一元二次方程的应用

“一元二次方程的应用--面积问题”教学设计教材分析“一元二次方程的应用”是湘教版九年级上册第二单元一元二次方程第五节的内容。之前我们学习过一元一次方程、二元一次方程组、分式方程的解法及应用，它们都对本单元的学习做好了过程结构的铺垫和方法的迁移。本节课从最基础最简单的面积问题入手进行深入研究，学生相对比较熟悉。通过本节课的学习，将指导学生建立数学与生活的沟通，使学生不仅对一元二次方程的解法加以巩固，而且会用列一元二次方程的方法解决面积问题，同时体验方程解的合理性。该内容的学习也将为今后学习其他类型的应用题打好基础，更为将来学习二次函数解决实际问题做好过渡。因此，它具有承上启下的作用。学生分析应用题的学习是体现数学与生活密不可分的重要内容之一，学生在此之前有了一定的基础，了解到列方程解应用题的过程结构，但是，从大部分学生的整体感知情况看，列方程解应用题是学习中的一个难点。难点主要反映在两个方面：其一是分析题意找等量关系，其二是因生活经验不足，导致学生数学问题和生活问题间不能有机地勾连。所以，教学中我们要从学生已有的经验出发，让学生经历“问题情境引入--找等量关系--建立方程模型--解决实际问题”这一程序化的过程，培养学生审题能力，找等量关系的方法，以及方法辨析选择的灵活性和思维能力的培养。通过不同问题的过程对照，不断提升学生深度研究问题的意识和敢于迎接挑战的信心，达到努力发现数学本质的顶层目标，初步培养起学生认真、严谨、执着、深思考的学习品质和数学核心素养的形成。教学目标1.会列一元二次方程解决实际问题，并能理解方程解的实际意义。2.经历花园中小路的设计，体会数学问题的生活化，初步发展学生的运算能力、思维能力，并体验一元二次方程的建模思想。3.在探索交流、合作学习过程中，培养学生主动探究、深度思考的学习品质，学会智慧生活。教学重难点重点：建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题。难点：面积问题中的等量关系分析。教学过程一、复习导入列方程解应用题的基本步骤：①审(审题)②设(设元)③列(列方程)④解(解方程)⑤验(检验)⑥答(总结)设计意图：让学生回忆一元二次方程的解法及注意事项，列方程解应用题的步骤。梳理方程的知识结构，引出课题。二、合作探究【探究一】模型一在一个长为40cm，宽为28cm的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形，焊接成一个无盖的长方体盒子，要求长方体盒子的底面积为364cm2，应截去的小正方形的边长为多少？分析：数量关系：盒子底面积=盒子的长×盒子的宽设：截去的小正方形的边长为xcm,则无盖长方体盒子长为：（40-2x）cm,宽为（28-2x）cm.可列方程为：答：截去的小正方形的边长为7cm。设计意图：用一个带有情境的问题导入，目的是激发学生学习兴趣。【探究二】探究活动一：设计方案为美化校园，现学校举行道路设计比赛，准备在一块长32m,宽20m的矩形场地上修筑进出口宽度相同的两条道路（不一定是直的），可以有重合部分，余下的设计成绿地，要求绿地面积为540m2，经过评委重重筛选，选出三幅作品，学校请大家计算下设计方案中道路的进出口宽度。（注意设计的合理性和美观性）设计意图：通过让学生设计花园中小路，打通数学与生活的链接，让学生在丰富多样的设计中发散思维，通过方法的多样性呈现渗透思考问题的多重角度，经过归纳提炼生成用平移的方法打通找到小路与矩形花园的边之间的关联，实现一般图形向特殊图形的转化。作品一：根据赛制结合作品一，整理成数学问题。如图,长为32m,宽为20m的矩形地面上修建有进出口宽度相同的道路(图中阴影部分),余下部分进行了绿化.若已知绿化面积为540m2,求道路进出口的宽度.分析：虽然“整个矩形的面积-道路所占面积=绿化面积”，但道路不是规则图形，因此不便于计算!若把道路平移，则可得到图2-5，此时绿化就成了一个新的矩形了，再由本问题涉及的等量关系:矩形的面积=矩形长x矩形的宽，就可建立一个一元二次方程。解：设道路的进出口宽为x米，则则新矩形的长为(32-x)m，宽为(20-x)m.整理得：解得：（不符合题意，舍去）答：所求道路的进出口宽为2米。设计意图：用一个带有情境的问题导入，目的是激发学生学习兴趣。作品二：举一反三条件不变，列出方程：作品三，平移不仅可以移道路还可以移绿地，并列出方程。设计意图：通过对学生呈现的方案的有机处理，让学生体会变不规则为规则的有效路径。这样，自然实现化零为整、化繁为简、化难为易、化曲为直合理转化，在体验动态生成的过程中体悟数学学习的灵活性和成就感。【探究三】练习某单位准备将院内一块长30m、宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修建两条纵向和一条横向的小道，剩余的地方种植花草如图所示.要使种植花草的面积为532m，那么小道进出口的宽度应为多少米?(注:所有小道进出口的宽度相等.)学生独立完成，展示学生作业，并指导。设计意图：在学生的合作探究中，根据自己的实际情况，选则要解决的问题，并探究。三、归纳总结1、注意检验解一元二次方程的根的合理性和正确性。2、数学思想：通过平移将不规则图像转化成规则图形，化零为整得到一个新图形找到等量关系，列出方程求解。四、作业布置：必做题：教材第57页第9题选做题：教材第57页第11题及变图3、4.设计意图：通过变式题的训练，加深学生印象，了解学生掌握情况板书设计一元二次方程的应用-------面积问题解设：截去的小正方形的边长为xcm,则无盖长方体盒子长为：（40-2x）cm,宽为（28-2x）c