平面简谐波的波函数课件

1一平面简谐波的波函数

设有一平面简谐波沿轴正方向传播，波速为，坐标原点

处质点的振动方程为

沿轴正方向传播的平面简谐波的波函数，又称波动方程.1一平面简谐波的波函数设有一平面简谐波沿2波动方程的几种不同形式：周期频率波长波数T和ω是由振源决定的。λ和u是由介质决定的。2波动方程的几种不同形式：周期3波在某点的相位反映该点媒质的“运动状态”。所以简谐波的传播也是媒质振动相位的传播。——相速度（相速）设t时刻x处的相位经dt传到（x+dx）处，则应有于是得到

即简谐波的波速就是相速。为波的相位。3波在某点的相位反映该点媒质的“运动状态”。所以简谐波的传播4∴0x沿波传播方向每增加的距离，相位落后2。说明：4∴0x沿波传播方向每增加的距离，相位落后2。说明5体积元的振动速度，加速度体积元的振动速度和波的传播速度是完全不同的，二者之间没有必然联系。注意5体积元的振动速度，加速度体积元的振动速度和波的传播速度是完6二波函数的物理含义（波具有时间的周期性）

则令1一定，

变化

表示点处质点的振动方程（的关系）6二波函数的物理含义（波具有时间的周期性）则令17令（定值）则

y

o

x2

一定变化

该方程表示时刻波传播方向上各质点的位移,即时刻的波形（的关系）7令（定值）则y2一定8

方程表示在不同时刻各质点的位移，即不同时刻的波形，体现了波的传播.O3、都变8方程表示在不同时刻各质点的位移，即不同时刻的9OPx4沿

轴方向传播的波动方程

故点的振动方程（波动方程）为：9OPx4沿轴方向传播的波动方程故10从形式上看：波动是波形的传播.从实质上看：波动是振动的传播.

对波动方程的各种形式，应着重从物理意义上去理解和把握.

已知坐标原点O的振动方程，求解波动方程总结若点P的振动超前于点O，则波动方程为若点P的振动落后于点O，则波动方程为10从形式上看：波动是波形的传播.从实质上看：波动是振动的传111.已知坐标原点O的振动方程，求解波动方程总结若点P的振动超前于点O，则波动方程为若点P的振动落后于点O，则波动方程为已知振动方程，求解波动方程2.已知任意一点Q的振动方程，求解波动方程方法一利用点Q的振动方程和距点O的距离求解O

点振动方程后，利用1中的方法求波动方程。方法二考察点P的振动相对于Q点是超前还是落后的，直接利用来求波动方程。111.已知坐标原点O的振动方程，求解波动方程总结若点P的振12总结一般情况下求解波动方程：3.初相位φ的求解主要是由振源或坐标原点的初始状态给出。2.波动振幅=各质点振动振幅由最大速度和最大加速度给出

由初始条件给出

1.T，u，λ，ω这四个量中只要知道其中两个就可以求出其他。12总结一般情况下求解波动方程：3.初相位φ的求解主要是由13能量(1)在波动传播的介质中，任一体积元的动能、势能、总机械能均随t作周期性变化，且变化是同相位的。体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大；体积元的位移最大时，三者均为零。13能量(1)在波动传播的介质中，任一体积元的动能、势能、总14振动系统：系统与外界无能量交换。波动体积元：每个质元都与周围媒质交换能量。(2)在平面简谐波中，同一体积元每时每刻都具有相同的动能和势能，每一体积元都在不断地接收和放出能量因此任一体积元的机械能不守恒。这是参与波动的体积元不同于孤立振动系统的一个重要特点。波动是能量传递的一种方式。14振动系统：系统与外界无能量交换。波动体积元：每个质元都与15能量密度：单位体积介质中的波动能量

平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值xOxO15能量密度：单位体积介质中的波动能量平均能量密度：16二能流和能流密度

能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量.平均能流(波的功率)：udtS→能流波的传播→能量传播16二能流和能流密度能流：单位时间内垂直通过某一17能流密度

(波的强度)I:

通过垂直于波传播方向的单位面积的平均能流.

