恒定电场的基本方程和边界条件课件

1第3章静态电磁场及其边值问题的解1第3章静态电磁场及其边值问题的解2第三章静态电磁场及其边值问题的解3.1静电场分析（3.1.3，3.1.5不要求，3.1.4简介）3.2恒定电场分析（3..2.2不要求）3.3恒定磁场分析（3.3.3，3.3.5不要求，3.3.4简介）3.4唯一性定理3.5镜像法（3.5.3，3.5.4不要求）3.6分离变量法（3.6.3不要求）3.7不要求。2第三章静态电磁场及其边值问题的解3本章内容

3.1

静电场分析

3.2

导电媒质中的恒定电场分析

3.3

恒定磁场分析

3.4

静态场的边值问题及解的惟一性定理

3.5

镜像法

3.6

分离变量法

静态电磁场：场量不随时间变化，包括：

静电场、恒定电场和恒定磁场

时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立

3本章内容静态电磁场：场量不随时间变化，包括：时变情43.1静电场分析

本节内容

3.1.1

静电场的基本方程和边界条件

3.1.2

电位函数

3.1.3

导体系统的电容与部分电容

3.1.4

静电场的能量

3.1.5

静电力43.1静电场分析52.边界条件微分形式：本构关系：1.基本方程积分形式：或或3.1.1静电场的基本方程和边界条件若分界面上不存在面电荷，即，则法向:从2指向152.边界条件微分形式：本构关系：1.基本方程积分形6介质2介质1

在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的边界条件为

或

场矢量的折射关系

导体表面的边界条件6介质2介质1在静电平衡的情况下，导体内部的电场为07由即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数称为静电场的标量电位或简称电位。1.电位函数的定义3.1.2

电位函数7由即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数称为82.电位的表达式对于连续的体分布电荷，由同理得，面电荷的电位：故得点电荷的电位：线电荷的电位：82.电位的表达式对于连续的体分布电荷，由同理得，面电93.电位差两端点乘，则有将上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得关于电位差的说明

P、Q两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q点所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。电位差也称为电压，可用U表示。电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。P、Q两点间的电位差电场力做的功93.电位差两端点乘，则有将上式两边从点P到点Q10

静电位不惟一，可以相差一个常数，即选参考点令参考点电位为零电位确定值(电位差)两点间电位差有定值

选择电位参考点的原则

应使电位表达式有意义。应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无限远作电位参考点。同一个问题只能有一个参考点。4.电位参考点

为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即10静电位不惟一，可以相差一个常数，即选参考点令参考11在均匀介质中，有5.

电位的微分方程在无源区域，标量泊松方程拉普拉斯方程11在均匀介质中，有5.电位的微分方程在无源区域，标量泊松12

例3.1.1

求电偶极子的电位.

解

在球坐标系中用二项式展开，由于，得代入上式，得

表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。+q电偶极子zod－q12例3.1.1求电偶极子的电位.解13将和代入上式，解得E线方程为

由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度等位线电场线电偶极子的场图

电场线微分方程：

等位线方程：13将和代入上式，解得E线方程为由球坐标系中146.静电位的边界条件

设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为1和2。当两点间距离Δl→0时导体表面上电位的边界条件：由和媒质2媒质1

若介质分界面上无自由电荷，即常数，146.静电位的边界条件设P1和P2是介15

如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。

静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。

静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有能量。

任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立(或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而做功。3.1.4静电场的能量

15如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐161.电场能量密度

从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。

电场能量密度：

电场的总能量：积分区域为电场所在的整个空间

对于线性、各向同性介质，则有161.电场能量密度从场的观点来看，静电场的能量173.2导电媒质中的恒定电场分析

本节内容

3.2.1恒定电场的基本方程和边界条件

3.2.2恒定电场与静电场的比拟

3.2.3漏电导173.2导电媒质中的恒定电场分析本节内容18

由J＝E可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场。

恒定电场与静电场的重要区别：（1）恒定电场可以存在于导体内部。（2）恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。

恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。3.2.1恒定电场的基本方程和边界条件18由J＝E可知，导体中若存在恒定电流，则必有维191.基本方程

恒定电场的基本方程为微分形式：积分形式：

恒定电场的基本场矢量是电流密度和电场强度

线性各向同性导电媒质的本构关系

恒定电场的电位函数由若媒质是均匀的，则均匀导电媒质中没有体分布电荷191.基本方程恒定电场的基本方程为微分形式：积分形式202.恒定电场的边界条件媒质2媒质1

场矢量的边界条件即即

导电媒质分界面上的电荷面密度场矢量的折射关系202.恒定电场的边界条件媒质2媒质1场矢量的边界条21

电位的边界条件21电位的边界条件223.2.2恒定电场与静电场的比拟

如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。静电场恒定电场223.2.2恒定电场与静电场的比拟如果两23恒定电场与静电场的比拟基本方程静电场（区域）本构关系位函数边界条件恒定电场（电源外）对应物理量静电场恒定电场23恒定电场与静电场的比拟基本方程静电场（区域）本24

例3.2.1一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为1、1和2、2，外加电压U。求介质面上的自由电荷密度。

解：极板是理想导体，为等位面，电流沿z方向。24例3.2.1一个有两层介质的平行板电容25

工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压U时，必定会有微小的漏电流J存在。

漏电流与电压之比为漏电导，即其倒数称为绝缘电阻，即3.2.3漏电导25工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外26(1)假定两电极间的电流为I；计算两电极间的电流密度矢量J；由J=E

得到E

;

由，求出两导体间的电位差；(5)求比值，即得出所求电导。

计算电导的方法一：

计算电导的方法二：(1)假定两电极间的电位差为U；

(2)计算两电极间的电位分布

；

(3)由得到E;(4)由J=E

得到J;(5)由 ，求出两导体间电流；

(6)求比值，即得出所求电导。

计算电导的方法三：静电比拟法：26(1)假定两电极间的电流为I；计算电导的方法27

例3.2.3

求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a、b，长度为l

，其间媒质的电导率为σ、介电常数为ε。解：直接用恒定电场的计算方法电导绝缘电阻则设由内导体流向外导体的电流为I

。27例3.2.3求同轴电缆的绝缘电阻。设28本节内容

3.3.1恒定磁场的基本方程和边界条件

3.3.2

恒定磁场的矢量磁位和标量磁位

3.3.3

电感

3.3.4

恒定磁场的能量

3.3.5

磁场力

3.3恒定磁场分析28本节内容3.3恒定磁场分析29微分形式:1.基本方程2.边界条件本构关系：或若分界面上不存在面电流，即JS＝0，则积分形式:或3.3.1恒定磁场的基本方程和边界条件29微分形式:1.基本方程2.边界条件本构关系：或若分30

矢量磁位的定义

磁矢位的任意性与电位一样，磁矢位也不是惟一确定的，它加上任意一个标量的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即由即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。

磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度造成的。为了得到确定的A，可以对A的散度加以限制，在恒定磁场中通常规定，并称为库仑规范。1.恒定磁场的矢量磁位矢量磁位或称磁矢位

3.3.2恒定磁场的矢量磁位和标量磁位30矢量磁位的定义磁矢位的任意性由即恒定磁场可以用一31

磁矢位的微分方程在无源区：矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程

磁矢位的表达式31磁矢位的微分方程在无源区：矢量泊松方程矢量拉普拉斯32

磁矢位的边界条件（可以证明满足）对于面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为

利用磁矢位计算磁通量：细线电流：面电流：由此可得出32磁矢位的边界条件（可以证明满足33

例

3.3.1

求小圆环电流回路的远区矢量磁位与磁场。小圆形回路的半径为a

，回路中的电流为I

。

解如图所示，由于具有轴对称性，矢量磁位和磁场均与无关，计算xOz平面上的矢量磁位与磁场将不失一般性。小圆环电流aIxzyrRθIPO33例3.3.1求小圆环电流回路的远区34对于远区，有r>>a

