第十八章 量子物理基础

思考题18-1把一块表面的一半涂了烟煤的白瓷砖放到火炉内烧，高温下瓷砖的哪一半显得更亮些？参考答案实验表明：一个良好的吸收体也是一个良好的发射体。也就是说，一个物体吸收辐射的能量越强，那么它的热辐射能力也越强。辐射本领越强的物体，单位时间内从表面辐射出来的能力越多，它的表面就显得越亮。瓷砖涂了烟煤的一半在正常情况下更黑，说明比起未涂烟煤的一半，它吸收辐射的能力也更强，相应地，它的辐出度更高，所以在火炉内烧热后应该显得更亮一些。18-2刚粉刷完的房间从房外远处看，即使在白天，它的开着的窗口也是黑的。为什么？参考答案从窗口进入的光线在屋里经过多次反射后极少能再从窗口反射出来，所以看起来窗口总是黑的。这样的窗口就可看作是一个黑体。18-3为什么几乎没有黑色的花？参考答案如果花是黑颜色的，表明花对于可见光没有反射，也就是花将可见光波段的能力都吸收了，与其他颜色的花相比，黑色花的温度将更高，这样的花很可能会由于没有及时将能量从其他途径释放掉的机制而枯死。另外，对于虫媒花来说，黑色是昆虫的视觉盲点，因而无法授粉。18-4在光电效应实验中，如果（1）入射光强度增加一倍；（2）入射光频率增加一倍，各对实验结果有什么影响？参考答案光电效应方程为mv2=eU=hv-A=hv-eU2mc 0（1）入射光强度的概念：单位时间内单位面积上的光子数乘以每个光子的能量。如果频率不变，每个光子的能量就不变。入射光强度增加一倍，意味着入射的光子数增加一倍，从而饱和电流强度将增加一倍。截止电压不变（设频率不变）。（2）入射光的频率增加一倍，hv就增加一倍，每个光子的能量从hv增加到2hv。从光电效应方程可以看出截止电压U相应地增加hv/e。饱和电流c的数值不变（因为单位时间入射的光子数密度未变）。18-5用一定波长的光照射金属表面产生光电效应时，为什么逸出金属表面的光电子的速度大小不同？参考答案金属中的电子是运动着的，它与金属中的离子有相互作用，不断与离子发生碰撞，导致它的动量发生变化。电子吸收光子后，在逸出金属表面之前，与离子碰撞而损失的动量各不相同。因此逸出金属表面的光电子的速度大小不同。18-6用可见光能产生康普顿效应吗？能观察到吗？参考答案可以从下面两个角度理解。（1）可见光的光子能量相对于X射线中的光子能量来说太小，与原子中的电子碰撞时，电子不能被认为是自由的，而是束缚在原子内，光子此时与整个原子碰撞，原子质量M很大，相应的波长改变量为cM比康普顿波长要小得多，所以可见光波长的变化太小而观察不到。（2）假设可见光的光子可以与固体中的自由电子发生散射，波长改变量A九还是应该与康普顿效应中的相同，是康普顿波长h九= =2.43x10-3nmcmc0它是10-3nm的数量级。但由于可见光的波长很长，是10-2nm的数量级，可算出波长改变量为人儿认为10-5的量级，故不容易观察到。18-7为什么对光电效应只考虑光子的能量的转化，而对康普顿效应则还要考虑光子的动量的转化？参考答案光电效应中，所用的光在可见光的波段。光子的能量与原子外层电子的能量同一数量级。固体中的电子还受到离子的相互作用，这一相互作用与光子的能量同一数量级，在碰撞过程中不能忽略。虽然总动量守恒，但电子还与其他离子有动量交换（或者说，电子吸收光子后又在晶体内经过弹性碰撞后才出射，因此出射的电子不能反映光子动量的转移）。在这样的碰撞过程中，一个光子是可以被一个电子完全吸收的。光子的能量虽然完全转移给电子，但光子的动量并没有全部转移给电子，有一部分动量转移给了晶体。要点：在这样的碰撞过程前电子不是自由的。在康普顿效应中，所用的光是X射线。光子的能量比原子外层电子的能量要大三个数量级。电子的动能和它与离子之间的相互作用能远小于光子的能量，在碰撞时可以忽略不计。所以，当X光光子与电子碰撞时，可以看作是光子与一个静止电子的碰撞。因此，康普顿效应是光子与自由电子之间的二体碰撞，这样的碰撞过程中，总能量和总动量都守恒，测光子的波长改变时要考虑到光子和电子之间的动量转移。并且由光子与自由电子之间的二体碰撞的动量守恒和能量守恒，可通过计算得到：一个光子不能被一个自由电子完全吸收。要点：在这样的碰撞过程前后电子是自由的。18-8光电效应和康普顿效应在对光的粒子性的认识方面，其意义有何不同？参考答案光电效应未涉及光子的动量，只说明普朗克所说的电磁场内的一份份的能量可在空间自由传播。或者说，电磁波在空中传播时，能量就是一份一份的，这样的能量子可被粒子整个地吸收。康普顿效应说明上述的能量子与粒子碰撞时遵守能量守恒定律和动量守恒定律，因此，能量子粒子性的表现就更为明确了。此时可以认为能量子就是一种粒子，这种粒子则称为光子。光子的能量越高，它的粒子性表现得就越明显；反之，光子的能量越低，它的波动性表现得就越明显。