变量间的相关关系及独立性检验

(会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量的相关关系/了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程)9.3

变量间的相关关系、回归分析及独立性检验1．相关关系的量：当自变量一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系称为相关关系．2．回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析．3．散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图．4．正相关与负相关概念：如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，称为正相关．如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，称为负相关．5.

回归直线：设所求的直线方程为，其中求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.6．相关系数：r＝叫做变量y与x之间的样本相关系数，简称相关系数，用 它来衡量两个变量之间的线性相关程度．7．相关系数的性质：|r|≤1，且|r|越接近1，相关程度越大；且|r|越接近0，相关程度越小．1．在对两个变量x，y进行线性回归分析时有下列步骤： ①对所求出的回归方程作出解释；②收集数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图． 如果根据可靠性要求能够作出变量x，y具有线性相关结论，则在下列操作顺序中正确的是() A．①②⑤③④B．③②④⑤①C．②④③①⑤D．②⑤④③① 答案：D2．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则下列说法中不正确的是() A．由样本数据得到的回归方程＝bx＋a必过样本中心() B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好 D．若变量y和x之间的相关系数为r＝－0.9362，则变量y和x之间具有线性相 关关系 答案：C3．(2009·宁夏、海南)对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u、v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关解析：由图(1)可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关，由图(2)可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关．答案：C判断两个变量正相关还是负相关，有三种方法：1．利用散点图；2．利用相关系数r的符号；当r＞0时，正相关；r＜0时，负相关；3．在已知两变量线性相关时，也可以利用回归方程＝a＋bx.当b＞0时，＝a＋bx是增函数，两变量是正相关，当b＜0时，＝a＋bx是减函数， 两变量是负相关．【例1】山东鲁洁棉业公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)． (1)画出散点图； (2)判断是否具有相关关系．施化肥量x15202530354045棉花产量y330345365405445450455思维点拨：用施化肥量x作为横轴，产产量y为纵轴可作出出散点图，由由散点图即可可分析是否具具有线性相关关关系．解答：(1)散点图如右图所所示，(2)由散点点图知，各组组数据对应点点大致都在一一条直线附近近，所以施化化肥量x与产量y具有线性相关关关系.对具有相关关关系的两个变变量进行统计计分析时，首首先要作出散散点图，然后后进行相关性性检验，在确确认具有线性性相关关系后后，再求其回回归直线．【例2】一台机器使用用时间较长，，但还可以使使用．它按不不同的转速生生产出来的某某机械零件有有一些会有缺缺点，每小时时生产有缺点点零件的多少少，随机器运运转的速度而而变化，下表表为抽样试验验结果：转速x(转/秒)1614128每小时生产有缺点的零件数y(件)11985(1)对变量量y与x进行相关性检检验；(2)如果y与x有线性相关关关系，求回归归直线方程；；(3)若实际际生产中，允允许每小时的的产品中有缺缺点的零件最最多为10个个，那么，机机器的运转速速度应控制在在什么范围内内？思维点拨：利用相关系数数r进行线性相关关检验(也可可利用散点图图)．如果线线性相关，再再求回归直线线方程并加以以判断．(2)＝＝0.7286x－0.8571.(3)要使≤10⇒0.7286x－0.8571≤10，所以x≤14.9013.所以机器的转转速应控制在在14.9013转/秒以下．解答：变式2.假设关于某设备备的使用年限限x和所支出的维维修费用y(万元)，有有如下的统计计资料：(1)y与x间是否有线性性相关关系？？若有，求出出线性回归方方程；(2)估计使使用年限为10年时的维维修费用．