求最值，只要找到顶点坐标．说一说（1）对于二次函数y=ax2+bx+c，你能用字母系数a、

b

、c表示出图象的对称轴和顶点吗？问题对于二次函数配方：顶点坐标是当时，函数取得最值．（当a>0,函数取得最小值,当a<0时,函数取得最大值.）对于二次函数顶点．（1）对称轴：直线．结论二次函数y=ax2+bx+c

的对称轴和顶点坐标（公式）（2）顶点坐标：．说一说（2）确定二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴和顶点有哪些方法？问题结论确定二次函数y=ax2+bx+c

的对称轴和顶点坐标的方法.（2）公式法：对称轴：直线；顶点坐标：．（1）配方法：将二次函数y=ax2+bx+c配方成顶点式：y=a(x-h)2+k

．练习1.写出下列抛物线的开口方向,对称轴及顶点坐标,当x为何值时,y取得最大(小)值．并求出y的最值．练习1.写出下列抛物线的开口方向,对称轴及顶点坐标,当x为何值时,y取得最大(小)值．并求出y的最值．抛物线的开口向上,对称轴是直线，顶点坐标,当

时,y取得最小值．练习抛物线的开口向下,对称轴是直线，顶点坐标,当

时,y取得最大值．1.写出下列抛物线的开口方向,对称轴及顶点坐标,当x为何值时,y取得最大(小)值．并求出y的最值．练习抛物线的开口向下,对称轴是直线，顶点坐标,当

时,y取得最大值．1.写出下列抛物线的开口方向,对称轴及顶点坐标,当x为何值时,y取得最大(小)值．并求出y的最值．练习抛物线的开口向上,对称轴是直线，顶点坐标,当

时,y取得最小值．1.写出下列抛物线的开口方向,对称轴及顶点坐标,当x为何值时,y取得最大(小)值．并求出y的最值．练习2.(1)已知抛物线y=ax2+bx+c（a<0）过点A(-2,0),O(0,0),B(-3,y1),C(3,y2)四点，则y1与y2的大小关系是_________．(2)若A，B，C为二次函数y＝x2＋4x＋5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是__________．y1<y2y2<y1<y3练习

3.把抛物线_____________________向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线y＝x2－3x＋5．

y＝x2＋3x＋7小结与复习（2）如何画出二次函数y=ax2+bx+c的图象？（1）确定二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴和顶点有哪些方法？（3）通过本节课的学习，你在思想方法上有哪些收获？（2013•襄阳）二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，x1＜x2＜1，y1与y2的大小关系是（）中考试题例1B

A．y1≤y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1＞y2中考试题例2D（2013•南宁）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）A．图象关于直线x=1对称B．函数ax2+bx+c（a≠0）的最小值是-4C．﹣1和3是方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根D．当x＜1时，y随x的增大而增大结束单位：北京市第一六六中学姓名：孙梅二次函数的图象与性质本节内容1.2我们已经学习过用描点法画一次函数、反比例函数的图象，如何画一个二次函数的图象呢？探究列表：由于自变量x可以取任意实数，因此让x取

0和一些互为相反数的数，并且算出相应

的函数值，列成下表：x…-3-2-10123……9410149…描点：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，

相应的函数值为纵坐标，描出相应的点.如

下图所示.AA′B′BAA′B′B观察左图，点A和点A′，点B和点B′，…，它们有什么关系？取更多的点试试，你能得出函数y=x2的图象关于y轴对称吗？观察左图，y轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标有什么变化？y轴右边的所有点都具有纵坐标随着横坐标的增大而增大的特点吗？

可以证明y=x2的图象关于y轴对称；图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右升”.AA′B′B连线：根据上述分析，我们可以用一条光滑曲线把原点

和y轴右边各点顺次连接起来；然后利用对称性，

画出图象在y轴左边的部分(把y轴左边的点和原点

用一条光滑曲线顺次连接起来)，这样就得到了

的图象.如上图所示.

观察下图，函数

的图象除了上面已经知道的关于y轴对称和“右升”外，还有哪些性质？观察

图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而减小，简称为“左降”；当x=0时，函数值最小，最小值为0.从下图中可以看出，二次函数的图象是一条曲线，它的开口向上，对称轴与图象的交点是原点（0，0）；

一般地，当a＞0时，y=ax2的图象都具有上述性质.

于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分.