SuwP=udtS—介质“特性阻抗”17能流密度(波的强度)I:通过垂直于波传播18

某些点振动始终加强，另一些点振动始终减弱或完全抵消.

(2)干涉现象满足干涉条件的波称相干波.(1)干涉条件①频率相同；②振动方向相同；③有固定的相位差。波的干涉18某些点振动始终加强，另一些点振动始终减弱或完全抵19波源振动点P的两个分振动(3)干涉现象的定量讨论*19波源振动点P的两个分振动(3)干涉现象的定量讨论*20定值*20定值*21合振幅最大当合振幅最小当位相差决定了合振幅的大小.干涉的位相差条件讨论21合振幅最大当合振幅最小当位相差决定了合振幅的大小.22位相差加强减弱称为波程差（波走过的路程之差）则如果即相干波源S1、S2同位相22位相差加强称为波程差（波走过的路程之差）则如果23

将合振幅加强、减弱的条件转化为干涉的波程差条件，则有当时（半波长偶数倍）合振幅最大当时（半波长奇数倍）

合振幅最小

干涉的波程差条件23将合振幅加强、减弱的条件转化为干涉的波程差条件，24驻波方程正向负向相位中无x其绝对值为振幅——不具备传播的特征24驻波方程正向负向相位中无x其绝对值为振幅——不具25

驻波方程讨论10

(1)振幅随x

而异,与时间无关25驻波方程讨论10(1)振幅26a

当为波节(的奇数倍)为波腹b

当时(的偶数倍)时26a当为波节(的奇数倍)为波腹b当时(27相邻波腹（节）间距相邻波腹和波节间距

结论有些点始终不振动,有些点始终振幅最大(2)

相位分布结论一相邻两波节间各点振动相位相同结论二一波节两侧各点振动相位相反27相邻波腹（节）间距相邻波腹和波节间距28

当波从波疏介质垂直入射到波密介质,被反射到波疏介质时形成波节.

入射波与反射波在此处的相位时时相反,即反射波在分界处产生的相位跃变，相当于出现了半个波长的波程差，称半波损失.三相位跃变（半波损失）28当波从波疏介质垂直入射到波密介质,被反射到波疏介29

驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化，在相邻的波节间发生动能和势能间的转换，动能主要集中在波腹，势能主要集中在波节，但无能量的定向传播.驻波的能量29驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化，在相邻的30五振动的简正模式这种振动方式称为弦线振动的简正模式.

两端固定的弦线形成驻波时，波长和弦线长应满足,30五振动的简正模式这种振动方式称为弦线振动的简正模式.31一平面简谐波的波函数

设有一平面简谐波沿轴正方向传播，波速为，坐标原点

处质点的振动方程为

沿轴正方向传播的平面简谐波的波函数，又称波动方程.1一平面简谐波的波函数设有一平面简谐波沿32波动方程的几种不同形式：周期频率波长波数T和ω是由振源决定的。λ和u是由介质决定的。2波动方程的几种不同形式：周期33波在某点的相位反映该点媒质的“运动状态”。所以简谐波的传播也是媒质振动相位的传播。——相速度（相速）设t时刻x处的相位经dt传到（x+dx）处，则应有于是得到

即简谐波的波速就是相速。为波的相位。3波在某点的相位反映该点媒质的“运动状态”。所以简谐波的传播34∴0x沿波传播方向每增加的距离，相位落后2。说明：4∴0x沿波传播方向每增加的距离，相位落后2。说明35体积元的振动速度，加速度体积元的振动速度和波的传播速度是完全不同的，二者之间没有必然联系。注意5体积元的振动速度，加速度体积元的振动速度和波的传播速度是完36二波函数的物理含义（波具有时间的周期性）

则令1一定，

变化

表示点处质点的振动方程（的关系）6二波函数的物理含义（波具有时间的周期性）则令137令（定值）则

y

o

x2

一定变化

该方程表示时刻波传播方向上各质点的位移,即时刻的波形（的关系）7令（定值）则y2一定38

方程表示在不同时刻各质点的位移，即不同时刻的波形，体现了波的传播.O3、都变8方程表示在不同时刻各质点的位移，即不同时刻的39OPx4沿

轴方向传播的波动方程

故点的振动方程（波动方程）为：9OPx4沿轴方向传播的波动方程故40从形式上看：波动是波形的传播.从实质上看：波动是振动的传播.