，所以由于在=0面上，所以上式可写成于是得到34对于远区，有r>>a，所以由于在=0面上35式中S=πa

2是小圆环的面积。

载流小圆环可看作磁偶极子，为磁偶极子的磁矩（或磁偶极矩），则或35式中S=πa2是小圆环的面积。载流小圆环可看362.恒定磁场的标量磁位一般情况下，恒定磁场只能引入磁矢位来描述，但在无传导电流（J＝0）的空间中，则有即在无传导电流（J＝0）的空间中，可以引入一个标量位函数来描述磁场。

标量磁位的引入标量磁位或磁标位

磁标位的微分方程362.恒定磁场的标量磁位一般情况下，恒定磁场只37

标量磁位的边界条件在线性、各向同性的均匀媒质中和37标量磁位的边界条件在线性、各向同性的均匀媒质中和38静电位 磁标位

磁标位与静电位的比较静电位

0

磁标位

m

0

38静电位 磁标位磁标位与静电位的比393.3.4恒定磁场的能量1.

磁场能量

在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给的能量，就全部转化成磁场能量。

电流回路在恒定磁场中受到磁场力的作用而运动，表明恒定磁场具有能量。

磁场能量是在建立电流的过程中，由电源供给的。当电流从零开始增加时，回路中的感应电动势要阻止电流的增加，因而必须有外加电压克服回路中的感应电动势。

假定建立并维持恒定电流时，没有热损耗。

假定在恒定电流建立过程中，电流的变化足够缓慢，没有辐射损耗。393.3.4恒定磁场的能量1.磁场能量在402.磁场能量密度

从场的观点来看，磁场能量分布于磁场所在的整个空间。

磁场能量密度：

磁场的总能量：积分区域为电场所在的整个空间

对于线性、各向同性介质，则有402.磁场能量密度从场的观点来看，磁场能量分布413.4静态场的边值问题及解的惟一性定理

本节内容

3.4.1边值问题的类型

3.4.2惟一性定理

边值问题：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或拉普拉斯方程413.4静态场的边值问题及解的惟一性定理423.4.1边值问题的类型

已知场域边界面S上的位函数值，即

第一类边值问题（或狄里赫利问题）已知场域边界面S上的位函数的法向导数值，即

已知场域一部分边界面S1上的位函数值，而另一部分边界面S2上则已知位函数的法向导数值，即

第三类边值问题（或混合边值问题）

第二类边值问题（或纽曼问题）423.4.1边值问题的类型 已知场域边界面S上的位函43

自然边界条件（无界空间）

周期边界条件

衔接条件不同媒质分界面上的边界条件，如43自然边界条件（无界空间）周期边界条件44例：（第一类边值问题）（第三类边值问题）例：44例：（第一类边值问题）（第三类边值问题）例：45

在场域V的边界面S上给定或的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V具有惟一值。3.4.2惟一性定理

惟一性定理的重要意义给出了静态场边值问题具有惟一解的条件为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为求解结果的正确性提供了判据

惟一性定理的表述45在场域V的边界面S上给定或46

本节内容

3.5.1镜像法的基本原理

3.5.2接地导体平面的镜像

3.5.3导体球面的镜像

3.5.4导体圆柱面的镜像

3.5.5点电荷与无限大电介质平面的镜像

3.5.6线电流与无限大磁介质平面的镜像

3.5镜像法46本节内容3.5镜像法47

当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代1.

问题的提出几个实例q3.5.1镜像法的基本原理接地导体板附近有一个点电荷，如图所示。q′非均匀感应电荷等效电荷47当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表48接地导体球附近有一个点电荷，如图。非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电荷为线电荷。q非均匀感应电荷q′等效电荷

结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷或线电荷的作用。

问题：这种等效电荷是否存在？这种等效是否合理？48接地导体球附近有一个点电荷，如图。非均匀感应电荷产生492.镜像法的原理

用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。

在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法。3.

镜像法的理论基础——解的惟一性定理492.镜像法的原理用位于场域边界外虚设50

像电荷的个数、位置及其电量大小——“三要素”。4.镜像法应用的关键点5.