在画右边部分时，只需“列表、描点、连线”三个步骤.x0123…00.524.5…例1举例

画二次函数的图象.因为二次函数

的图象关于y轴对称，

因此列表时，自变量x可以从原点的横坐标0开始取值.

解列表：描点和连线：画出图象在y轴右边的部分.如下图所示：●●●●

利用对称性，画出图象在y轴左边的对称点，并用一条光滑曲线把y轴左边的点和原点顺次连接起来，这样就得到了的图象.如下图所示：●●●●●●●1.

二次函数y=6x2的性质有：练习（1）图象的对称轴是，对称轴与图象的交点是；（2）图象的开口向

；（3）图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而

；在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而

.上增大减小y轴

（0，0）2.在同一直角坐标系中画出二次函数y=3x2

及的图象，并比较它们有什么共同点和不同点？y=3x2答：∙∙∙∙∙∙∙∙通过比较以上图象可得出其相同点为：开口均向上；对称轴均为y轴；对称轴与图象的交点都是（0，0）；图象均是“左降”“右升”；当x=0时，函数值最小，为0.y=3x2∙∙∙∙∙∙∙∙探究

我们已经画出了

的图象，能不能从它得出二次函数

的图象呢？

在

的图象上任取一点

，它关于

x轴的对称点Q的坐标是

，如下图所示：

从点Q的坐标看出，点Q在

的图象上.Q

由此可知，

的图象与

的图象关于x轴对称，因此只要把

的图象沿着x轴翻折并将图象“复印”下来，就得到

的图象.

如下图中的绿色曲线：Q对称轴是

，对称轴与图象的交点是

；图象的开口向

，y轴O(0，0)下

观察下图，函数

的图像具有哪些性质？从图中可以看出，二次函数

的图象是一条曲线，观察

图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而

，简称为

；

图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而

，简称为

；当x=

时，函数值最

，减小右降增大左升0大0最值为．大

当a＜0时，y=ax2的图象都具有上述性质.

于是今后画y=ax2(a＜0)的图象时，可以直接先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分.

在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了.举例解

列表：例2

画二次函数

的图象.

x012340-1-4描点和连线：画出图象在y轴右边的部分.

利用对称性画出y轴左边的部分.这样我们得到了

的图象.说一说如下图所示，在棒球赛场上，棒球在空中沿着一条曲线运动，它与二次函数y=ax2(a＜0)的图象相像吗？

以棒球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x轴的正方向水平向右，y轴的正方向竖直向上，则可以看出棒球在空中经过的路线是形如y=ax2(a＜0)的图象的一段.由此受到启发，我们把二次函数y=ax2的图象这样的曲线叫作抛物线，简称为抛物线y=ax2.

一般地，二次函数y=ax2的图象关于y轴对称.

抛物线与它的对称轴的交点(0，0)叫做抛物线的顶点.（3）抛物线在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大

而

；在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值

的增大而

.1.画出二次函数y=-10x2的图象并填空：（1）抛物线的对称轴是

，顶点是

；

（2）抛物线的开口向

；y轴原点O(0，0)下减小增大练习

2.在同一直角坐标系中，分别画出函数

y=-0.3x2与y=-8x2的图象，并分别说出它们的共同点和不同点.解：共同点：均开口向下；对称轴均为y轴；对称轴与图象的交点是(0，0)；图象均是“左升”“右降”；当x=0时，函数值最大，为0；不同点：y=-8x2的图象开口比y=-0.3x2的图象开口小.探究

把二次函数的图象E向右平移1个单位，得到图形F，如下图所示：

由于平移不改变图形的形状和大小，因此图象E在向右平移1个单位后：原像像抛物线E：图象F也是抛物线E的顶点O(0，0)点O′(1，0)是F的顶点E有对称轴l(与y轴重合)直线l′(过点O′与y轴平行)是F的对称轴E开口向上F也开口向上

抛物线F是哪个函数的图象呢？

在抛物线

上任取一点

，它在向右平移1个单位后，点P的像点Q的坐标是什么？

把点P的横坐标a加上1，纵坐标不变，就得到像点Q的坐标为

记b=a+1，则a=b-1.

从而点Q的坐标为

，这表明：点Q在函数

的图象上.由此得出，抛物线F是函数

的图象.

