高中数学高考 2021届高三大题优练2 数列（文） 学生版

数列数列大题优练2优优选例题例1．已知数列的前项和为，且，，3成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）证明：对一切的正整数，有．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）因为，，3成等差数列，所以，①当时，，得；当时，，②①②，可得，即，即，所以是以3为首项，2为公比的等比数列，所以．（2）由（1）得，所以．例2．已知正项等比数列的前项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，当时，，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵数列正项等比数列，设公比为，且，，即，又，，解得或(舍)，又，．（2），，所以，当时也适合此式，所以．例3．已知数列是等差数列，其前n项和为，且，．数列为等比数列，满足，．（1）求数列，的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前n项和．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）设数列的公差是d，数列是的公比是q，由题意得，所以，所以；∴，，∴，∴．（2）由（1）知，∴．例4．已知等差数列的公差，且，数列是各项均为正数的等比数列，且满足，．（1）求数列与的通项公式；（2）设数列满足，其前项和为．求证：．【答案】（1），；（2）证明见解析．【解析】（1）解：由，且，∴，解得．故．∵为等比数列，，设公比为，则，∴，∴，∴，，所以，．（2）证明：由（1）得，∴①，∴②，∴由①②得，∴，∴，∴．

模拟模拟优练1．从条件①；②数列为等比数列，，中任选一个，补充在下面的问题中：已知为正项数列，为的前项和，_________．（1）求数列的通项公式；（2）设，记为的前项和，证明：．2．已知等比数列满足：，．（1）求的通项公式；（2）令，其前项和为，若的最大值．3．已知数列为等比数列，，其中，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，，求数列的前项和．4．已知正项等差数列的前项和为，，若，，构成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：．5．已知数列是公差为2的等差数列，它的前项和为，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和．6．在①已知数列满足：，，②等比数列中，公比，前5项和为62，这两个条件中任选一个，并解答下列问题．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，若对恒成立，求正整数的最大值．7．已知数列的前项和是，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列由组成，求的前项和．8．已知数列中，，其中，且．从条件①，与条件②，且中选择一个，结合如上的已知条件，完成下面的问题．（1）求、、，并猜想；（2）求数列的前项和．

参考参考答案1．【答案】条件选择见解析，（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）选择①：①②①②，得，，当时，，，数列是以4为首项，为公比的等比数列，．选择②：设正项等比数列的公比为，由题意知，，，即，或(舍)，又，，．（2）由（1）知：，数列是以2为首项，为公比的等比数列，，．2．【答案】（1）；（2）．【解析】由题意，两式相除可得，所以，解得，即的通项公式为．（2），，，因为，，当且仅当，即时等号成立，所以，得，所以的最大值为．3．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设数列的公比为，因为，所以，，因为是和的等差中项，所以，所以，化简得，因为公比，所以，所以，所以．（2）因为，所以，，所以，即．4．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）由为等差数列，，得，则，又，，构成等比数列，所以，即，解得或(舍)，所以．（2）因为，所以．5．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为数列是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，所以，则，解得，所以．（2）由（1）可得，，所以，①则，②①-②，得，所以，因此．6．【答案】选择条件①（1）；（2）2022；选择条件②（1）；（2）2022．【解析】（1）选择条件①，设等数列的首项为，公比为，依题意，得为等比数列，所以，，解之得，∴．选择条件②，设等比数列的首项为，公比，前5项和为62，依题意，，解之得，∴．（2）因为，所以①②1－②，得，所以．因为，所以数列单调递增，最小，最小值为．所以，所以，故正整数的最大值为2022．7．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）依题意：当时，有，又，故，①，当时，有②，①②，得，化简得，是以1为首项，2为公比的等比数列，．（2）当为偶数时，；当为奇数时，，．8．【答案】（1）条件选择见解析：，，，猜想；（2）．【解析】（1）选择