确定镜像电荷的两条原则

等效求解的“有效场域”。

镜像电荷的确定

像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。

像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场区域的边界条件来确定。50像电荷的个数、位置及其电量大小——“三要素”。4511.点电荷对无限大接地导体平面的镜像满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。3.5.2接地导体平面的镜像镜像电荷电位函数因z=0时，有效区域qq511.点电荷对无限大接地导体平面的镜像满足原问题的边界52上半空间(z≥0）的电位函数q导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的总感应电荷为52上半空间(z≥0）的电位函数q导体平面上的感应电荷密532.线电荷对无限大接地导体平面的镜像镜像线电荷：满足原问题的边界条件，所得的解是正确的。电位函数原问题当z=0时，有效区域532.线电荷对无限大接地导体平面的镜像镜像线电荷：满543.点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像

如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点电荷q位于(d1,d2)处。显然，q1对平面2以及q2对平面1均不能满足边界条件。对于平面1，有镜像电荷q1=－q，位于(－d1,d2)对于平面2，有镜像电荷q2=－q，位于(d1,－d2)

只有在(－d1,－d2)处再设置一镜像电荷q3=q，所有边界条件才能得到满足。电位函数d11qd22RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1543.点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像55

例3.5.1

一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移至无穷远处，需要做多少功？

解：移动电荷q时，外力需要克服电场力做功，而电荷q受的电场力来源于导体板上的感应电荷。可以先求电荷q移至无穷远时电场力所做的功。q'qx=∞0d-d由镜像法，感应电荷可以用像电荷

替代。当电荷q移至x时，像电荷

应位于－x，则像电荷产生的电场强度55例3.5.1一个点电荷q与无限大导体平563.5.3导体球面的镜像1.点电荷对接地导体球面的镜像

球面上的感应电荷可用镜像电荷q'来等效。q'

应位于导体球内（显然不影响原方程），且在点电荷q与球心的连线上，距球心为d'。则有

如图所示，点电荷q位于半径为a的接地导体球外，距球心为d。方法：利用导体球面上电位为零确定

和q′。

问题：

PqarRdqPaq'rR'Rdd'563.5.3导体球面的镜像1.点电荷对接地导体球面的57

令r＝a，由球面上电位为零，即＝0，得此式应在整个球面上都成立。条件：若像电荷的位置像电荷的电量常数qPq'aR'Rdd'O由于57令r＝a，由球面上电位为零，此式应在整个582.点电荷对不接地导体球面的镜像（P139）582.点电荷对不接地导体球面的镜像（P139）593.6分离变量法

本节内容

3.6.1分离变量法解题的基本原理

3.6.2直角坐标系中的分离变量法

3.6.3圆柱坐标系中的分离变量法

3.6.4球坐标系中的分离变量法593.6分离变量法本节内容60

将偏微分方程中含有n个自变量的待求函数表示成n个各自只含一个变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成n个常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。

分离变量法是求解边值问题的一种经典方法

分离变量法的理论依据是惟一性定理

分离变量法解题的基本思路：3.6.1分离变量法解题的基本原理60将偏微分方程中含有n个自变量的待求函数表示成n个61在直角坐标系中，若位函数与z无关，则拉普拉斯方程为3.6.2直角坐标系中的分离变量法将

(x,y)表示为两个一维函数X(x)和Y(y)的乘积，即将其代入拉普拉斯方程，得再除以X(x)Y(y)，有分离常数61在直角坐标系中，若位函数与z无关，则拉普拉斯方程为3.62

若取λ＝－k2，则有当当62若取λ＝－k2，则有当当63将所有可能的

(x,y)线性叠加起来，则得到位函数的通解，即

若取λ＝k2，同理可得到通解中的分离常数和待定系数由给定的边界条件确定。63将所有可能的(x,y)线性叠加起来，则得到位函数64第3章静态电磁场及其边值问题的解1第3章静态电磁场及其边值问题的解65第三章静态电磁场及其边值问题的解3.1静电场分析（3.1.3，3.1.5不要求，3.1.4简介）3.2恒定电场分析（3..2.2不要求）3.3恒定磁场分析（3.3.3，3.3.5不要求，3.3.4简介）3.4唯一性定理3.5镜像法（3.5.3，3.5.4不要求）3.6分离变量法（3.6.3不要求）3.7不要求。2第三章静态电磁场及其边值问题的解66本章内容

