基本初等函数初等函数复合函数-课件

§1.5基本初等函数、复合函数与初等函数一、基本初等函数二、复合函数三、初等函数§1.5基本初等函数、复合函数与初等函数一、基本初等函一、基本初等函数下列函数称为基本初等函数

常数

yc

幂函数

yxa(a为任何实数)

指数函数

yax(a0

a1)

对数函数

yloga

x(a0

a1)

三角函数

ysinx

ycosx

ytanx

ycotx

ysecx

ycscx

反三角函数

yarcsinx

yarccosx

yarctanx

yarccotx

yarcsecx

yarccscx

一、基本初等函数下列函数称为基本初等函数1

常数

yc

它的定义域是(,)

图形为平行于x轴截距为c的直线

1常数yc它的定义域是(,1

常数

yc

它的定义域是(

)

图形为平行于x轴截距为c的直线

2

幂函数

yxa(a为任何实数)

1常数yc它的定义域是(1

常数

yc

它的定义域是(

)

图形为平行于x轴截距为c的直线

2

幂函数

yxa(a为任何实数)

常用的幂函数有

1常数yc它的定义域是(3指数函数

yax(a0

a

1),特例y=ex

它的定义域为(

)

值域为(0

)

都通过(01)点当a1时函数单调增加当0a1时函数单调减少

指数函数举例

微积分中常用以e为底的指数函数ex，其中e=2.71828···，它为一个无限不循环小数.3指数函数yax(a0a1),特例y=e4对数函数

ylogax(a0

a

1)，特例y=lnx

它的定义域为(0

)

都通过(10)点当a1时函数单调增加当0a1时函数单调减少对数函数与指数函数互为反函数

对数函数举例

常用公式

4对数函数ylogax(a0a1)，特例5三角函数

三角函数有

ysinx

ycosx

ytanx

ycotx

ysecx

ycscx

ysinx与ycosx的定义域均为(,)

均以2为周期

因为sin(x)sinx

所以ysinx为奇函数

因为cos(x)cosx

所以ycosx为偶函数

又因|sinx|1|cosx|1所以它们都是有界函数

ytanx以为周期是奇函数

注：在微积分中，三角函数的自变量一律用弧度单位表示.5三角函数ysinx与ycos常用的三角函数公式：(1)商的关系（2）平方关系(3）两角和公式

常用的三角函数公式：（2）平方关系(3）两角和公式（5）降幂公式(4)倍角公式（5）降幂公式(4)倍角公式6

反三角函数

常用的反三角函数有yarcsinxyarccosx

yarctanx

,y=arccotx.三角函数ysinx

ycosx

ytanx,y=cotx的反函数分别记作

yArcsinx

yArccosx

yArctanx

y=Arccotx它们都是多值函数我们按下列区间取其一段称为主值分支分别记作yarcsinx

yarccosx

yarctanx,y=arccotx为对应的反三角函数.三角函数都是周期函数，对于值域中的任何都有无穷多个与之对应，故三角函数在其定义域内不存在反函数.为了定义它们的反函数，必须限制自变量的取值范围，使得该函数在这个范围内单调.6反三角函数常用的反三角函数有ya课前复习(1)什么样的函数有反函数?一一对应函数有反函数没有,因为他不是一一对应函数(2)互为反函数图象之间有什么关系关于直线y=x对称(4)正弦函数y=sinx在上有反函数吗？(3)正弦函数y=sinx,余弦函数y=cosx,正切函数y=tanx在定义域上有反函数吗?余弦函数y=cosx在[0，π]上有反函数吗？正切函数y=tanx在上有反函数吗？课前复习(1)什么样的函数有反函数?一一对应函数有反函数没有xyo-2-234······1-1正弦函数有反函数吗？没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应许多角。正弦函数有反函数吗？正弦函数有反函数吗？

有,因为它是一一对应函数，同一个三角函数值只对应一个角。xyo-2-234······1-1正弦函21.510.5-0.5-1-1.5-2-3-2-11231-1反正弦函数y=arcsinx,x∈[-1，1]的图象与性质：(1)定义域:[-1，1]。(2)值域:(3)奇偶性:是奇函数，其图象关于坐标原点对称，(4)单调性:是增函数。21.510.5-0.5-1-1.5-2-3-2-11231没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应许多角。

正切函数有反函数吗？正切函数有反函数吗？

有,因为它是一一对应函数，同一个三角函数值只对应一个角。没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应反正切函数y=arctanx,x∈R的图象与性质(1)定义域R(2)值域:(3)奇偶性:是奇函数arctan(-x)=-arctanx(x∈R)其图象关于坐标原点对称。(4)单调性:是增函数反正切函数y=arctanx,x∈R的图象与性质(1)定义域6

