相交线与平行线综合提高

数学教案样例教案标题相交线与平行线综合提高教师姓名许琴学生姓名马文晴学科数学适用年级初二适用范围全国教学目标知识目标1.了解对顶角的概念，掌握其性质，并会用它们进行推理和计算．2.了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义．3.知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线．4.知道两直线平行同位角相等，并进一步探索平行线的特征．5.知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线．会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．6.掌握平行线的三个判定方法，并会用它们进行直线平行的推理．能力目标能应用平行线的性质解决一些简单的实际问题,培养学生应用数学分析、解决实际问题的能力.情感态度价值观培养学生主动探究知识，合作交流的意识，体验数学中的美，激发学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质。知识点两条直线平行的性质重难点重点：1.掌握关于相交线和平行线的一些基本事实；2.会借助三角尺上的直角或量角器画已知直线的垂线，用移动三角尺的方法画平行线。难点：利用对顶角的性质、平行线的特征、两直线平行的条件等进行推理和计算。学前准备知识要点：1.两条直线的位置关系（1）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：相交与平行．（2）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．2.几种特殊关系的角（1）余角和补角：如果两个角的和是直角，称这两个角互为余角．如果两个角的和是平角，称这两个角互为补角．（2）对顶角：①定义：一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角叫对顶角．②性质：对顶角相等．（3）同位角、内错角、同旁内角两条直线分别与第三条直线相交，构成八个角．①在两条直线之间并且在第三条直线的两旁的两个角叫做内错角．②在两条直线的同一侧并且在第三条直线同旁的两个角叫做同位角．③在两条直线之间并且在第三条直线同旁的两个角叫做同旁内角．3.主要的结论（1）垂线①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．②直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．（2）平行线的特征及判定平行线的判定平行线的特征同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行4.几个概念（1）垂线段：过直线外一点，作已知直线的垂线，这点和垂足之间的线段．（2）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度．5.几个基本图形（1）相交线型．①一般型（如图①）；②特殊型（垂直，如图②）．三线八角．①一般型（如图①）；②特殊型（平行，如图②）．典型例题例1.如图所示，已知FC∥AB∥DE，∠α∶∠D∶∠B＝2∶3∶4，求∠α、∠D、∠B的度数．分析：由条件∠α∶∠D∶∠B＝2∶3∶4．可以分别设出∠α、∠D、∠B，再根据题目给出的条件建立方程求解．解：设∠α＝2x，∠D＝3x，∠B＝4x．∵FC∥AB∥DE，∴∠2＋∠B＝180°，∠1＋∠D＝180°，∴∠2＝180°－4x，∠1＝180°－3x，又∵∠1＋∠α＋∠2＝180°，∴180°－3x＋2x＋180°－4x＝180°，∴5x＝180°，x＝36°，∴∠α＝2x＝72°，∠D＝3x＝108°，∠B＝4x＝144°．评析：解答这类计算题不仅要熟悉图形的性质，还要善于进行等量转化，把待求的角逐步和已知条件建立起联系来，当待求结论要经过复杂过程才能求得时，一定要思路清晰、叙述表达严密．

例2.如图所示，直线a∥b，则∠A＝__________．分析：已知条件a∥b能转化为三线八角，过A作AD∥a，那么已知的两个角可转换到顶点A（都用内错关系转化），可求∠A.由AD∥a，a∥b，可知AD∥b，由两直线平行内错角相等得：∠DAB＝∠ABE＝28°，∠DAE＝50°，∴∠EAB＝50°－28°＝22°．解：22°评析：用平行线三线八角把已知角转化成以A为顶点的角即可．

例3.已知：如图所示，DF∥AC，∠1＝∠2．试说明DE∥AB.分析：要说明DE∥AB，可以证明∠1＝∠A，而由DF∥AC，有∠2＝∠A，又因为∠1＝∠2，故有∠1＝∠A，从而结论成立．解：∵DF∥AC（已知），∴∠2＝∠A（两直线平行，同位角相等）．∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠A（等式性质），∴DE∥AB（同位角相等，两直线平行）．评析：说明两直线平行的方法有：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一条直线的两条直线互相平行；⑤垂直于同一条直线的两条直线互相平行．