康普顿效应中所用的光子的能量比光电效应中所用的光子的能量要高三个数量级，所以在康普顿效应中，光子的粒子性表现得更为明显。18-9实物粒子的德布罗意波与电磁波有什么不同？解释描述实物粒子的波函数的物理意义。参考答案实物粒子的德布罗意波是反映粒子在空间各点分布的规律；电磁波反映的是电场强度与磁场强度在空间各点的分布。波函数绝对值的平方表示粒子在某处出现的概率密度。18-10若一个电子和一个质子具有同样的动能，哪个粒子的德布罗意波长较大？参考答案根据德布罗意关系可知，如果一个电子与一个质子具有同样的动能E，则质量m小的粒子，即k电子，有较大的德布罗意波长。这个例子说明，质量越大的物质，德布罗意波长越短，越不容易显现粒子效应。18-11如果普朗克常量hT0，对波粒二象性会有什么影响？如果光在真空中的速率cfg，对时间空间的相对性会有什么影响？参考答案h如果hT0，那么对于例子，其德布罗意波长九=—T0，不显现波动性。p另一方面，对于光子，其能量E=hT0，不显现粒子性。如果光速cfg，那么即使很高的运动速度也远小于光速，始终有：lfjl-v2c2f1，不显现相对论效应。18-12根据不确定关系，一个分子即使在0K，它能完全静止吗？参考答案根据不确定关系，一个分子即使在0K，也不能完全静止。如果一个分子完全静止，则违反不确定关系。静止表明它的运动速度v为零，动量的数值就是零，即p=mv=0相应地，动量的不确定度为零，即Ap=0另一方面，静止表明分子在空间上的位置x不变，它的位置不确定度也为零，Ax=0此时位置和动量可同时测准，即Ap・Ax=0违反不确定关系Ap•Ax>—218-13什么是波函数必须满足的标准条件？波函数归一化是什么意思？参考答案波函数必须满足的标准条件是单值、有限和连续。波函数归一化是指概率密度在全空间的积分为1，即I”（r）|2dr=1上式在物理上，是指在整个空间发现粒子的概率为1。因为只要在空间有一个粒子，遍及整个空间总是能找到这个粒子。18-15从图18-18分析，粒子在势阱中处于基态时，除边界外，它的概率密度为零的点有几处？在激发态中，概率密度为零的点又有几处？这种点的数目和量子数n有什么关系？参考答案粒子在势阱中处于基态时，除边界外，它的概率密度都不为零。在激发态中，量子数为n的状态的概率密度为零的点的个数是n-1。18-16本章讨论的势阱中的粒子处于激发态时的能量都是完全确定的，这意味着粒子处于这些激发态的寿命将为多长？它们自己能从一个态跃迁到另一个态吗？参考答案粒子所处的状态的能量是完全确定的，就是说在这样的态上能量E的不确定度为零，即AE=0能量的不确定度和寿命的不确定度At之间的不确定关系为九AE-At>2现在已知AE=0,就要求Atts，也就是说，粒子处于这些激发态的寿命是无限长。如果没有外界扰动，它们自己不能从一个态跃迁到另一个态。18-17为什么说原子内电子的运动状态用轨道来描述是错误的？参考答案如果用轨道的概念来描述一个粒子的运动，那么在每一个时刻，粒子的坐标x和动量p都是确定的。至少，它们的不确定度（或者它们的测量误差）Ax和Ap远小于相应的x和p，即Ax□x和Ap□p。如其中任一条件不满足，就不能使用轨道的概念。在原子内，可由量子力学算得，电子的波函数在原子核外的各处都有值，也就是说，在原子核外的各处都有发现电子的概率，电子出现的概率就像“电子云”那样弥散在整个原子（除核外）范围内。如果以原子核的坐标为原点，那么电子坐标x的不确定度Ax和x是同一数量级的。所以，原子内电子的运动状态，不能用经典的粒子位置随时间变化的概念来描述，因而也就没有轨道的概念。18-18n=3的壳层内有几个次壳层，各次壳层都可容纳多少个电子？参考答案原子内主量子数为n的壳层内可以有角量子数分别为l=0,1,2, ,n-1的n个次壳层，每个次壳层可容纳的电子数是2(21+1)个。对于n=3的壳层，有角量子数分别为1=0,1,2的3个次壳层，这3个次壳层可依次分别容纳2,6,10个电子。18-19处于基态的He原子的两个电子的量子数各是什么值？参考答案如果有多个电子但是忽略轨道与自旋之间的耦合，那么每个电子的状态由n,1,m,m这四个量子数决定。根据泡利不相容原理，任意两个电子都应该至1s少有一个量子数是不同的。处于基态的He原子的两个电子的量子数都是n=1，1=0，m=0。由1于前三个量子数相同，则第四个量子数必须不同，所以自旋磁量子数m分别是s2和-2。处于基态的He原子的两个电子的量子数分别为 (1,0,0^和(1,0,0,-〔)。2习题*18-1将星球看做绝对黑体，利用维恩位移定律测量九便可求得T。这是测m量星球表面温度的方法之一。设测得：太阳的九=0.55^m，北极星的九=mm

