2018-2019数学新学案同步人教A版必修一讲义：第一章集合与函数概念初中、高中衔接课

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精初中、高中衔接课知识点一常用的乘法公式(1)平方差公式：(a＋b)（a－b)＝a2－b2。（2）立方差公式：(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3。(3)立方和公式：（a＋b)（a2－ab＋b2）＝a3＋b3.(4)完全平方公式:(a±b)2＝a2±2ab＋b2.(5)三数和平方公式：（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc。（6）完全立方公式：(a±b)3＝a3±3a2b＋3ab2±b3.例1计算：（x＋1)（x－1）(x2－x＋1）（x2＋x＋1)．解方法一原式＝（x2－1)［（x2＋1）2－x2］＝(x2－1）（x4＋x2＋1)＝x6－1.方法二原式＝（x＋1）（x2－x＋1）（x－1）(x2＋x＋1）＝(x3＋1)（x3－1)＝x6－1.练习1分解因式：2x3－x－1。解2x3－x－1＝2x3－2＋1－x＝2(x－1)（x2＋x＋1)－(x－1)＝(x－1）［2（x2＋x＋1）－1]＝（x－1)（2x2＋2x＋1）．知识点二二次根式(1)定义：一般地，形如eq\r（a）(a≥0）的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式．(2)二次根式eq\r(a2)的意义:eq\r（a2）＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0,，－a，a〈0.))(3)分母(子）有理化：①定义:把分母(子）中的根号化去，叫做分母(子）有理化．为了进行分母（子)有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．②方法:（ⅰ）分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；（ⅱ）分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程．例2化简：eq\r(3－2\r(2)）。解eq\r（3－2\r（2））＝eq\r（2－2\r(2）＋1)＝eq\r（\r（2）2－2\r（2）＋12）＝eq\r(\r(2）－12)＝｜eq\r（2)－1|，∵eq\r（2）－1〉0，∴原式＝eq\r(2)－1.练习2化简：eq\r(5－2\r(6）)。解eq\r(5－2\r（6）)＝eq\r（\r（3)2－2\r(2）·\r(3)＋\r（2）2）＝eq\r（\r（3)－\r(2）2)＝eq\r(3)－eq\r（2)。例3计算：(16＋6eq\r（5）)÷（3＋eq\r（5)）．解原式＝eq\f(16＋6\r（5）3－\r(5)，3＋\r(5）3－\r(5））＝eq\f（48－16\r（5）＋18\r(5）－30,4)＝eq\f(9＋\r(5），2）.练习3计算：eq\f（1,\r（2）＋\r(3))＋eq\f(1，\r(3）＋\r（4））＋…＋eq\f（1，\r(7）＋\r(8)）。解∵eq\f（1，\r（2）＋\r(3）)＝eq\f（\r（3）－\r（2)，\r(2)＋\r（3)\r(3）－\r（2））＝eq\f（\r(3)－\r（2）,\r（3）2－\r(2）2)＝eq\r(3)－eq\r(2).类似地，eq\f(1,\r(3）＋\r（4)）＝eq\r（4）－eq\r（3)，…，∴原式＝(eq\r(3)－eq\r（2））＋（eq\r（4）－eq\r（3))＋（eq\r(5)－eq\r(4)）＋…＋（eq\r(8）－eq\r(7)）＝eq\r(8）－eq\r（2)＝2eq\r(2）－eq\r（2)＝eq\r（2)。知识点三因式分解的常用方法(1）十字相乘法:十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数，即运用乘法公式(x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab的逆运算进行因式分解．（2）提取公因式法：当多项式的各项有公因式时，可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积形式的方法．(3）公式法:把乘法公式反过来用，把某些多项式因式分解的方法．（4)求根法：若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则二次三项式ax2＋bx＋c（a≠0）就可分解为a（x－x1）（x－x2）．（5）试根法：对于简单的高次因式，可以通过先试根再分解的方法分解因式．如2x3－x－1，试根知x＝1为2x3－x－1＝0的根，通过拆项，2x3－x－1＝2x3－2x2＋2x2－2x＋x－1提取公因式后分解因式．例4分解因式：(1)x2－3x＋2；（2)x2＋4x－12；（3）x2－（a＋b)xy＋aby2；（4）xy－1＋x－y。解(1）如图①，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个式子乘积的和为－3x,就是x2－3x＋2中的一次项，所以，x2－3x＋2＝(x－1）(x－2)．说明:今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图①中的两个x用1来表示（如图②所示）．（2）由图③，得x2＋4x－12＝（x－2）(x＋6)．(3)由图④,得x2－(a＋b）xy＋aby2＝（x－ay）(x－by）．(4)xy－1＋x－y＝xy＋（x－y)－1＝(x－1）(y＋1）（如图⑤所示)．练习4选用恰当的方法解下列一元二次方程:(1）x2＋x＝0;（2）x2＋6x＋9＝0;（3)x2－2x－15＝0；（4）ax2＋（a＋1)x＋1＝0(a≠0)．解(1）方程变为x（x＋1）＝0，解得x1＝0，x2＝－1.（2)方程变为（x＋3）2＝0,解得x＝－3。(3)方程变为（x＋3）(x－5）＝0，解得x1＝－3,x2＝5.