例4.试说明：两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的平分线互相平行．分析：先根据题意画出图形，标注字母，找出已知条件和问题，再进行说明．解：已知：如图所示，AB∥CD，EF分别交AB、CD于G、H，GM、HN分别平分∠BGF、∠EHC.说明GM∥HN．∵GM、HN分别平分∠BGF、∠EHC（已知），∴∠1＝∠BGF，∠2＝∠EHC（角平分线定义）．∵AB∥CD，∴∠BGF＝∠EHC（两直线平行，内错角相等）．∴∠1＝∠2．∴GM∥HN（内错角相等，两直线平行）．评析：（1）上题把内错角平分线改为同位角平分线，原结论也成立，请同学们自己试着解一解．（2）此题为文字题，首先应根据题意画出图形，再根据已知条件和结论结合图形写出解题过程．

例5.如图所示，已知CE∥DF，说明∠ACE＝∠A＋∠ABF．分析：结论中∠ACE，∠A与∠ABF在三个顶点处，条件CE∥DF不能直接运用，结论形式启示我们用割补法，即构造一个角等于∠A＋∠ABF，因此想到在点A处补上一个∠GAB＝∠ABF，只要GA∥DF即可，同时可得GA∥CE，∠GAC＝∠ACE，结论便成立．解：过A作AG∥DF，∴∠GAB＝∠ABF（两直线平行，内错角相等）又∵AG∥DF，CE∥DF（已知）∴AG∥CE（平行于同一直线的两条直线互相平行）∴∠GAC＝∠ACE（两直线平行，内错角相等）又∵∠GAC＝∠BAC＋∠GAB（已知）∴∠ACE＝∠BAC＋∠ABF（等量代换）．评析：（1）割补法是一种常用方法．（2）此题还可以过点C作一条直线与AB平行，把∠ACE分成两个角后，分别说明这两个角与∠A、∠ABF相等．

例6.解放战争时期，有一天江南某游击队在村庄A点出发向正东行进，此时有一支残匪在游击队的东北方向B点处（如图所示，残匪沿北偏东60°角方向，向C村进发．游击队步行到A’处，A’正在B的正南方向上，突然接到上级命令，决定改变行进方向，沿北偏东30°方向赶往C村．问游击队进发方向A’C与残匪行进方向BC至少是多少角度时，才能保证C村村民不受伤害？分析：如图可知A’C与BC的夹角最小值是∠BCA’．本题关键是引辅助线，延长A’B到D，过C作CE∥A’D，通过平行线特征来求解．解：根据题意∠DBC＝60°，∠BA’C＝30°．过点C作CE∥A’B，则∠BCE＝∠DBC＝60°，∠A’CE＝∠BA’C＝30°．∴∠BCA’＝∠BCE－∠A’CE＝60°－30°＝30°．夹角至少为30°时才能保证C村村民不受伤害．评析：本题较综合地运用了角、方位角、平行线的有关知识．

【方法总结】1.方程的思想几何图形中常见一些已知线段、角，而要求未知线段和角，我们可以把它们分别视为已知量、未知量，用方程的思想方法求解．2.比较的思想方法利用比较这一思想方法，分清易混概念和性质，加深对概念性质的理解和认识．例如平行线的性质是理解判定定理时最易混淆的，学习时，可通过比较其异同弄清它们的区别和联系．3.推理的方法推理是一个思维形式，它是从一个或几个判断得出新判断的思维形式．推理时要时刻明确最终目标，最后推出结论，推理过程要步步有根据，不能“想当然”，推理的根据，可以是已知条件、定义、性质、基本事实等．

【模拟试题】（答题时间：60分钟）一.选择题1.如图所示，下列说法中正确的是（）A.图中没有同位角、内错角、同旁内角B.图中没有同位角和内错角，但有一对同旁内角C.图中没有内错角和同旁内角，但有三对同位角D.图中没有同位角和内错角，但有三对同旁内角2.一条公路两次转弯后又回到原来的方向（即AB∥CD，如图），如果第一次转弯时的∠B＝140°，那么，∠C应是（）A.140° B.40° C.100° D.180°3.如图所示，下列说法正确的是（）A.若AB∥CD，则∠B＋∠A＝180°B.若AD∥BC，则∠B＋∠C＝180°C.若AB∥CD，则∠B＋∠D＝180°D.若AD∥BC，则∠B＋∠A＝180°4.如图所示，要得到DE∥BC，需要条件（）A.CD⊥AB，GF⊥AB B.∠DCE＋∠DEC＝180°C.∠EDC＝∠DCB D.∠BGF＝∠DCB5.如图所示，AB⊥AC，AD⊥BC，DE∥AB，则∠CDE与∠BAD的关系是（）A.互余 B.互补 C.相等 D.不能确定6.如图所示，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A＝110°，则∠ECD的度数等于（）A.110° B.70° C.55° D.35°*7.两条平行线被第三条直线所截，角平分线互相垂直的是（）A.内错角 B.同旁内角 C.同位角 D.内错角或同位角**8.学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图（1）～（4））：从图中可知，小敏画平行线的依据有：（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．（）A.①② B.②③ C.③④ D.①④

