2023年高考数学一轮复习第七章立体几何与空间向量3空间点直线平面之间的位置关系练习含解析

空间点、直线、平面之间的位置关系考试要求1．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出决问题．知识梳理1．平面基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．2．“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．3．空间中直线与直线的位置关系共面直线 共面直线 平行直线，异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.4．空间中直线与平面的位置关系5．空间中平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．6．等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．7．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线，经过空间任一点O分别作直线′与′所成的角叫做异面直线ab1 (2)范围：0，2．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有一个公共点，就说相交于过A点的任意一条直线．(×)(2)(3)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合．(×)(4)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)教材改编题多)如图是一个正方体的展开图如果将它还原为正方体则下列说法正确的( )A．ABCDB．GHCD相交D．EFAB答案ABC解析把展开图还原成正方体，如图所示．还原后点G与C重合，点B与F重合，由图可知ABC正确，EF与AB相交，故D错2．如果直线平面直线平面且则a与)A．共面B．平行C．D．可能平行，也可能是异面直线答案D解析，说明a与b无公共点，∴a与b可能平行也可能是异面直线．3．如图，在三棱锥A－BCD分别是棱的中点，则2当满足条时，四边形EFGH为菱形；(2)当满足条时，四边形EFGH为正方形答案且解析(1)∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∵EF

1 1綉綉2 2∴AC＝BD．∵四边形EFGH为正方形，∵EF

1 1綉綉2 2题型一基本事实应用1BCD分别是D1111 1 1证：，F四点共面；1三线共点．1证明(1)如图所示，连接CD分别是1

1 1的中点，EF

1A＝1 21又∵ADD11 11∴四边形ABCD是平行四边形，1 1∴A，1 1 13∴EFCD1

能够确定一个平面ECD1，F四点共面．1(2)由，且EF

1CD，＝1 21∴四边形CDFE是梯形，1∴CEDF必相交，设交点为1，且1⊂平面⊂平面AADD，1 1 1∈平面∈平面AADD．1 1又∵平面AADD1 1∴P∈AD，三线共点．1教师备选BC

分别为DC

C∩EF＝Q．求证：

1111

11 11 11四点共面；若AC交平面DBFE于R点，则三点共线．1证明(1)∵EF是△DBC的中位线，D．

11111在正方体BCD中，BD∴EF∥BD．

1111 11确定一个平面，即四点共面．(2)在正方体BCD中，1111设平面AACC1 1平面BDEF为β．C114又Q∈EF，∴Q∈β，Qαβ是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ．A1 1∴R∈α，且R∈β，，故三点共线．思维升华共面、共线、共点问题的证明(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．1(1)分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图( )答案ABC解析对于点)一定在直线BD上一定在直线AC上在直线ACBD上不在直线AC上，也不在直线BD答案B解析如图所示，⊂⊂∈平面又因为平面∩平面5所以P∈AC．题型二空间线面位置关系命题点1空间位置关系的判断例2(1)下列推断中，错误的( )A．若则B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉α⇒重合答案C解析对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知M∈l，A对；，即C，若，则有D，有三个不共线的点在平面中，故重合，D(2)BC

ABCDBCC

的中心，则1111下列说法正确的( )

1111 11直线MN与直线AB是异面直线1直线MN与直线DD1直线MN与直线AC1

相交是异面直线直线MN与直线AC平行1答案C分别是长方形ABCD与长方形BCCB分别是AC，1111 11 11BC的中点，所以直线MN与直线AB平行，所以A1 1因为直线MN经过平面BBDD内一点，且点M不在直线DD上，11 1所以直线MN与直线DD1

是异面直线，所以B错误；因为直线MN经过平面ABC内一点，且点N不在直线AC上，所以直线MN与直线AC1

1 1是异面直线，所以C正确；MNACCMACMNAC是异1 1 1 1面直线，所以D错误．6命题点2异面直线所成角3(1)(2021·BC

中，PB

PBAD所成的角( )π π π A．2B．3C．4D．6

1111 11 1答案D解析方法一如图，连接CBCDPB

的中点，所以1 1111 11CD，又C，所以C⊥平面BBP平面B，所以CBC，则1 11 1 1 1 1 1 1 1AD∥BC，所以∠PBC为直线PBAD所成的角．设正方体BC

