2018-2019数学新学案同步必修二人教A版全国通用版讲义：第三章 直线与方程章末复习

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精章末复习学习目标1。整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活选择直线方程的形式并熟练运用待定系数法求解，渗透数形结合、分类讨论的数学思想.1。直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°.(2)k＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(存在,α≠90°，,不存在，α＝90°.)）(3）斜率的求法①依据倾斜角；②依据直线方程;③依据两点的坐标。2.直线方程的几种形式的转化3。两条直线的位置关系设l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则(1）平行⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；（2)相交⇔A1B2－A2B1≠0；(3）重合⇔A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2（λ≠0)或eq\f(A1,A2）＝eq\f（B1,B2）＝eq\f（C1，C2)(A2B2C2≠0）。4。距离公式(1）两点间的距离公式已知点P1（x1，y1),P2(x2,y2），则|P1P2｜＝eq\r(x2－x12＋y2－y12）.(2）点到直线的距离公式①点P（x0,y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|，\r（A2＋B2））；②两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2:Ax＋By＋C2＝0的距离d＝eq\f(|C1－C2|，\r(A2＋B2)).类型一待定系数法的应用例1直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，求直线l的方程。考点待定系数法的应用题点待定系数法求直线方程解方法一设直线l与l1的交点为A（x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为B（－2－x0，4－y0），并且满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x0＋y0＋3＝0，，3－2－x0－54－y0－5＝0,））即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x0＋y0＋3＝0，，3x0－5y0＋31＝0，）)解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x0＝－2，,y0＝5，）)所以A（－2，5）.因此直线l的方程为eq\f（y－2,5－2）＝eq\f(x－－1,－2－－1），即3x＋y＋1＝0.方法二由题意知，直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y－2＝k（x＋1），即kx－y＋k＋2＝0。由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（kx－y＋k＋2＝0，，4x＋y＋3＝0，))得x＝eq\f（－k－5,k＋4).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx－y＋k＋2＝0,，3x－5y－5＝0，)）得x＝eq\f(－5k－15，5k－3）。则eq\f(－k－5,k＋4)＋eq\f（－5k－15,5k－3）＝－2,解得k＝－3。因此所求直线方程为y－2＝－3(x＋1)，即3x＋y＋1＝0.方法三两直线l1和l2的方程为(4x＋y＋3)(3x－5y－5)＝0，①将上述方程中（x，y）换成（－2－x，4－y），整理可得l1与l2关于(－1,2)对称图形的方程为（4x＋y＋1)(3x－5y＋31）＝0。②①－②整理得3x＋y＋1＝0，即为所求直线方程。反思与感悟待定系数法，就是所研究的式子(方程)的结构是确定的，但它的全部或部分系数是待定的，然后根据题中条件来确定这些系数的方法。直线的方程常用待定系数法求解.选择合适的直线方程的形式是很重要的，一般情况下，与截距有关的，可设直线的斜截式方程或截距式方程；与斜率有关的，可设直线的斜截式或点斜式方程等。跟踪训练1过点P（6，8)作两条互相垂直的射线PA，PB,分别交x轴,y轴正方向于点A,B。若S△AOB＝S△APB,求PA与PB所在直线的方程。考点待定系数的应用题点待定系数法求直线方程解设A（a,0)，B（0，b)（a〉0,b〉0)，则直线AB的方程为eq\f（x，a)＋eq\f（y,b）＝1，即bx＋ay－ab＝0。因为S△AOB＝S△APB，所以O，P两点到直线AB的距离相等，由点到直线的距离公式得eq\f(｜ab|,\r(a2＋b2))＝eq\f(｜8a＋6b－ab｜，\r（a2＋b2))，解得ab＝4a＋3b①或4a＋3b＝0(与a〉0，b〉0矛盾，舍去).由PA⊥PB，得eq\f（8，6－a）·eq\f(8－b，6）＝－1，即3a＋4b＝50②，联立①②，解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝6，,b＝8)）或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(25,3），,b＝\f(25，4)，)）所以直线PA：x＝6，直线PB：y＝8或直线PA：24x＋7y－200＝0，直线PB:7x－24y＋150＝0.类型二分类讨论思想的应用例2过点P（－1,0)，Q(0,2）分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1,求这两条直线的方程。