3.1

静电场分析

3.2

导电媒质中的恒定电场分析

3.3

恒定磁场分析

3.4

静态场的边值问题及解的惟一性定理

3.5

镜像法

3.6

分离变量法

静态电磁场：场量不随时间变化，包括：

静电场、恒定电场和恒定磁场

时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立

3本章内容静态电磁场：场量不随时间变化，包括：时变情673.1静电场分析

本节内容

3.1.1

静电场的基本方程和边界条件

3.1.2

电位函数

3.1.3

导体系统的电容与部分电容

3.1.4

静电场的能量

3.1.5

静电力43.1静电场分析682.边界条件微分形式：本构关系：1.基本方程积分形式：或或3.1.1静电场的基本方程和边界条件若分界面上不存在面电荷，即，则法向:从2指向152.边界条件微分形式：本构关系：1.基本方程积分形69介质2介质1

在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的边界条件为

或

场矢量的折射关系

导体表面的边界条件6介质2介质1在静电平衡的情况下，导体内部的电场为070由即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数称为静电场的标量电位或简称电位。1.电位函数的定义3.1.2

电位函数7由即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数称为712.电位的表达式对于连续的体分布电荷，由同理得，面电荷的电位：故得点电荷的电位：线电荷的电位：82.电位的表达式对于连续的体分布电荷，由同理得，面电723.电位差两端点乘，则有将上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得关于电位差的说明

P、Q两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q点所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。电位差也称为电压，可用U表示。电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。P、Q两点间的电位差电场力做的功93.电位差两端点乘，则有将上式两边从点P到点Q73

静电位不惟一，可以相差一个常数，即选参考点令参考点电位为零电位确定值(电位差)两点间电位差有定值

选择电位参考点的原则

应使电位表达式有意义。应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无限远作电位参考点。同一个问题只能有一个参考点。4.电位参考点

为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即10静电位不惟一，可以相差一个常数，即选参考点令参考74在均匀介质中，有5.

电位的微分方程在无源区域，标量泊松方程拉普拉斯方程11在均匀介质中，有5.电位的微分方程在无源区域，标量泊松75

例3.1.1

求电偶极子的电位.

解

在球坐标系中用二项式展开，由于，得代入上式，得

表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。+q电偶极子zod－q12例3.1.1求电偶极子的电位.解76将和代入上式，解得E线方程为

由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度等位线电场线电偶极子的场图

电场线微分方程：

等位线方程：13将和代入上式，解得E线方程为由球坐标系中776.静电位的边界条件

设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为1和2。当两点间距离Δl→0时导体表面上电位的边界条件：由和媒质2媒质1

若介质分界面上无自由电荷，即常数，146.静电位的边界条件设P1和P2是介78

如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。

静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。

静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有能量。

任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立(或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而做功。3.1.4静电场的能量

15如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐791.电场能量密度

从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。

电场能量密度：

电场的总能量：积分区域为电场所在的整个空间

对于线性、各向同性介质，则有161.电场能量密度从场的观点来看，静电场的能量803.2导电媒质中的恒定电场分析

本节内容

3.2.1恒定电场的基本方程和边界条件

3.2.2恒定电场与静电场的比拟

3.2.3漏电导173.2导电媒质中的恒定电场分析本节内容81

由J＝E可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场。

恒定电场与静电场的重要区别：（1）恒定电场可以存在于导体内部。（2）恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。

恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。3.2.1恒定电场的基本方程和边界条件18由J＝E可知，导体中若存在恒定电流，则必有维821.基本方程

