线性代数第四章知识要点课件

(3)

向量的线性运算若

=(a1,

a2,···,an),=(b1,b2,···,bn),则＝△

+(a1+b1,a2+b2,···,an+bn);＝△(a1,a2,···,an

),其中R.(3)向量的线性运算＝△+(a1+

4)

线性运算满足下列八条规律:

+=+;(+)+·=+(+·);

+0=;

+(-)=0;1·=;

()=();

(+)=+;(+)=+,其中

,,·为n

维向量,,R.4)线性运算满足下列八条规律:

2.线性相关与线性无关

(1)

线性组合，线性表示，线性相关设有n

维向量组A:1,2,···,m,B:1,2,···,s,对于向量

,如果有一组数1,2,···,m,使

=11+22+···+mm,则称向量是向量组A

的线性组合,或称可由A线性表示.2.线性相关与线性无关如果存在一组不全为零的数

k1,

k2,···,km,使k11+

k22+···+

kmm=0,则称向量组A

线性相关,否则称A

线性无关.

如果向量组

A

中的每一个向量都能由向量组B

中的向量线性表示,则称向量组A

能由向量组B

线性表示

.如果A

能由B

线性表示,且B

也能由A

线性表示,则称A

与B

等价.

向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性.如果存在一组不全为零的数k1,k2,

(2)

线性相关的性质

定理1向量组1,2,···,m(m≥2)线性相关的充要条件是该向量组中至少有一个向量可由其余m

-1个向量线性表示.

定理2

设1,2,···,m

线性无关,而1,2,···,m,

线性相关,则能由1,2,···,m

线性表示,且表示式是唯一的.(2)线性相关的性质(3)

线性相关性的判定定理

定理3若1,2,···,r

线性相关,则1,2,···,r,r+1,···,m也线性相关.定理4

r

维向量组的每个向量添上n-r

个分量,成为n维向量组,若r维向量组线性无关,则

n维向量组也线性无关.反言之,若n

维向量组线性相关,则

r维向量组亦线性相关.(3)线性相关性的判定定理定理5

m

个n

维向量组成的向量组,当维数n

小于向量个数m

时一定线性相关.定理5m个n维向量组成的向量组

3.向量组的秩

(1)定义设有向量组T,如果

(i)

在T

中有r

个向量1,2,···,r

线性无关;

(ii)

T

中任意r+1个向量(如果T

中有r+1个向量的话)都线性相关,那么称1,2,···,r

是向量组T

的一个最大线性无关向量组,简称最大无关组;数r

称为向量组T

的秩.并规定:只含零向量的向量组的秩为0.3.向量组的秩

(2)性质

性质1向量组线性无关的充要条件是它所含向量个数等于它的秩.

性质2设矩阵A的某个

r阶子式D是A的最高阶非零子式,则D所在的r

个行向量即是矩阵A的行向量组的一个最大无关组;D

所在的r个列向量即是矩阵A的列向量组的一个最大无关组.

性质3

R(A)=A的行秩=A的列秩.(2)性质

性质4

设向量组A:1,2,···,r

是向量组T的一个最大无关组,则向量组A

与向量组T

等价.

定理6

设有两个向量组:

A:1,2,···,r,

B:1,2,···,s

,如果A

组能由B

组线性表示,且A

组线性无关,则A

组所含向量个数

r

不大于B

组所含向量个数s,即r

≤

s.性质4设向量组A:1,2

推论1

设向量组A

的秩为r1,向量组B

的秩为r2,若A

组能由

B

组线性表示,则r1

≤

r2.

推论2

等价的向量组有相同的秩.

4.向量空间

(1)

设V

为

n

维向量的集合,如果集合V

非空且集合V对于加法及数乘两种运算封闭,那么就称集合V

为向量空间.

所谓封闭,是指对V,V

及k

R,有

+V,kV.推论1设向量组A的秩为r1,

(2)由向量组1,2,···,m所生成的向量空间为

L={x|x=k11+k22+···+kmm|k1,···,km

R}.

(3)设有向量空间V1及V2,若V1V2,就称V1是V2的子空间.

(4)设V为向量空间,如果r

个向量

1,2,···,r

V,且满足

(i)

1,2,···,r线性无关;

(ii)

V中任一向量都可由1,2,···,r线性(2)由向量组1,2,··表示.那么,向量组1,2,···,r

就称为向量空间V的一个基,r称为向量空间V的维数,并称V

为

r维向量空间.二

基本要求与重点、难点

基本要求

1.

掌握n

维向量的概念,能熟练地进行向量的线性运算.表示.那么,向量组1,2,···,r

2.

掌握线性组合、线性表示、线性相关、线性无关、最大无关组等概念.能熟练地判断向量组的线性相关性,求出其最大无关组.

3.

掌握向量组的秩、矩阵的秩、矩阵的等价等概念,会求向量组的秩和矩阵的秩.

4.