考点分类讨论思想的应用题点分类讨论思想的应用解当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，符合题意。当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为y＝k（x＋1），y－2＝kx。令y＝0，得x＝－1与x＝－eq\f（2，k）。由题意得eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1（－1＋\f(2，k））)＝1,即k＝1.∴两条直线的方程分别为y＝x＋1，y＝x＋2，即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0。综上可知,所求的两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0。反思与感悟本章涉及直线方程的形式时，常遇到斜率的存在性问题的讨论，如两直线平行（或垂直）时，斜率是否存在;已知直线过定点时，选择点斜式方程,要考虑斜率是否存在.跟踪训练2求在两坐标轴上截距相等,且到点A（3,1）的距离为eq\r（2）的直线的方程.考点分类讨论思想的应用题点分类讨论思想的应用解当直线过原点时,设直线的方程为y＝kx，即kx－y＝0。由题意知eq\f(|3k－1|，\r（k2＋1））＝eq\r(2）,解得k＝1或k＝－eq\f(1,7)。所以所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0。当直线不经过原点时，设所求直线的方程为eq\f（x,a）＋eq\f(y，a)＝1，即x＋y－a＝0.由题意知eq\f(|3＋1－a|，\r（2））＝eq\r（2)，解得a＝2或a＝6.所以所求直线的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.综上可知，所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.类型三最值问题eq\x(命题角度1可转化为二次函数求最值)例3在直线y＝x＋2上求一点P，使得点P到直线l1：3x－4y＋8＝0和直线l2：3x－y－1＝0的距离的平方和最小。考点点到直线的距离题点与点到直线的距离有关的最值问题解设P（x0，x0＋2），设点P到直线l1的距离为d1，点P到直线l2的距离为d2,令y＝deq\o\al(2，1)＋deq\o\al（2，2）＝eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1（\f（3x0－4x0＋2＋8,\r（32＋42)）))2＋eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1(\f（3x0－x0＋2－1，\r（32＋12）)))2,整理得y＝eq\f（22x\o\al(2,0)－60x0＋45,50）,∴当x0＝eq\f(60,2×22）＝eq\f(15，11)时，y最小，此时y0＝x0＋2＝eq\f(37,11），∴Peq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(15,11），\f(37，11)））。反思与感悟将几何问题转化为函数求最值，是一种常用的求最值的方法.跟踪训练3在平面直角坐标系中，动点P到两条直线3x－y＝0与x＋3y＝0的距离之和等于2，则点P到坐标原点的距离的最小值为________.考点两点间的距离公式题点两点间距离公式的综合应用答案eq\r(2)解析∵3x－y＝0与x＋3y＝0互相垂直，且交点为原点，∴设P到直线的距离分别为a，b，则a≥0,b≥0，则a＋b＝2，即b＝2－a≥0，得0≤a≤2。由勾股定理可知,｜OP|＝eq\r（a2＋b2）＝eq\r（a2＋2－a2）＝eq\r（2a－12＋2）,∵0≤a≤2，∴当a＝1时，OP的距离最小为eq\r（2）.eq\x（命题角度2利用对称性求最值)例4已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A（2，0），B（－2，－4)。(1)在直线l上求一点P,使|PA｜＋｜PB|最小；（2）在直线l上求一点P，使｜｜PB｜－｜PA｜|最大。考点对称问题的求法题点关于对称的综合应用解(1)设A关于直线l的对称点为A′（m，n)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(n－0，m－2)＝－2，,\f(m＋2,2）－2·\f(n＋0，2）＋8＝0，)）解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(m＝－2，,n＝8，)）故A′(－2，8).因为P为直线l上的一点,则|PA｜＋｜PB|＝｜PA′｜＋|PB｜≥｜A′B｜，当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为｜A′B｜，点P即是直线A′B与直线l的交点，解eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,x－2y＋8＝0,））得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－2，，y＝3，)）故所求的点P的坐标为（－2,3).(2）A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则||PB|－|PA||≤|AB｜，当且仅当A，B,P三点共线时，｜|PB|－｜PA｜｜取得最大值，为｜AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2,解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝x－2,,x－2y＋8＝0，))得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝12，，y＝10，）)故所求的点P的坐标为(12，10).