恒定电场的基本方程为微分形式：积分形式：

恒定电场的基本场矢量是电流密度和电场强度

线性各向同性导电媒质的本构关系

恒定电场的电位函数由若媒质是均匀的，则均匀导电媒质中没有体分布电荷191.基本方程恒定电场的基本方程为微分形式：积分形式832.恒定电场的边界条件媒质2媒质1

场矢量的边界条件即即

导电媒质分界面上的电荷面密度场矢量的折射关系202.恒定电场的边界条件媒质2媒质1场矢量的边界条84

电位的边界条件21电位的边界条件853.2.2恒定电场与静电场的比拟

如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。静电场恒定电场223.2.2恒定电场与静电场的比拟如果两86恒定电场与静电场的比拟基本方程静电场（区域）本构关系位函数边界条件恒定电场（电源外）对应物理量静电场恒定电场23恒定电场与静电场的比拟基本方程静电场（区域）本87

例3.2.1一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为1、1和2、2，外加电压U。求介质面上的自由电荷密度。

解：极板是理想导体，为等位面，电流沿z方向。24例3.2.1一个有两层介质的平行板电容88

工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压U时，必定会有微小的漏电流J存在。

漏电流与电压之比为漏电导，即其倒数称为绝缘电阻，即3.2.3漏电导25工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外89(1)假定两电极间的电流为I；计算两电极间的电流密度矢量J；由J=E

得到E

;

由，求出两导体间的电位差；(5)求比值，即得出所求电导。

计算电导的方法一：

计算电导的方法二：(1)假定两电极间的电位差为U；

(2)计算两电极间的电位分布

；

(3)由得到E;(4)由J=E

得到J;(5)由 ，求出两导体间电流；

(6)求比值，即得出所求电导。

计算电导的方法三：静电比拟法：26(1)假定两电极间的电流为I；计算电导的方法90

例3.2.3

求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a、b，长度为l

，其间媒质的电导率为σ、介电常数为ε。解：直接用恒定电场的计算方法电导绝缘电阻则设由内导体流向外导体的电流为I

。27例3.2.3求同轴电缆的绝缘电阻。设91本节内容

3.3.1恒定磁场的基本方程和边界条件

3.3.2

恒定磁场的矢量磁位和标量磁位

3.3.3

电感

3.3.4

恒定磁场的能量

3.3.5

磁场力

3.3恒定磁场分析28本节内容3.3恒定磁场分析92微分形式:1.基本方程2.边界条件本构关系：或若分界面上不存在面电流，即JS＝0，则积分形式:或3.3.1恒定磁场的基本方程和边界条件29微分形式:1.基本方程2.边界条件本构关系：或若分93

矢量磁位的定义

磁矢位的任意性与电位一样，磁矢位也不是惟一确定的，它加上任意一个标量的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即由即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。

磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度造成的。为了得到确定的A，可以对A的散度加以限制，在恒定磁场中通常规定，并称为库仑规范。1.恒定磁场的矢量磁位矢量磁位或称磁矢位

3.3.2恒定磁场的矢量磁位和标量磁位30矢量磁位的定义磁矢位的任意性由即恒定磁场可以用一94

磁矢位的微分方程在无源区：矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程

磁矢位的表达式31磁矢位的微分方程在无源区：矢量泊松方程矢量拉普拉斯95

磁矢位的边界条件（可以证明满足）对于面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为

利用磁矢位计算磁通量：细线电流：面电流：由此可得出32磁矢位的边界条件（可以证明满足96

例

3.3.1

求小圆环电流回路的远区矢量磁位与磁场。小圆形回路的半径为a

，回路中的电流为I

。

解如图所示，由于具有轴对称性，矢量磁位和磁场均与无关，计算xOz平面上的矢量磁位与磁场将不失一般性。小圆环电流aIxzyrRθIPO33例3.3.1求小圆环电流回路的远区97对于远区，有r>>a

，所以由于在=0面上，所以上式可写成于是得到34对于远区，有r>>a，所以由于在=0面上98式中S=πa

2是小圆环的面积。

载流小圆环可看作磁偶极子，为磁偶极子的磁矩（或磁偶极矩），则或35式中S=πa2是小圆环的面积。载流小圆环可看992.恒定磁场的标量磁位一般情况下，恒定磁场只能引入磁矢位来描述，但在无传导电流（J＝0）的空间中，则有即在无传导电流（J＝0）的空间中，可以引入一个标量位函数来描述磁场。