(4）方程变为(ax＋1）(x＋1)＝0,解得x1＝－eq\f（1,a)，x2＝－1.知识点四一元二次方程与二次函数（1）配方法当a≠0时,y＝ax2＋bx＋c＝aeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x2＋\f(b，a）x））＋c＝aeq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（x2＋\f(b,a)x＋\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(b，2a）)）2－\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（b，2a）)）2)）＋c＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f（b,2a)))2＋eq\f（4ac－b2,4a).①（2）由①式可得一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质.a〉0a<0图象顶点eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（b，2a)，\f(4ac－b2,4a)))对称轴x＝－eq\f(b，2a)x<－eq\f（b,2a）时，随x增大y减小y增大x〉－eq\f(b，2a)时，随x增大y增大y减小(3)判别式在①式中,令y＝0，即aeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f（b,2a)))2＋eq\f(4ac－b2,4a）＝0，可得eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f(b，2a）)）2＝eq\f（b2－4ac，4a2)。当b2－4ac≥0时，才可开方解出x＝eq\f（－b±\r(b2－4ac），2a)。当b2－4ac〈0时，ax2＋bx＋c＝0无解．一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ"来表示．(4）求根公式：当Δ>0时方程有两个不相等的实数根x1,2＝eq\f(－b±\r（b2－4ac),2a)；当Δ＝0时,方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f（b，2a）;(5）根与系数的关系(韦达定理）如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1,x2,那么x1＋x2＝－eq\f（b,a)，x1x2＝eq\f(c,a）。这一关系也被称为韦达定理．应用:若已知x1，x2是一元二次方程的两个根，则可设一元二次方程为x2－(x1＋x2）x＋x1x2＝0;对应的一元二次函数设为f(x）＝x2－(x1＋x2)x＋x1x2或f（x）＝(x－x1）（x－x2）．例5如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3,0）．（1)求m的值及抛物线的顶点坐标；（2)解方程－x2＋mx＋3＝0；（3）当x取哪些值时，y>0?解（1）把点B的坐标(3,0）代入抛物线y＝－x2＋mx＋3,得0＝－32＋3m＋3，解得m＝2，所以y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1）2＋4,所以顶点坐标为(1，4)．（2)方法一由（1)知m＝2，∴－x2＋2x＋3＝0，即x2－2x－3＝0.得（x－3）（x＋1）＝0，∴x＝3或x＝－1.方法二由（1)知，A，B关于x＝1对称，∴当B为(3，0)时,A(－1,0)．∴方程－x2＋mx＋3＝0的根，即y＝－x2＋mx＋3中y＝0时对应点A，B的横坐标，即－x2＋mx＋3＝0有2根x＝3或x＝－1。(3)由题图知，当抛物线在x轴上方时，图象上点的纵坐标大于0。这部分图象上点的横坐标介于A，B之间．∴当－1〈x〈3时，y>0。练习5判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数),若方程有实数根，写出方程的实数根．(1）x2－ax－1＝0；(2）x2－ax＋(a－1）＝0；(3）x2－2x＋a＝0；解(1）Δ＝a2＋4〉0，所以方程有两个不相等的实数根，解得x1＝eq\f(a－\r(a2＋4)，2)，x2＝eq\f(a＋\r（a2＋4）,2）。（2)因为Δ＝a2－4a＋4≥0，方程有实数根,方程变为(x－1)［x－（a－1）]＝0，解得x1＝1，x2＝a－1，当a＝2时，方程有两个相等的实数根x＝1，当a≠2时,方程有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝a－1。（3)Δ＝4－4a，当a〉1时，Δ<0，方程无实数根;当a＝1时，Δ＝0，方程有两个相等的实数根x＝1；当a〈1时，Δ〉0，方程有两个不相等的实数根x1＝1－eq\r(1－a），x2＝1＋eq\r（1－a)。例6已知x1，x2是方程x2－2x－1＝0的两个实数根，求下列式子．(1)x1＋x2;(2）(2x1－1)(2x2－1);(3)xeq\o\al(2,1）＋xeq\o\al(2，2)；(4)eq\f（1,x1）＋eq\f（1,x2).解（1）x1＋x2＝2.（2）（2x1－1)（2x2－1）＝4x1x2－2(x1＋x2)＋1＝4×（－1）－2×2＋1＝－7。（3)xeq\o\al(2,1）＋xeq\o\al(2，2)＝（x1＋x2）2－2x1x2＝22－2×（－1）＝4＋2＝6.（4）eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2）＝eq\f(x1＋x2，x1x2)＝eq\f(2,－1）＝－2.练习6（1)若关于x的方程x2－x＋a－4＝0的一个根大于零,另一个根小于零，求实数a的取值范围;(2)若关于x的方程x2＋x＋a＝0的一个根大于1，另一个根小于1，求实数a的取值范围．解(1）设方程的两个根为x1，x2，则