二.填空题1.如图所示，A、B之间是一座山，一条铁路要通过A、B两地，在A地测得B地在北偏东70°，如果A、B两地同时开工修建铁路，那么在B地应按__________方向开凿，才能使铁路在山腹中准确接通．2.如图所示，A、C、B在同一直线上，DC⊥CE于C，∠ACD＝53°，则∠BCE＝_______．3.如图所示，四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠D＝72°，则∠BCD＝__________．*4.如图所示，AB∥CD、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝__________．5.如图所示，a∥b，∠1＝3∠2，则∠1＝__________，∠2＝__________．*6.已知，如图，AD与BC相交于点O，AB∥CD，如果∠B＝20°，∠D＝40°，那么∠BOD为__________度．7.如图所示，若AE∥BD，那么相等的角有__________；若AB∥EC，那么互补的角有__________．**8.设a、b、c为平面内三条不同的直线．（1）若a∥b，c⊥a，则c与b的位置关系是__________；（2）若c⊥a，c⊥b，则a与b的位置关系是__________；（3）若a∥b，a∥c,则c与b的位置关系是__________．

三.解答题1.如图所示，已知AB⊥BC，BC⊥CD，∠1＝∠2，试判断BE与CF的关系，并说明理由．2.如图所示，已知AB∥CD，直线EF⊥CD于F，∠1＝2∠2，求∠2的度数．*3.如图所示，已知AB∥DE，∠ABC＝60°，∠CDE＝140°，求∠BCD的度数．4.如图所示，小刚准备在C处牵牛到河边AB饮水．（1）请用三角板作出小刚的最短路线（不考虑其他因素）；（2）如图乙，若小刚在C处牵牛到河边AB饮水，并且必须到河边D处观察河水的水质情况，请作出小刚行走的最短路线（不写作法，保留作图痕迹）．典型例题例1如图2－45是梯形的有上底的一部分，已知量得∠A=115°，∠D=100°，梯形另外两个角各是多少度？图2－45分析：已知是梯形，可知它的上、下两底平行，要求另外两个角的度数，直接应用平行线的特征即可求出.115°=65°,∠C=180°－100°=80°梯形的另外两个角分别是65°、80°.例2已知，如图2－46，直线a∥b,c∥d,∠1=70°,求∠2、∠3的度数.图2－46分析：这是平行线的特征的应用的计算题，要注意格式.解：∵a∥b(已知)，∴∠2=∠1=70°(两直线平行，内错角相等)∵c∥d(已知)，∴∠3=∠2=70°(两直线平行，同位角相等)参考例题[2.2.1探索直线平行的条件(一)]［例1］若∠1=52°，如图2－18，问应使∠C为多少度时，能使直线AB∥CD？图2－18分析：要使直线AB∥CD，则需使同位角相等，即∠1=∠C.这样即可求出.解：若∠1=52°，当∠C=52°时，直线AB∥CD.［例2］如图2－19，若∠1=∠4，∠1+∠2=180°，则AB、CD、EF的位置关系如何？图2－19分析：由已知∠1=∠4，可知：AB∥EF，∴可猜想：AB∥CD∥EF.由图中可知：∠2+∠3=180°,而已知：∠1+∠2=180°.∴由同角的补角相等可得∠1=∠3,这样得到AB∥CD.由“两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线平行”可得：AB∥CD∥EF.解：→AB∥CD∥EF.二、参考练习1.如图2－20，∠1=45°，∠2=135°，则l1∥l2吗？为什么？解：平行.∵∠1+∠3=180°,∠1=45°.∴∠3=135°，又∵∠2=135°.∴∠2=∠3,因此l1∥l2.图2－20图2－212.如图2－21，∠1=120°，∠2=60°，问直线a与b的关系？解：直线a与b平行.∵：∠2+∠3=180°,∠2=60°,∴∠3=120°,又∵∠1=120°.∴