对波动方程的各种形式，应着重从物理意义上去理解和把握.

已知坐标原点O的振动方程，求解波动方程总结若点P的振动超前于点O，则波动方程为若点P的振动落后于点O，则波动方程为10从形式上看：波动是波形的传播.从实质上看：波动是振动的传411.已知坐标原点O的振动方程，求解波动方程总结若点P的振动超前于点O，则波动方程为若点P的振动落后于点O，则波动方程为已知振动方程，求解波动方程2.已知任意一点Q的振动方程，求解波动方程方法一利用点Q的振动方程和距点O的距离求解O

点振动方程后，利用1中的方法求波动方程。方法二考察点P的振动相对于Q点是超前还是落后的，直接利用来求波动方程。111.已知坐标原点O的振动方程，求解波动方程总结若点P的振42总结一般情况下求解波动方程：3.初相位φ的求解主要是由振源或坐标原点的初始状态给出。2.波动振幅=各质点振动振幅由最大速度和最大加速度给出

由初始条件给出

1.T，u，λ，ω这四个量中只要知道其中两个就可以求出其他。12总结一般情况下求解波动方程：3.初相位φ的求解主要是由43能量(1)在波动传播的介质中，任一体积元的动能、势能、总机械能均随t作周期性变化，且变化是同相位的。体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大；体积元的位移最大时，三者均为零。13能量(1)在波动传播的介质中，任一体积元的动能、势能、总44振动系统：系统与外界无能量交换。波动体积元：每个质元都与周围媒质交换能量。(2)在平面简谐波中，同一体积元每时每刻都具有相同的动能和势能，每一体积元都在不断地接收和放出能量因此任一体积元的机械能不守恒。这是参与波动的体积元不同于孤立振动系统的一个重要特点。波动是能量传递的一种方式。14振动系统：系统与外界无能量交换。波动体积元：每个质元都与45能量密度：单位体积介质中的波动能量

平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值xOxO15能量密度：单位体积介质中的波动能量平均能量密度：46二能流和能流密度

能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量.平均能流(波的功率)：udtS→能流波的传播→能量传播16二能流和能流密度能流：单位时间内垂直通过某一47能流密度

(波的强度)I:

通过垂直于波传播方向的单位面积的平均能流.

SuwP=udtS—介质“特性阻抗”17能流密度(波的强度)I:通过垂直于波传播48

某些点振动始终加强，另一些点振动始终减弱或完全抵消.

(2)干涉现象满足干涉条件的波称相干波.(1)干涉条件①频率相同；②振动方向相同；③有固定的相位差。波的干涉18某些点振动始终加强，另一些点振动始终减弱或完全抵49波源振动点P的两个分振动(3)干涉现象的定量讨论*19波源振动点P的两个分振动(3)干涉现象的定量讨论*50定值*20定值*51合振幅最大当合振幅最小当位相差决定了合振幅的大小.干涉的位相差条件讨论21合振幅最大当合振幅最小当位相差决定了合振幅的大小.52位相差加强减弱称为波程差（波走过的路程之差）则如果即相干波源S1、S2同位相22位相差加强称为波程差（波走过的路程之差）则如果53

将合振幅加强、减弱的条件转化为干涉的波程差条件，则有当时（半波长偶数倍）合振幅最大当时（半波长奇数倍）

合振幅最小

干涉的波程差条件23将合振幅加强、减弱的条件转化为干涉的波程差条件，54驻波方程正向负向相位中无x其绝对值为振幅——不具备传播的特征24驻波方程