的棱长为2，1 1 1 1 1111Rt△CPB中，CP

1BD＝2，＝1 1 211＝1＝＝1＝BC＝22，sin∠PBC1所以∠PBCπ

1 BC211＝6．方法二如图所示，连接BC，则易知AD∥BC，所以直线PB

所成的角1 1 1 1 1 1 1PBBCPABCDBD的中点，易知A1 1111 11 1 1三点共线，且P为AC的中点．易知A＝ACBCBC11 1 1 11 1 1 1 1P A＝∠P A＝∠＝＝，又为 的中点，所以可得ABC ．3 11 1 2 1 1 6(2)(2022·SOACD为底面圆的两条直径A∩CA⊥C，SOOB

SE1，则异面直线SC与OE所成角的正切值( )＝＝3，

＝SB4722 5 13 112

D．16 3答案D解析如图，过点SABSCOE所成的角．SE1 1∵＝4 3OB

1OF ＝3，∴＝3∵SO⊥OC，SO＝OC＝3，2．∵SO，S＝S2＋O＝10．10．∴在等腰△SCF中，3210

2 11tan∠CSF＝322

＝3．教师备选1．(多设是三条不同的直线是两个不同的平面，则下列结论不正确是( )若⊂⊂ab是异面直线若a与b与c异面，则ac异面若不同在平面α内，则ab异面若不同在任何一个平面内，则ab答案ABC2．在长方体ABCDABCD＝3，则异面直线AD

所成角的余弦值为1111 1 1 1( )1 5 5 2A．B． C． D．5 6 5 2答案C8解析如图，连接BD，交DB于，取AB的中点，连接O为

的中点，所1 1 1ADMOD为异面直线AD与

所成角或其补角．因为在长方体BCD中，1 1 1AB＝BC＝1，AA＝3，1

1111AD＝A2＋D2＝2，1 11 522D＝ A2A2＝ ，22DB＝A2＋A2＋B2＝5．1 1OM1 1 5所以 ＝ADDB＝ ，21 21 2于是在△DMO中，由余弦定理， 5 512

5

2 5＝5，2×1×2即异面直线AD

与

5所成角的余弦值为1 1 5．思维升华(1断，常借助正方体为模型．(2)求异面直线所成的角的三个步骤一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．二证：证明作出的角是异面直线所成的角．三求：解三角形，求出所作的角．2(1分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH与MN是异面直线的图形填序)答案②④(2)若直线l和l1 2

是异面直线，l1

在平面α2

在平面β是平面α与平面β的交9线，则下列结论正确的( )A．ll，l都不相交1 2B．ll，l都相交1 2C．l至多与l，l中的一条相交1 2D．l至少与l，l中的一条相交1 2答案D1，ll1 2

是异面直线，l1

l平行，l2

l1l，ll相交，故C2 1 2图1 图2题型三空间几何体的切割(截面)问题4(1)在正方体BC

分别是棱

BB

1MD DD

1NB BB，1111

上的点，＝1 1

，＝1 31那么正方体中过M，N，C1C．答案C

的截面图形( )D．解析先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点．如图，设直线CCPQAD1 1AB于点，则五边形CMEFN为所求截面图形．1(2)已知正方体BC

2．以

为球心，5为半径的球面与侧面BCCB的交线长π答案 2

1111 1 11

为球心，5为半径的球面与侧面BCCB的交线是以C1BCCB

11 11 π相交的一段弧(圆周的四分之一)，其长度为×2π×1＝．11 4 210延伸探究将本例(2)中正方体改为直四棱柱BCD以1111D为球心，5为半径的球面与侧面BCCB的交线长．1 112π答案 2解析如图，设BC的中点为，球面与棱BB

的交点分别为P，Q，11 1 1B，D11 1 1ABD为等边三角形，∴DB11∴△DBC为等边三角形，111D3D⊥平面BCCB，1 1 11∴E为球面截侧面BCCB所得截面圆的圆心，11设截面圆的半径为r，则＝2－D＝5－＝2．球 1又由题意可得2，∴球面与侧面BCCB的交线为以E为圆心的圆弧11又D5，1∴B＝D2－D2＝1，1 1 11C1分别为BB

的中点，1 1∴∠PEQπ＝2，︵ π 2π 2π知2×2＝2，即交线长为2．教师备选如图，在正方体BCD中，EBC的中点，平面α经过直线BD且与直线CE平行，1111 1若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积．119答案2BEB