反思与感悟（1）在直线l上求一点P，使|PA｜＋｜PB｜取得最小值时，若点A，B在直线l的同侧,则作点A（或点B)关于l的对称点A′（或点B′)，连接A′B（或AB′)交l于点P，则点P即为所求；若点A，B位于直线l的异侧，直接连接AB交l于点P，则点P即为所求.可简记为“同侧对称异侧连.”(2)在直线l上求一点P，使｜｜PA｜－｜PB｜｜取得最大值时，方法与(1)恰好相反，即“异侧对称同侧连”.跟踪训练4已知定点A（3，1），动点M和点N分别在直线y＝x和y＝0上运动，则△AMN的周长取最小值时点M的坐标为________。考点对称问题的求法题点关于对称的综合应用答案eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(5，3)，\f（5，3)））解析如图所示，分别作出点A关于直线y＝x与x轴的对称点A1（1,3),A2（3，－1）。连接A1A2与直线y＝x相交于点M，与x轴相交于点N，则满足条件.直线A1A2的方程为y－3＝eq\f（－1－3，3－1）(x－1），化为2x＋y－5＝0，联立eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2x＋y－5＝0，，y＝x,))解得x＝y＝eq\f(5,3）.∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（5,3)，\f(5，3)））。1。若方程（6a2－a－2）x＋(3a2－5a＋2)y＋a－1＝0表示平行于x轴的直线，则a的值是()A。eq\f（2,3) B。eq\f(1,2）C.eq\f(2,3），－eq\f(1，2） D。－eq\f（1,2)考点直线的一般式方程与直线的平行关系题点根据平行求参数的值答案D解析因为平行于x轴的直线的斜率为零,所以由直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)得k＝－eq\f（A，B)＝0⇒A＝0，B≠0，即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（6a2－a－2＝0,,3a2－5a＋2≠0。))解得a＝－eq\f（1,2）.本题易错在忽视B≠0这一条件而导致多解.2.已知直线l不经过第三象限，若其斜率为k,在y轴上的截距为b(b≠0），则（）A。kb〈0 B。k≤0,b>0C。k<0，b〉0 D.kb≥0考点直线的斜截式方程题点直线斜截式方程的应用答案B解析由题意得直线l的方程为y＝kx＋b（b≠0），∵直线l不经过第三象限，∴k≤0,b>0。3.和直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为（）A.3x＋4y＋5＝0 B.3x＋4y－5＝0C。－3x＋4y－5＝0 D.－3x＋4y＋5＝0考点对称问题的求法题点直线关于直线的对称问题答案A解析设所求直线上任意一点（x,y），则此点关于x轴对称的点的坐标为(x，－y），因为点（x，－y)在直线3x－4y＋5＝0上，所以3x＋4y＋5＝0.4。已知直线kx－y＋1－k＝0恒过定点A，且点A在直线mx＋ny－1＝0(m>0，n>0）上，则mn的最大值为（)A。eq\f（1，2) B.eq\f（1,4)C.2 D.4考点恒过定点的直线题点恒过定点的直线的应用答案B解析直线kx－y＋1－k＝0,可化为k（x－1)＋1－y＝0,可知A（1，1），∴m＋n＝1，即n＝1－m.∴mn＝m(1－m）＝－m2＋m＝－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（m－\f(1，2））)2＋eq\f（1，4),即当m＝eq\f（1，2)时，mn取得最大值eq\f(1，4）。5.在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A（0,1），B(3,2）.(1)若C点坐标为(1，0)，求AB边上的高所在的直线方程;(2）若点M(1,1）为边AC的中点，求边BC所在的直线方程。考点中点坐标公式题点与中线有关的问题解（1）∵A(0,1），B(3，2)，∴kAB＝eq\f（2－1,3－0）＝eq\f（1，3），由垂直关系可得AB边上的高所在的直线的斜率k＝－3，∴AB边上的高所在直线方程为y－0＝－3（x－1），化为一般式可得3x＋y－3＝0.（2）∵M为AC的中点,∴C（2,1），∴kBC＝eq\f（2－1，3－2）＝1，∴BC所在直线方程为y－1＝x－2,化为一般式可得x－y－1＝0.1.一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0（m≠C);与之垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0。2.过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2:A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2)＝0（λ∈R），但不包括l2.3.点到直线与两平行线间的距离的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式。（2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.一。选择题1.已知直线PQ的斜率为－eq\r(3），则将直线绕点P沿顺时针方向旋转60°所得的直线的斜率是（)A.－eq\r(3）B.0C。eq\r(3）D。eq\f(\r(3),3）考点直线的斜率题点由斜率公式计算斜率答案C解析由直线PQ的斜率为－eq\r（3)得直线的倾斜角为120°，故绕点P沿顺时针方向旋转60°所得的直线的倾斜角为60°，斜率为eq\r（3）。2。已知过点M(－2，a），N(a,4）的直线的斜率为－eq\f(1，2),则｜MN|等于()A。10 B。180C。6eq\r(3) D。6eq\r(5）考点两点间的距离公式题点求两点间的距离答案D解析kMN＝eq\f(a－4,－2－a)＝－eq\f(1,2)，解得a＝10，即M(－2，10)，N（10,4），所以｜MN｜＝eq\r(－2－102＋10－42）＝6eq\r(5），故选D。