0.35卩m，天狼星的九=0.29pm，试求这些星球的表面温度。m解：将这些星球看成绝对黑体，则按维恩位移定律：九T=b,b=2.897x10-3m-Km对太阳：,二_b_对太阳：,二_b_i九m12.897x10-30.55x10-6二5.3x103K对北极星对天狼星m2T=±3对北极星对天狼星m2T=±3九m32.897x10-30.35x10-62.897x10-30.29x10-6二8.3x103K二1.0x104K*18-2用辐射高温计测得炉壁小孔的辐射出射度(总辐射本领)为22.8W-cm-2求炉内温度。解：炉壁小孔视为绝对黑体，其辐出度M(T)=22.8W-cm-2二22.8x104W-m-2B按斯特藩-玻尔兹曼定律：M(T)=bT4BT二4耳二严x104)14b 5.67x10-8x103=1.42x103K18-3从铝中移出一个电子需要4.2eV的能量，今有波长为2000A的光投射到铝表面。试问：由此发射出来的光电子的最大动能是多少?遏止电势差为多大?铝的截止(红限)波长有多大?解：⑴已知逸出功A=4.2eV

据光电效应公式hv=2mv2+A则光电子最大动能：1 hc据光电效应公式hv=2mv2+A则光电子最大动能：1 hc=—mv2=ho-A=—-—Akmax2 m 入=6心X1°—34X3X1°8—4.2x1.6x10—i92000x10-io二3.23x10-i9J二2.0eV(2)eU=Ea kmax1=—mv22m・•・遏止电势差=心X10—19=2.0V1.6x10—19⑶红限频率00，•沁0=A，又00c=r04.2x1.60x10-19x=虫-6-63x104.2x1.60x10-190A=2.96x10-7m=0.296卩m18-4钾的光电效应红限波长为九0=0・62pm，求：(1)钾的逸出功；(2)在波长x=330nm的紫外光照射下，钾的遏止电势差。hc解:(1)逸出功A=h= =2.01eV0x0(2)由光电效应方程hv=mv2+A和1mv2=eU，可得TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2m 2m aTT h A hc A .U= = = — =1.76Va e e ex e18-5能引起人眼视觉的最小光强约为10—12W/m2，如瞳孔的面积约为