掌握线性方程组解的结构,会求方程组的解.2.掌握线性组合、线性表示、线性相关、线重点线性相关、线性无关、最大无关组、秩等概念;判断线性相关性及求秩的方法.

难点线性相关、线性无关的概念及其判定法.重点线性相关、线性无关、最大无关组、本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!本节内容已结束!本节内容已结束!本节内

(3)

向量的线性运算若

=(a1,

a2,···,an),=(b1,b2,···,bn),则＝△

+(a1+b1,a2+b2,···,an+bn);＝△(a1,a2,···,an

),其中R.(3)向量的线性运算＝△+(a1+

4)

线性运算满足下列八条规律:

+=+;(+)+·=+(+·);

+0=;

+(-)=0;1·=;

()=();

(+)=+;(+)=+,其中

,,·为n

维向量,,R.4)线性运算满足下列八条规律:

2.线性相关与线性无关

(1)

线性组合，线性表示，线性相关设有n

维向量组A:1,2,···,m,B:1,2,···,s,对于向量

,如果有一组数1,2,···,m,使

=11+22+···+mm,则称向量是向量组A

的线性组合,或称可由A线性表示.2.线性相关与线性无关如果存在一组不全为零的数

k1,

k2,···,km,使k11+

k22+···+

kmm=0,则称向量组A

线性相关,否则称A

线性无关.

如果向量组

A

中的每一个向量都能由向量组B

中的向量线性表示,则称向量组A

能由向量组B

线性表示

.如果A

能由B

线性表示,且B

也能由A

线性表示,则称A

与B

等价.

向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性.如果存在一组不全为零的数k1,k2,

(2)

线性相关的性质

定理1向量组1,2,···,m(m≥2)线性相关的充要条件是该向量组中至少有一个向量可由其余m

-1个向量线性表示.

定理2

设1,2,···,m

线性无关,而1,2,···,m,

线性相关,则能由1,2,···,m

线性表示,且表示式是唯一的.(2)线性相关的性质(3)

线性相关性的判定定理

定理3若1,2,···,r

线性相关,则1,2,···,r,r+1,···,m也线性相关.定理4

r

维向量组的每个向量添上n-r

个分量,成为n维向量组,若r维向量组线性无关,则

n维向量组也线性无关.反言之,若n

维向量组线性相关,则

r维向量组亦线性相关.(3)线性相关性的判定定理定理5

m

个n

维向量组成的向量组,当维数n

小于向量个数m

时一定线性相关.定理5m个n维向量组成的向量组

3.向量组的秩

(1)定义设有向量组T,如果

(i)

在T

中有r

个向量1,2,···,r

线性无关;

(ii)

T

中任意r+1个向量(如果T

中有r+1个向量的话)都线性相关,那么称1,2,···,r

是向量组T

的一个最大线性无关向量组,简称最大无关组;数r

称为向量组T

的秩.并规定:只含零向量的向量组的秩为0.3.向量组的秩

(2)性质

性质1向量组线性无关的充要条件是它所含向量个数等于它的秩.

性质2设矩阵A的某个

r阶子式D是A的最高阶非零子式,则D所在的r

个行向量即是矩阵A的行向量组的一个最大无关组;D

所在的r个列向量即是矩阵A的列向量组的一个最大无关组.

性质3

R(A)=A的行秩=A的列秩.(2)性质

性质4

设向量组A:1,2,···,r

是向量组T的一个最大无关组,则向量组A

与向量组T

等价.

定理6

设有两个向量组:

A:1,2,···,r,

B:1,2,···,s

,如果A

组能由B

组线性表示,且A

组线性无关,则A

组所含向量个数

r

不大于B

组所含向量个数s,即r

≤

s.性质4设向量组A:1,2

推论1

设向量组A

的秩为r1,向量组B

的秩为r2,若A

组能由

B

组线性表示,则r1

≤

r2.

推论2

等价的向量组有相同的秩.

4.向量空间

(1)

设V

为

n

维向量的集合,如果集合V

非空且集合V对于加法及数乘两种运算封闭,那么就称集合V

为向量空间.

所谓封闭,是指对V,V

及k

R,有

+V,kV.推论1设向量组A的秩为r1,

(2)由向量组1,2,···,m所生成的向量空间为

L={x|x=k11+k22+···+kmm|k1,···,km

R}.

(3)设有向量空间V1及V2,若V1V2,就称V1是V2的子空间.

(4)设V为向量空间,如果r

个向量

1,2,···,r

V,且满足

(i)

1,2,···,r线性无关;

(ii)

V中任一向量都可由1,2,···,r线性(2)由向量组1,2,··表示.那么,向量组1,2,···,r

就称为向量空间V的一个基,r称为向量空间V的维数,并称V

为

r维向量空间.二

基本要求与重点、难点

基本要求

1.

掌握n

维向量的概念,能熟练地进行向量的线性运算.表示.那么,向量组1,2,···,r

2.

掌握线性组合、线性表示、线性相关、线性无关、最大无关组等概念.能熟练地判断向量组的线