反三角函数

常用的反三角函数有yarcsinx

yarccosx

yarctanx

函数值的确定

求arcsinx

6反三角函数常用的反三角函数有ya6

反三角函数

常用的反三角函数有yarcsinx

yarccosx

yarctanx

函数值的确定

求arccosx

在[0,]内确定一点使cosx

则arccosx

6反三角函数常用的反三角函数有ya二、复合函数设yf(u)

ug(x)

如果将ug(x)代入f(u)中得到的表达式f[g(x)]是有意义的则yf[g(x)]是一个以x为自变量

y为因变量的新函数称为由yf(u)和ug(x)复合而成的复合函数

二、复合函数设yf(u)ug(x)二、复合函数定义115(复合函数)

设函数yf(u)的定义域为Df

函数ug(x)的值域为G

若GDf

F

则yf[g(x)]确定一个以x为自变量、y为因变量的函数称为yf(u)与ug(x)复合而成的复合函数

u称为中间变量

例2

设yf(u)lgu

ug(x)1sin2x

因为ug(x)的值域G(1,2]

yf(u)的定义域Df(0,)

GDfF

所以y=lg(1sin2x)是复合函数

例3

设yf(u)arcsinu

ug(x)2x2

因为ug(x)的值域G[2,)

yf(u)的定义域Df

[1,1]

GDfF

所以yarcsin(2x2)不是复合函数

二、复合函数定义115(复合函数)例2二、复合函数定义115(复合函数)

设函数yf(u)的定义域为Df

函数ug(x)的值域为G

若GDf

F

则yf[g(x)]确定一个以x为自变量、y为因变量的函数称为yf(u)与ug(x)复合而成的复合函数

u称为中间变量

解

三个函数复合而成

二、复合函数定义115(复合函数)解三二、复合函数定义115(复合函数)

设函数yf(u)的定义域为Df

函数ug(x)的值域为G

若GDf

F

则yf[g(x)]确定一个以x为自变量、y为因变量的函数称为yf(u)与ug(x)复合而成的复合函数

u称为中间变量

解

例5已知将y表示成x的函数.

把代入得

再把代入得

二、复合函数定义115(复合函数)解课堂练习

1.已知将y表示成x的函数.2.下列函数可以看成是由哪些简单函数复合而成的？答案：课堂练习1.已知例1.15求复合函数的定义域.

是由函数和于是得出的定义域为[1,2].复合而成，要使得函数有意义，即必有

，因此有解：例1.15求复合函数三、初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算以及有限次的函数复合运算生成的，并且可以用一个数学式子表示的函数称为初等函数．例如,y=sin2x,等都是初等函数.这里需要特别提醒的是：初等函数都可以用一个公式表示，所以大多数分段函数一般来说不是初等函数，例如y=sgnx,等都不是初等函数；三、初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运三、初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算以及有限次的函数复合运算生成的，并且可以用一个数学式子表示的函数称为初等函数．但也有一部分分段函数同时也是初等函数例如既是分段函数也是初等函数，因为，可看作由复合而成.形如的函数称为幂指函数.其中f(x)、g(x)都是关于x的函数.三、初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运§1.5基本初等函数、复合函数与初等函数一、基本初等函数二、复合函数三、初等函数§1.5基本初等函数、复合函数与初等函数一、基本初等函一、基本初等函数下列函数称为基本初等函数

常数

yc

幂函数

yxa(a为任何实数)

指数函数

yax(a0

a1)

对数函数

yloga

x(a0

a1)

三角函数

ysinx

ycosx

ytanx

ycotx

ysecx

ycscx

反三角函数

yarcsinx

yarccosx

yarctanx

yarccotx

yarcsecx

yarccscx

一、基本初等函数下列函数称为基本初等函数1

常数

yc

它的定义域是(,)

图形为平行于x轴截距为c的直线

1常数yc它的定义域是(,1

常数

yc

它的定义域是(

)

图形为平行于x轴截距为c的直线

2

幂函数

yxa(a为任何实数)

1常数yc它的定义域是(1

常数

yc

它的定义域是(

)

图形为平行于x轴截距为c的直线

2

幂函数

yxa(a为任何实数)

常用的幂函数有

1常数yc它的定义域是(3指数函数

yax(a0

a

1),特例y=ex

它的定义域为(

)

值域为(0

)

都通过(01)点当a1时函数单调增加当0a1时函数单调减少

指数函数举例

微积分中常用以e为底的指数函数ex，其中e=2.71828···，它为一个无限不循环小数.3指数函数yax(a0a1),特例y=e4对数函数

ylogax(a0

a

1)，特例y=lnx

它的定义域为(0

)

都通过(10)点当a1时函数单调增加当0a1时函数单调减少对数函数与指数函数互为反函数

对数函数举例

常用公式

4对数函数ylogax(a0a1)，特例5三角函数

三角函数有

ysinx

ycosx

ytanx

ycotx

ysecx

ycscx

ysinx与ycosx的定义域均为(,)