使用年限(x)/年23456维修费用(y)/万元2.23.85.56.57.0【方法规律】1．求回归方程，，关键在于正正确求出系数数a，b，由于a，b的计算量大，，计算时应仔仔细谨慎，分分层进行，避避免因计算而而产生错误．．(注意回归归直线方程中中一次项系数数为b，常数项为a，这与一次函函数的习惯表表示不同)．．2．回归分析析是处理变量量相关关系的的一种数学方方法．主要解解决：①确定特定量之之间是否有相相关关系，如如果有就找出出它们之间贴贴近的数学表表达式；②根据一组观察察值，预测变变量的取值及及判断变量取取值的变化趋趋势；③求出回归直线线方程．3．独立性检检验是一种假假设检验，在在对总体的估估计中，通过过抽取样本，，构造合适的的随机变量，，对假设的正正确性进行判判断.为了分析某个个高三学生的的学习状态，，对其下一阶阶段的学习提提供指导性建建议．现对他他前7次考试试的数学成绩绩x、物理成绩y进行分析．下下面是该生7次考试的成成绩.数学888311792108100112物理949110896104101106(1)他的数数学成绩与物物理成绩哪个个更稳定？请请给出你的证证明；(2)已知该该生的物理成成绩y与数学成绩x是线性相关的的，若该生的的物理成绩达达到115分分，请你估计计他的数学成成绩大约是多多少？并请你你根据物理成成绩与数学成成绩的相关性性，给出该生生在学习数学学、物理上的的合理建议.【答题模板】(2)由于x与y之间具有线性性相关关系，，根据回归系系数公式得到到b＝＝＝0.5，，a＝100－0.5×100＝50，∴线性回归方程程为＝＝0.5x＋50.当y＝115时，，x＝130.建议：进一步步加强对数学学的学习，提提高数学成绩绩的稳定性，，将有助于物物理成绩的进进一步提高．．9、静静夜夜四四无无邻邻，，荒荒居居旧旧业业贫贫。。。。12月月-2212月月-22Wednesday,December28,202210、雨雨中中黄黄叶叶树树，，灯灯下下白白头头人人。。。。20:40:1020:40:1020:4012/28/20228:40:10PM11、以我独沈沈久，愧君君相见频。。。12月-2220:40:1020:40Dec-2228-Dec-2212、故人江海海别，几度度隔山川。。。20:40:1020:40:1020:40Wednesday,December28,202213、乍见翻翻疑梦，，相悲各各问年。。。12月-2212月-2220:40:1020:40:10December28,202214、他乡生白发发，旧国见青青山。。28十二月月20228:40:10下午20:40:1012月-2215、比不了得就就不比，得不不到的就不要要。。。十二月228:40下下午12月-2220:40December28,202216、行动动出成成果，，工作作出财财富。。。2022/12/2820:40:1020:40:1028December202217、做做前前，，能能够够环环视视四四周周；；做做时时，，你你只只能能或或者者最最好好沿沿着着以以脚脚为为起起点点的的射射线线向向前前。。。。8:40:10下下午午8:40下下午午20:40:1012月月-229、没有失失败，只只有暂时时停止成成功！。。12月-2212月-22Wednesday,December28,202210、很多事事情努力力了未必必有结果果，但是是不努力力却什么么改变也也没有。。。20:40:1020:40:1020:4012/28/20228:40:10PM11、成功功就是是日复复一日日那一一点点点小小小努力力的积积累。。。12月月-2220:40:1020:40Dec-2228-Dec-2212、世间成事事，不求其其绝对圆满满，留一份份不足，可可得无限完完美。。20:40:1020:40:1020:40Wednesday,December28,202213、不不知知香香积积寺寺，，数数里里入入云云峰峰。。。。12月月-2212月月-2220:40:1020:40:10December28,202214、意志坚强的的人能把世界界放在手中像像泥块一样任任意揉捏。28十二月月20228:40:11下午20:40:1112月-2215、楚塞塞三湘湘接，，荆门门九派派通。。。。十二月月228:40下下午午12月月-2220:40December28,202216、少年十十五二十十时，步步行夺得得胡马骑骑。。2022/12/2820:40:1120:40:1128December202217、空山新新雨后，，天气晚晚来秋。。。8:40:11下午午8:40下午午20:40:1112月-229、杨柳散和和风，青山山澹吾虑。。。12月-2212月-22Wednesday,December28,202210、阅读一切切好书如同同和过去最最杰出的人人谈话。20:40:1120:40:1120:4012/28/20228:40:11PM11、越是没有有本领的就就越加自命命不凡。12月-2220:40:1120:40Dec-2228-Dec-2212、越是无能的的人，越喜欢欢挑剔别人的的错儿。20:40:1120:40:1120:40Wednesday,December28,202213、知人人者智智，自自知者者明。