MBD的平行线，交C

于点N，连接1 11 11DN，则平面BDNM即为符合条件的平面α，由图可知分别为BC，CD的中点，11 11故BD＝22，MN＝2，且BM＝DN＝5，∴等腰梯形MNDB的高为 2 32＝ 52 2＝ ，2 2∴梯形MNDB的面积为1 32922×(2＋22)×2＝．2思维升华(1线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．(2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．3(1)(多选)正方体BCDα截此1正方体所得截面的判断正确的( A．截面形状可能为正三角形B．截面形状可能为正方形C．截面形状可能为正六边形

111 1D．3答案ACD解析易知A，C正确，B不正确，下面说明D正确，2，12 2 6O＝O′＋＝ 1 2＝ ，2 2S 1 6所以＝2××(2＋22)× ＝32 2故D正确．(2)(2022·兰州模拟)如图，正方体AC1，MAD上，A，过M的平1 11 1 1面α与平面ABC平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为1 1 ．答案32解析在平面ADDA中寻找与平面ABC平行的直线时，只需要，如图所示，11 1 1 1因为AD的三等分点处，故可得截面为1 1 1MIHGFE，设正方体的棱长为则所以截面MIHGFE的周长为又因为正方体AC1，132．课时精练下列叙述错误的( )若13若直线，则直线ab能确定一个平面三点确定一个平面若⊂α答案C解析选项A，点P是两平面的公共点，当然在交线上，故正确；选项B，由基本事实的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确；选项C，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误；选项D，由基本事实2，直线上有两点在一个平面内，则这条直线在平面内．已知是两条不同的直线是两个不同的平面，则下列判断正确的( A．若则直线m与n可能相交或异面若⊂⊂，则直线mn一定平行若mn一定垂直若mn答案A解析是两个不同的平面，A，若mn相交垂直或异面垂直，故AB，若⊂⊂，则直线mn相交、平行或异面，故BC，若mn相交、平行或异面，故CD，若mn平行或异面，故D3．(2022·营口模)已知空间中不过同一点的三条直线则两两相交是共面”( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．答案A解析空间中不过同一点的三条直线相交或在同一平面，则两两相交不一定成立；两两相交，则在同一平面成立．共面”的充分不必要条件．BCD是平面ADDA分别是BC，1111 11 11 1AB的中点，则下列说法正确的( )14MN1，且MNEF平行＝EF2MN1，且MNEF平行≠EF2MN1，且MNEF异面＝EF2MN1，且MNEF异面≠EF2答案D解析设正方体BC

的棱长为2a，1111则M＝M2＋C2＝1 1＝

2222E在平面ABCD内的射影点，连接所以E＝E2＋G＝＝

2a 2

2a2MN

1EF，故选项A，C错误；≠2E为平面ADD

的中心，DE

111A＝21又因为分别为BC，CC的中点，所以11 1 1又因为B，所以1 1且DE∩EF＝E，MN与EF异面，故选项B5．(多选)(2022·临沂模拟)如图，在正方体BC

中，ODB的中点，直线AC交平面CBD于点则下列结论正确的( )1

1111 115A．C三点共线1B．C四点共面1C．C，B四点共面1 1D．D四点共面1答案AB⊂平面ACCA，11∈平面ACCA．11⊂平面C1∈平面C1∴O是平面ACCA

和平面CBDM

都是平面ACC

和平面CBD的11 1公共点，∴三点C在平面CBD与平面ACC

的交线上，

1 11 11 1 11C三点共线，故A，B1根据异面直线的判定定理可得BBCO为异面直线，故C四点不共面，故C1 1 1 1确；根据异面直线的判定定理可得DD1

MO为异面直线，故D四点不共面，故D1确．6．(多选)(2022·厦门模)下列说法不正确的( )A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面B．和同一条直线异面的两直线一定共面C．与两异面直线分别相交的两直线一定不平行D．一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相答案ABD解析两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，故A错误；1，直线DDBC都是直线AB的异面直线，同样DD与B

也是异面直线，故B错误；1 11 1 112，ABCDACBD一定不平行，否则AC与BD，则，所以，所以⊂CAA1

AB相交，但与直线CD不相交，故D16图1 图27．(2022·BC＝1，111 1则异面直线AB1

与BC1

所成角的余弦值．10答案 5解析如图所示，补成直四棱柱BCD，1111D或其补角，1∵BC＝22＋1－2×2×1×cos60°＝3，C＝5，1 1 1易得C2B2B2，即BC⊥B，1 1 1BC 2 10因此cos∠BC1＝ ＝ ．51 CD 5518．(2022·本溪模)在空间中，给出下面四个命题，其中假命题．(填序)①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则③若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．答案①②④解析对于①，当平面α外两点的连线与平面α垂直时，此时过两点有无数个平面与平面α垂直，所以①不正确；对于②，若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，平面α与β能相交，所以②不正确；对于③，直线l与平面内的任意直线垂直时，得到对于④，两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条相交直线或两条平行直线或直线和直线外的一点，所以④不正确．9．(2022·2的正方体BCD分别1