均以2为周期

因为sin(x)sinx

所以ysinx为奇函数

因为cos(x)cosx

所以ycosx为偶函数

又因|sinx|1|cosx|1所以它们都是有界函数

ytanx以为周期是奇函数

注：在微积分中，三角函数的自变量一律用弧度单位表示.5三角函数ysinx与ycos常用的三角函数公式：(1)商的关系（2）平方关系(3）两角和公式

常用的三角函数公式：（2）平方关系(3）两角和公式（5）降幂公式(4)倍角公式（5）降幂公式(4)倍角公式6

反三角函数

常用的反三角函数有yarcsinxyarccosx

yarctanx

,y=arccotx.三角函数ysinx

ycosx

ytanx,y=cotx的反函数分别记作

yArcsinx

yArccosx

yArctanx

y=Arccotx它们都是多值函数我们按下列区间取其一段称为主值分支分别记作yarcsinx

yarccosx

yarctanx,y=arccotx为对应的反三角函数.三角函数都是周期函数，对于值域中的任何都有无穷多个与之对应，故三角函数在其定义域内不存在反函数.为了定义它们的反函数，必须限制自变量的取值范围，使得该函数在这个范围内单调.6反三角函数常用的反三角函数有ya课前复习(1)什么样的函数有反函数?一一对应函数有反函数没有,因为他不是一一对应函数(2)互为反函数图象之间有什么关系关于直线y=x对称(4)正弦函数y=sinx在上有反函数吗？(3)正弦函数y=sinx,余弦函数y=cosx,正切函数y=tanx在定义域上有反函数吗?余弦函数y=cosx在[0，π]上有反函数吗？正切函数y=tanx在上有反函数吗？课前复习(1)什么样的函数有反函数?一一对应函数有反函数没有xyo-2-234······1-1正弦函数有反函数吗？没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应许多角。正弦函数有反函数吗？正弦函数有反函数吗？

有,因为它是一一对应函数，同一个三角函数值只对应一个角。xyo-2-234······1-1正弦函21.510.5-0.5-1-1.5-2-3-2-11231-1反正弦函数y=arcsinx,x∈[-1，1]的图象与性质：(1)定义域:[-1，1]。(2)值域:(3)奇偶性:是奇函数，其图象关于坐标原点对称，(4)单调性:是增函数。21.510.5-0.5-1-1.5-2-3-2-11231没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应许多角。

正切函数有反函数吗？正切函数有反函数吗？

有,因为它是一一对应函数，同一个三角函数值只对应一个角。没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应反正切函数y=arctanx,x∈R的图象与性质(1)定义域R(2)值域:(3)奇偶性:是奇函数arctan(-x)=-arctanx(x∈R)其图象关于坐标原点对称。(4)单调性:是增函数反正切函数y=arctanx,x∈R的图象与性质(1)定义域6

反三角函数

常用的反三角函数有yarcsinx

yarccosx

yarctanx

函数值的确定

求arcsinx

6反三角函数常用的反三角函数有ya6

反三角函数

常用的反三角函数有yarcsinx

yarccosx

yarctanx

函数值的确定

求arccosx

在[0,]内确定一点使cosx

则arccosx

6反三角函数常用的反三角函数有ya二、复合函数设yf(u)

ug(x)

如果将ug(x)代入f(u)中得到的表达式f[g(x)]是有意义的则yf[g(x)]是一个以x为自变量

y为因变量的新函数称为由yf(u)和ug(x)复合而成的复合函数

二、复合函数设yf(u)ug(x)二、复合函数定义115(复合函数)

设函数yf(u)的定义域为Df

函数ug(x)的值域为G

若GDf

F

则yf[g(x)]确定一个以x为自变量、y为因变量的函数称为yf(u)与ug(x)复合而成的复合函数

u称为中间变量

例2

设yf(u)lgu

ug(x)1sin2x

因为ug(x)的值域G(1,2]

yf(u)的定义域Df(0,)

GDfF

所以y=lg(1sin2x)是复合函数

例3

设yf(u)arcsinu

ug(x)2x2

因为ug(x)的值域G[2,)

yf(u)的定义域Df

[1,1]

GDfF

所以yarcsin(2x2)不是复合函数

二、复合函数定义115(复合函数)例2二、复合函数定义115(复合函数)

设函数yf(u)的定义域为Df

函数ug(x)的值域为G

若GDf

F

则yf[g(x)]确定一个以x为自变量、y为因变量的函数称为yf(u)与ug(x)复合而成的复合函数

u称为中间变量

解

三个函数复合而成

二、复合函数定义115(复合函数)解三二、复合函数定义115(复合函数)

设函数yf(u)的定义域为Df

函数ug(x)的