标量磁位的引入标量磁位或磁标位

磁标位的微分方程362.恒定磁场的标量磁位一般情况下，恒定磁场只100

标量磁位的边界条件在线性、各向同性的均匀媒质中和37标量磁位的边界条件在线性、各向同性的均匀媒质中和101静电位 磁标位

磁标位与静电位的比较静电位

0

磁标位

m

0

38静电位 磁标位磁标位与静电位的比1023.3.4恒定磁场的能量1.

磁场能量

在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给的能量，就全部转化成磁场能量。

电流回路在恒定磁场中受到磁场力的作用而运动，表明恒定磁场具有能量。

磁场能量是在建立电流的过程中，由电源供给的。当电流从零开始增加时，回路中的感应电动势要阻止电流的增加，因而必须有外加电压克服回路中的感应电动势。

假定建立并维持恒定电流时，没有热损耗。

假定在恒定电流建立过程中，电流的变化足够缓慢，没有辐射损耗。393.3.4恒定磁场的能量1.磁场能量在1032.磁场能量密度

从场的观点来看，磁场能量分布于磁场所在的整个空间。

磁场能量密度：

磁场的总能量：积分区域为电场所在的整个空间

对于线性、各向同性介质，则有402.磁场能量密度从场的观点来看，磁场能量分布1043.4静态场的边值问题及解的惟一性定理

本节内容

3.4.1边值问题的类型

3.4.2惟一性定理

边值问题：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或拉普拉斯方程413.4静态场的边值问题及解的惟一性定理1053.4.1边值问题的类型

已知场域边界面S上的位函数值，即

第一类边值问题（或狄里赫利问题）已知场域边界面S上的位函数的法向导数值，即

已知场域一部分边界面S1上的位函数值，而另一部分边界面S2上则已知位函数的法向导数值，即

第三类边值问题（或混合边值问题）

第二类边值问题（或纽曼问题）423.4.1边值问题的类型 已知场域边界面S上的位函106

自然边界条件（无界空间）

周期边界条件

衔接条件不同媒质分界面上的边界条件，如43自然边界条件（无界空间）周期边界条件107例：（第一类边值问题）（第三类边值问题）例：44例：（第一类边值问题）（第三类边值问题）例：108

在场域V的边界面S上给定或的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V具有惟一值。3.4.2惟一性定理

惟一性定理的重要意义给出了静态场边值问题具有惟一解的条件为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为求解结果的正确性提供了判据

惟一性定理的表述45在场域V的边界面S上给定或109

本节内容

3.5.1镜像法的基本原理

3.5.2接地导体平面的镜像

3.5.3导体球面的镜像

3.5.4导体圆柱面的镜像

3.5.5点电荷与无限大电介质平面的镜像

3.5.6线电流与无限大磁介质平面的镜像

3.5镜像法46本节内容3.5镜像法110

当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代1.

问题的提出几个实例q3.5.1镜像法的基本原理接地导体板附近有一个点电荷，如图所示。q′非均匀感应电荷等效电荷47当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表111接地导体球附近有一个点电荷，如图。非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电荷为线电荷。q非均匀感应电荷q′等效电荷

结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷或线电荷的作用。

问题：这种等效电荷是否存在？这种等效是否合理？48接地导体球附近有一个点电荷，如图。非均匀感应电荷产生1122.镜像法的原理

用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。

在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法。3.

镜像法的理论基础——解的惟一性定理492.镜像法的原理用位于场域边界外虚设113

像电荷的个数、位置及其电量大小——“三要素”。4.镜像法应用的关键点5.

确定镜像电荷的两条原则

等效求解的“有效场域”。

镜像电荷的确定

像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。

像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场区域的边界条件来确定。50像电荷的个数、位置及其电量大小——“三要素”。41141.点电荷对无限大接地导体平面的镜像满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。3.5.2接地导体平面的镜像镜像电荷电位函数因z=