0.5x10-4m2，计算每秒平均有几个光子进入瞳孔到达视网膜上。设光的平均波长为550nm。解：设单位时间内平均有N个光子进入瞳孔，则光强为NhNhc

二丁=卞每秒平均进入瞳孔的光子数为hc18-6入射的X射线光子的能量为0.60MeV。被自由电子散射后波长变化了20％。求反冲电子的动能。解：散射后光子波长增大，所以散射后光子的波长为九二1・2九°，其能量为hchchvEE= = =—°=—0-九1.2九1.2 1.20根据能量守恒，反冲电子的动能为E=E—EE=060=0.10MeV

e01.26618-7波长长0二0.708A的X射线在石蜡上受到康普顿散射，求在訥n方向上所散射的X射线波长各是多大？兀解：在申=—方向上:A九A九=九一九02h.申sm2—mc22x6.63x10-34 .兀sin9.11x10-31x3x108 4=2.43x10-12m=0.0243A散射波长九二九+A九二0.708+0.0248二0.732A0在P二兀方向上

A九二九一九二竺sin2?二竺二4.86x10-12m二0.0486A0mc2mc散射波长00散射波长X=X+AX=0.708+0.0486=0.756A018-8在康普顿散射中，入射光子的波长为0.030A,反冲电子的速度为0.60c,求散射光子的波长及散射角。解：反冲电子的能量增量为AE=AE=mc2一mc20—.0——一mc2=0.25mc2

v1-0.62 0 0由能量守恒定律，电子增加的能量等于光子损失的能量，由能量守恒定律，电子增加的能量等于光子损失的能量，hchc故有一 =0.25mc2故有九九 00散射光子波长X=h一0.25mcX006.63x10-34x0.030x10-10

6.63x10-34一0.25x9.1x10-31x3x108x0.030x10-10=4.3x10-12m=0.043A由康普顿散射公式AX=X-X=^—sin2—=2x0.0243sin2—

0mc2 20可得.2— 0.043一0.030 02675可得sm2 = =0.26752 2x0.0243散射角为18-9实验发现基态氢原子可吸收能量为12.75eV的光子。试问氢原子吸收光子后将被激发到哪个能级?受激发的氢原子向低能级跃迁时，可发出哪几条谱线?请将这些跃迁画在能级图上。

13.6eVn2解：（1）—13.6eV+12.75eV=—0.85eVn2解得或者n=4解得或者AE=Rhc（丄—丄）12 n2=136.（1—丄）=12.75n2解出n=4解出题16-12图(2)可发出谱线赖曼系3条，巴尔末系2条18-10以动能12.5eV的电子通过碰撞使氢原子激发时，最高能激发到哪一能级?当回到基态时能产生哪些谱线?解：设氢原子全部吸收12.5eV能量后，最高能激发到第n个能级，则解：E—E=Rhc［丄—丄］,n1 12 n2Rhc=13.6eV,即12.5=13.6［1—丄］n2得n=3.5，只能取整数，最咼激发到n=3，当然也能激发到n=2的能级.于是-11-8n从3—1:u=R———=—R,1 |_1232」99 9X= = =1.026x1O-7m=1026A1 8R8x1.097x107

n从2T1:U二R—122n从2T1:U二R—12223R二1216An从3T2:U二R—36365R=6563A2232题18-10图18-11处于基态的氢原子被外来单色光激发后发出巴尔末线系中只有两条谱线，试求这两条谱线的波长及外来光的频率。解：巴尔末系是由n>2的高能级跃迁到n=2的能级发出的谱线。只有二条谱线说明激发后最高能级是n=4的激发态。E=-13钳=_0.85eVTOC\o"1-5"\h\z4 ■/42E=-13.®；=-1.51eV3 32E=—13.6 =—3.4eV\o"CurrentDocument"2 22hcho=亍=E—E人nmheE—Enmhe九=aE—E326.63x10-34x3x3x1Qs(3.4—1.51)x1.60x10-19二6573x10-iom=6573A九= =6-二6573x10-iom=6573A九= =6-63x10-34x3x108 =4872A0E—E (3.4—0.85)x1.6x10-1942基态氢原子吸收一个光子hu被激发到n=4的能态hehu=E—E=4 1九hcV=二=(13・6一°85)x1・6x10-19=3.08x1015Hzh6.626x10-3418-12倍?当基态氢原子被12.09eV的光子激发后，其电子的轨道半径将增加多少解：E-E=13.6[1-丄]=12.09eVn1 n212A13.6—12.09=136n213.6 3n2= = ,n=3136.—12.09 1.5113.6=n2r,n2=9,r=9rn1轨道半径增加到9倍。18-13光子与电子的波长都是2.0A,它们的动量和总能量各为多少?解：由德布罗意关系：E=me2，p=mv=?波长相同它们的动量相等.p=-=6.63x10-34=3.3x10-24kg-m・s-1