的中点．

111117求异面直线AEDF所成的角的余弦值；1 1求三棱锥A－DEF的体积．1 1解(1)如图，设BB的中点为，连接，因为F

的中点，1 1 1ADD11 11因此四边形ADFH是平行四边形，11D1 1 1 1因此∠EAH是异面直线AEDF所成的角或其补角，1 1 1正方体BCD2，EAB的中点，1111A22＋12＝5，1 1EH＝12＋12＝2，A＋A2E2 5＋52 4由余弦定理可知，cos∠EA1 1 ＝ ＝，1 2AH 2×5×551 1所以异面直线AE与DF 4所成的角的余弦值为．1 1 5(2)因为AD平面ADD平面AD11 11 11 11AD11因此点到平面ADE的距离相等，11即V ，D

H－ADE

D－AEH11 11 1 1V 1 S＝DA·D－A

311

△AEH1 1 11 1 1 32 ＝×222－×2×1×2－×1×＝32 所以三棱锥A－DEF1．1 110．如图，四棱柱BCDAAABCD分别为1111 1AA，CCAB上一点．1 118若DECM相交于点，求证D三条直线相交于同一点；1 1若＝4，∠BADπ

D到平面FBD的距离．1 ＝

，求点1证明∵DECM相交于点11D⊂平面ADDA⊂1 11且平面ADDA∩平面11∴K∈AD，∴D三条直线相交于同一点1解∵四边形ABCD∴BC＝CD＝2，而四棱柱的侧棱AA⊥底面1∴CC⊥底面1又∵FCC1

的中点，CC12，又∵四边形ABCD为菱形，∠BADπ∴BD＝AB＝2，1

＝3，∴S＝×2× 222－1＝7．△FBD 2设点D1

到平面FBD的距离为，点B到平面DDF的距离为1＝则＝3又∵V ＝V ，D1

B－DDF1∴××＝×31S h1S∴××＝×3

×d，3 △FBD1

△DDF111∴×7×＝××4×2×3，3 32h421解得＝7．19

到平面FBD

421的距离为 ．1 7)(2022·分别为EC的中点，在这个正四面体中，下列结论正确的( )A．GHEF平行B．BDMNC．GHMN60°角D．DEMN垂直答案BCD解析如图，还原成正四面体H与N三点重合，连接GH与EF与MN又△GMH为等边三角形，∴GHMN60°角，易证DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE．∴B，C，D正确．12．(多选)(2022·BC

CD，

的中点，下列结论正确的( )

1111 1111A．APCM是异面直线B．AP，CM，DD1

相交于一点C．MN∥BD1BBDD1120答案BD解析如图，连接MP，AC，因为MP∥AC，MP≠AC，AP与CM是相交直线，又平面AADD∩平面CCDD＝DD，1 1 1 1 11

相交于一点，则A不正确，B正确；OD1分别是CD，BC的中点，11M＝1 1 2则四边形MNOD为平行四边形，1，1MN平面BBD11ODBBD1 11BBDD1113．(2022·BCD分别为AD，A1111 1 11 1 1的中点，则直线EF与PQ所成角的大小．π答案 3解析如图，连接AC，BC，则F是AC的中点，11 1 11EAB的中点，所以，连接DC，则Q是DC的中点，1 1 1 1PAD的中点，所以C，1 11于是∠ACB是直线EF与PQ所成的角或其补角．11易知△ACBCBπ11

1＝3．14．(2022·4BCDAD，CC的中1111 11 1点，过作正方体的截面，则截面多边形的周长．2125＋95＋213答案 3解析如图所示，QBCA＝2，1

1CQCMQ＝1，tan∠MQ交BC的延长线于E点，连接，交D

于N点，11 11则多边形AMQNP即为截面，根据平行线性质有C1CNCE11＝1＝，NDPD21 1则CN4DN8＝，1 3

＝，34

213

2232＝3，8 10NP＝

2232＝3，又