3。过两点(－1,1)和(3,9）的直线在x轴上的截距为(）A。－eq\f（3，2)B。－eq\f(2,3）C.eq\f（2，5）D.2考点直线的两点式方程题点利用两点式求直线方程答案A解析由两点式eq\f(y－1,9－1)＝eq\f(x＋1,3＋1），得y＝2x＋3，令y＝0，得x＝－eq\f(3,2）,即为在x轴上的截距。4.若直线mx＋ny＋2＝0平行于直线x－2y＋5＝0，且在y轴上的截距为1，则m,n的值分别为（）A.1和2 B.－1和2C。1和－2 D.－1和－2考点直线的一般式方程与直线的平行关系题点根据平行求参数的值答案C解析由已知得直线mx＋ny＋2＝0过点（0，1)，则n＝－2,又因为两直线平行，所以－eq\f(m，n）＝eq\f(1，2)，解得m＝1.5。如图，A,B，C，D是平面直角坐标系上的四个点，将这四个点的坐标分别代入x－y＝k，若在某点处k取得最大值,则该点是（)A。点A B.点BC.点C D.点D考点直线的斜截式方程题点直线斜截式方程的应用答案D解析因为y＝x－k，所以要使k取得最大值，则－k取得最小值，即直线y＝x－k在y轴上的截距最小，易知当直线y＝x－k经过D点时，k取得最大值，故选D。6.已知点M（a,b）在直线4x－3y＋c＝0上，若（a－1）2＋（b－1）2的最小值为4，则实数c的值为()A.－21或19 B。－11或9C.－21或9 D.－11或19考点点到直线的距离题点与点到直线的距离有关的最值问题答案B解析∵点M（a，b）在直线4x－3y＋c＝0上，∴点（1,1)到此直线的最小距离d＝eq\f(|4－3＋c|，5）＝2，得c＝9或－11.7.若直线l1：y＝k(x－4）与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2过定点（)A。(0,4) B.(0,2)C。(－2，4) D.(4，－2)考点对称问题的求法题点直线关于点的对称问题答案B解析∵l1：y＝k（x－4）过定点M（4，0），而点M关于点（2,1)的对称点为N(0,2）,故直线l2过定点(0，2）。8。已知点A（1，1），B（3,5）到经过点(2，1)的直线l的距离相等，则l的方程为（）A。2x－y－3＝0B.x＝2C。2x－y－3＝0或x＝2D。以上都不对考点点到直线的距离题点利用点到直线的距离求直线方程答案C解析当A，B都在l的同侧时，设l的方程为y－1＝k（x－2)，此时,AB∥l，所以k＝kAB＝eq\f(5－1，3－1)＝2,l的方程为2x－y－3＝0.当A，B在l的两侧时,A，B到x＝2的距离相等，因此，l的方程为x＝2，故选C.二、填空题9。若点A(4，－1）在直线l1：ax－y＋1＝0上，则l1与l2：2x－y－3＝0的位置关系是________。考点两条直线垂直题点两条直线垂直的判定答案l1⊥l2解析将点A(4，－1)的坐标代入ax－y＋1＝0，得a＝－eq\f(1,2），则kl1·kl2＝－eq\f（1，2)×2＝－1，∴l1⊥l2.10.直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1），则坐标原点到直线mx＋ny＝5的距离为________。考点点到直线的距离题点求点到直线的距离答案eq\f(\r（2),2)解析将x＝2，y＝－1代入直线方程，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3×2－m－1＝0，，4×2＋3×－1－n＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝5，,n＝5,））∴直线mx＋ny＝5可化为x＋y－1＝0.则坐标原点到直线x＋y－1＝0的距离为eq\f（｜－1|,\r（2））＝eq\f（\r（2)，2）。11。已知A(2,4)，B(3，3），点P(a，b)是线段AB（包括端点)上的动点，则eq\f（b－1，a－1)的取值范围为________。考点直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系题点倾斜角和斜率关系的其他应用答案[1，3]解析设k＝eq\f(b－1，a－1），则k可以看成点P(a，b)与定点Q(1，1）连线的斜率，如图所示，当P在线段AB上由B点运动到A点时,PQ的斜率由kBQ增大到kAQ，∵kBQ＝eq\f（3－1,3－1）＝1，kAQ＝eq\f(4－1,2－1)＝3,∴1≤k≤3，即eq\f(b－1,a－1)的取值范围是［1，3].三、解答题12．设直线l经过点(－1，1)，此直线被两平行直线l1:x＋2y－1＝0和l2：x＋2y－3＝0所截得线段的中点在直线x－y－1＝0上，求直线l的方程．考点待定系数法的应用题点侍定系数法求直线方程解设直线x－y－1＝0与l1，l2的交点分别为C(xC,yC），D(xD,yD)，则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(xC＋2yC－1＝0，，xC－yC－1＝0,)）解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(xC＝1,,yC＝0，）)∴C(1，0）．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（xD＋2yD－3＝0，,xD－yD－1＝0,）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(xD＝\f(5,3),，yD＝\f（2,3）,））∴Deq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（5,3),\f(2，3)））.则C,D的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（4,3），\f(1，3））),即直线l经过点eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（4,3），\f（1，3))）。又直线l经过点(－1,1)，由两点式得直线l的方程为eq\f(y－\f（1，3），1－