九 2.0x10-10光子的能量he8=hu= =pe=3.3x10-24x3x108=9.9x10-16J=6.2x103eV尢电子的总能量E=\.；(ep)2+(m0e2)2,ep=6.2x103eV而 me2=0.51MeV=0.51x106eV0me2>>ep0E=-(ep)2+(me2)2=me2=0.51MeV

、 0 018-14解：为使电子的德布罗意波长为1X，需要多大的加速电压?18-14解：■vU二12.25/.加速电压 U=150伏18-15具有能量15eV的光子，被氢原子中处于第一玻尔轨道的电子所吸收，形成一个光电子。问此光电子远离质子时的速度为多大?它的德布罗意波长是多少?解：使处于基态的电子电离所需能量为13.6eV，因此，该电子远离质子时的动能为E=—mv2=k2 0 1它的速度为丰；2x1.4x1.6x10-19v=k= =7.0x105m-s-1m. 9.11x10-31其德布罗意波长为：=1.04x10-9m=10.4Aox=Jl= =1.04x10-9m=10.4Aomv9.11x10-31x7.0x10518-16已知中子的质量m=1.67x10-27kg，当中子的动能等于温度300K的n热平衡中子气体的平均动能时，其德布罗意波长为多少?解：m=1.67x10-27kg,h=6.63x10-34J-S,k=1.38x10-23J-K-1n3 p2中子的平均动能E=恳KT=$k2 2m德布罗意波长=1.456Ahh德布罗意波长=1.456A九= =—ZpQ3mkT18-17作一维运动的电子，其动量不确定量是AP二10-25kg-m-s-1，能将这x个电子约束在内的最小容器的大概尺寸是多少？解：由不确定度关系，得hAx> =5.3x1O-1om4^Ap18-18一个质量为m的粒子，约束在长度为L的一维线段上。试根据测不准关系估算这个粒子所具有的最小能量的值。解：按测不准关系，AxAp>h，Ap=mAv，则x x xmAmAxAv>h,Av>xxhmAx这粒子最小动能应满足Emin=—m(Emin=—m(Av)2> m( )22x2 mAxh22mAx2h22mL218-19从某激发能级向基态跃迁而产生的谱线波长为4000入，测得谱线宽度为10-4A，求该激发能级的平均寿命。解：光子的能量hc解：光子的能量hcE=心T由于激发能级有一定的宽度AE，造成谱线也有一定宽度A九，两者之间的关系为：hcAE= A九九2由测不准关系，AEA>h，平均寿命t=At，贝I」h 九2AE_CAX

= (4000x1。-10)2 =5.3x10-8s3x108x10-4x10-1018-20一波长为3000^的光子，假定其波长的测量精度为百万分之一，求该光子位置的测不准量。解：光子p解：光子p=-，Ap二k-k2从二由测不准关系，光子位置的不准确量为A丄上亠二3000二3x109A二30cmApA九Ak九 10-618-21有一宽度为a的一维无限深势阱，用测不准关系估算其中质量为m的粒子的零点能。解：位置不确定量为Ax=a，由测不准关系：hhAx-Ap>h，可得：AP> ,P>AP>——x xAxxxAxh2P2 h2 h2 hh2•-Ex=需> =亦’即零点能为盂n兀18-22宽度为a的一维无限深势阱中粒子的波函数为屮(x)=Asinx，求:a归一化系数A；在n=2时何处发现粒子的概率最大？解:⑴归一化系数卜8“「dx=Ja“2dx=1TOC\o"1-5"\h\z-g 0aa. n兀 ia a.n兀“n兀、即JaA2sin2 xdx= A2Jasin xd( x)0 a n兀0aaa .Ja 2n兀 n兀=A2J(1-cos x)d( x)2n兀0 a a= A2n兀=—A2=12n兀 2

粒子的波函数屮(x)=■2(2)当n=2时，屮粒子的波函数屮(x)=■2(2)当n=2时，屮二sinx2vaa几率密度w=北|2=?sin2兰x=丄[1-cos竺x]2aaa a4兀xa■2人dw 门 4兀.4k 门 .令——=0，即——sinx=0，即sindx aa4kx=k兀,k=0,1,2,a=0,，x=k-4又因0<x<a,k<4,a3.•.当x=和x=a4 4a当x=—时，w=0.2时w有极大值,a・