从上面的过程可以说明：函数

的图象是抛物线F，它的开口向上，它的顶点是

，它的对称轴是过点

且平行于y轴的直线l′.直线l′是由横坐标为1的所有点组成的，我们把直线l′记做直线x=1.结论

二次函数y=a(x-h)2的图象是抛物线，它的对称轴是直线x=h，它的顶点坐标是(h，0).当a＞0时，抛物线的开口向上；当a＜0时，开口向下.类似地，我们可以证明下述结论：

由于我们已经知道了二次函数y=a(x-h)2的图象的性质，因此今后在画y=a(x-h)2的图象时，只要先画出对称轴以及图象在对称轴右边的部分，然后利用对称性，画出左边的部分.

在画图象的右边部分时，只需要“列表，描点，连线”三个步骤就可以了.举例解抛物线y=(x-2)2的对称轴是直线x=2，顶点坐标是(2，0).

x2345…y=(x-2)20149…例3画函数y=(x-2)2的图象.

列表：自变量x从顶点的横坐标2开始取值.

描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性画出图象在对称轴左边的部分:这样我们得到了函数y=(x-2)2的图象.如下图所示：y=(x-2)21.写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和开口方向.（1）

练习答：对称轴是直线x=5，顶点是(5，0)，开口向上.（2）y=-3(x+2)2答：对称轴是直线x=-2，顶点是(-2，0)，开口向下.2.分别画出二次函数

y=-(x-1)2，

的图象.解探究

如何画二次函数

的图象？

我们来探究二次函数

与

之间的关系.二次函数图象上的点横坐标x纵坐标yaa

从上表看出：对于每一个给定的x值，函数的值都要比函数

的值大3，由此可见函数的图象可由二次函数

的图象向上平移3个单位而得到（如下图）.

因此，二次函数

的图象也是抛物线，它的对称轴为直线x=1(与抛物线

的对称轴一样)，顶点坐标为(1，3)(它是由抛物线

的顶点(1，0)向上平移3个单位得到)，它的开口向上.结论

一般地，二次函数y=a(x-h)2+k的图象是抛物线，它具有下述性质：抛物线y=a(x-h)2+k对称轴顶点坐标开口方向图象上的点在对称轴的左边在对称轴的右边a＞0x=h(h，k)向上y

随x的增大而减小y

随x

的增大而增大a＜0x=h(h，k)向下y

随x

的增大而增大y

随x的增大而减小

由于我们已经知道了函数y=a(x-h)2+k的图象的性质，因此画y=a(x-h)2+k的图象的步骤如下：第一步

写出对称轴和顶点坐标，并且在平

面直角坐标系内画出对称轴，描出

顶点；第二步

列表(自变量x从顶点的横坐标开始取值)，

描点和连线，画出图象在对称轴右边的部

分；第三步

利用对称性，画出图象在对称轴左边的部

分(这只要先把对称轴左边的对应点描出

来，然后用一条光滑曲线顺次连接它们和

顶点).举例解对称轴是直线x=-1，顶点坐标为(-1，-3).x-10123…-3-2.5-11.55…列表：自变量x从顶点的横坐标-1开始取值.例4画二次函数

的图象.描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分.这样我们得到了函数

的图象.举例例5已知某抛物线的顶点坐标为（-2，1），且与y轴相交于点（0，4），求这个抛物线所表示的二次函数的表达式.

已知某抛物线的顶点坐标为（-2，1），且与y轴相交于点（0，4），求这个抛物线所表示的二次函数的表达式.

由函数图象过点（0，4），可得4=a(0+2)2+1，解由于点（-2，1）是该抛物线的顶点，可设这个抛物线所表示的二次函数的表达式为y=a(x+2)2+1.因此，所求的二次函数的表达式为解得1.说出下列二次函数的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向：答：对称轴为直线x=9，顶点(9，7)，开口向上.答：对称轴为直线x=-18，顶点(-18，-13)，开口向下.练习2.画二次函数

的图象.

●●●解：3.已知某抛物线的顶点坐标为(-3，2)，且经过点(-1，0)，求这个抛物线所表示的二次函数的表达式.由函数图象过点(-1，0)，可得0=a(-1+3)2+2，解:由于点(-3，2)是该抛物线的顶点，可设这个抛物线所表示的二次函数的表达式为y=a(x+3)2+2.解得因此，所求的二次函数的表达式为如何画二次函数y=-2x2+6x-1的图象？动脑筋我们已经会画y=a(x-h)2+k的图象.因此只需把-2x2+6x-1配方成-2(x-h)2+k的形式就可以了.配方：对称轴是直线，顶点坐标是

.x2