2018-2019数学新学案同步苏教版必修二讲义：第2章 平面解析几何初步2.2.2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。2.2直线与圆的位置关系学习目标1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离。2。会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.3。会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．知识点直线与圆的三种位置关系及判定思考用代数法如何根据方程判定直线与圆的位置关系？答案联立直线与圆的方程，根据方程组解的个数判定直线与圆的位置关系．当方程组无解时，相离;当方程组有一解时，相切；当方程组有两解时，相交．梳理位置关系相离相切相交图示几何法d与r的大小d>rd＝rd〈r代数法依据方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（Ax＋By＋C，＝0，x－a2＋,y－b2＝r2)）解的情况Δ〈0方程组无解Δ＝0方程组只有一解Δ〉0方程组有两个不同解1．若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．(×）2．如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切．(√)3．若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解．（√）

类型一直线与圆的位置关系的判断例1求实数m的取值范围,使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：①相交;②相切；③相离．解圆的方程化为标准形式为(x－3)2＋y2＝4，故圆心(3，0)到直线x－my＋3＝0的距离为d＝eq\f(6，\r(m2＋1）），圆的半径为r＝2.①若相交，则d＜r，即eq\f(6，\r(m2＋1))＜2，所以m＜－2eq\r(2)或m＞2eq\r（2）；②若相切，则d＝r，即eq\f（6，\r(m2＋1)）＝2，所以m＝±2eq\r(2）；③若相离，则d＞r，即eq\f(6，\r（m2＋1)）＞2，所以－2eq\r(2）＜m＜2eq\r（2）.反思与感悟直线与圆的位置关系的判断方法（1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．（2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．跟踪训练1过点P（－eq\r(3),－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点,则直线l的倾斜角α的取值范围是________．答案[0°，60°］解析由题意知,直线l的斜率必存在，设l：y＋1＝k（x＋eq\r（3)）,即kx－y＋eq\r(3）k－1＝0，圆心（0,0)到直线l的距离为d＝eq\f(|\r（3）k－1|,\r（k2＋1））≤1，解得0≤k≤eq\r(3）,即0≤tanα≤eq\r(3）,∴0°≤α≤60°。类型二切线问题例2过点A(4，－3)作圆（x－3）2＋（y－1）2＝1的切线，求此切线方程．解因为(4－3)2＋（－3－1)2＝17>1,所以点A在圆外．①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k（x－4),即kx－y－4k－3＝0。设圆心为C，因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，所以eq\f(|3k－1－3－4k｜，\r(k2＋1）)＝1，即｜k＋4|＝eq\r（k2＋1），所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－eq\f(15，8）.所以切线方程为－eq\f（15,8)x－y＋eq\f（15，2)－3＝0，即15x＋8y－36＝0.②若直线斜率不存在,圆心C（3，1)到直线x＝4的距离为1，这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4。综上,所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.引申探究若本例的条件不变，求其切线长．解因为圆心C的坐标为（3,1）,设切点为B,则△ABC为直角三角形，AC＝eq\r(3－42＋1＋32）＝eq\r（17），又BC＝r＝1，则AB＝eq\r（AC2－BC2）＝eq\r（\r（17）2－12)＝4，所以切线长为4.反思与感悟求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系,以确定切线的数目．(1)求过圆上一点P（x0，y0)的圆的切线方程：如果斜率存在且不为0，先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系知，切线斜率为－eq\f（1,k），由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0。(2）求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线时,常用几何方法求解:设切线方程为y－y0＝k(x－x0），即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出．但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出．跟踪训练2若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．答案x＋2y－5＝0解析点P（1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，可得此圆的方程为x2＋y2＝5，所以该圆在点P处的切线方程为1×x＋2×y＝5,即x＋2y－5＝0.类型三弦长问题例3（1）过圆x2＋y2＝8内的点P（－1，2）作直线l交圆于A,B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为________．（2）圆心为C(2，－1）,截直线y＝x－1所得的弦长为2eq\r（2)的圆的方程为_____________．答案(1）eq\r(30）(2)(x－2）2＋（y＋1)2＝4解析（1）方法一（交点法）由题意知，直线l的方程为y－2＝－(x＋1），即x＋y－1＝0。由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0，,x2＋y2＝8，））解得Aeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1＋\r（15)，2），\f（1－\r(15），2)））,Beq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1－\r（15）,2)，\f（1＋\r(15)，2))）.∴AB＝eq\r（\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r（15），2)－\f（1＋\r(15),2））)2＋\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1＋\r（15），2）－\f（1－\r(15），2）））2)＝eq\r(30）.方法二（弦长公式）由题意知，直线l的方程为y－2＝－(x＋1），即x＋y－1＝0.由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋y－1＝0，，x2＋y2＝8,））消去y，得2x2－2x－7＝0。设A(x1,y1)，B（x2，y2),∴x1＋x2＝1，x1x2＝－eq\f(7，2）.∴AB＝eq\r(1＋k2）·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋1）·eq\r(12＋4·\f（7,2))＝eq\r（30）。方法三(几何法）由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1),即x＋y－1＝0，圆心O（0,0)到直线l的距离为d＝eq\f(|－1｜,\r（2））＝eq\f(\r（2)，2）,∴AB＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(8－\f（1，2)）＝eq\r(30).(2）设圆的半径为r，由条件得圆心到直线y＝x－1的距离为d＝eq\f(｜2＋1－1｜，\r(2）)＝eq\r(2）.又直线y＝x－1被圆截得的弦长为2eq\r（2)，即半弦长为eq\r(2），∴r2＝2＋2＝4,得r＝2，∴所求圆的方程为（x－2）2＋(y＋1）2＝4。(3）直线l经过点P(5，5），且和圆C：x2＋y2＝25相交于A，B两点，截得的弦长为4eq\r(5)，求直线l的方程．解方法一若直线l的斜率不存在，则l：x＝5与圆C相切，不合题意，∴直线l的斜率存在，设其方程为y－5＝k(x－5)，即kx－y＋5(1－k)＝0.如图所示，OH是圆心到直线l的距离,OA是圆的半径，AH是弦长AB的一半，在Rt△AHO中，OA＝5，AH＝eq\f(1，2)AB＝eq\f(1,2)·4eq\r(5）＝2eq\r（5）.∴OH＝eq\r(OA2－AH2)＝eq\r(5)，∴eq\f(|51－k|，\r（k2＋1）)＝eq\r(5)，解得k＝eq\f(1，2）或k＝2.∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.方法二若直线l的斜率不存在,则l:x＝5与圆C相切，不合题意，∴直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－5＝k（x－5),且与圆相交于A（x1，y1)，B（x2，y2)两点．由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y－5＝kx－5，,x2＋y2＝25，）)消去y,得（k2＋1)x2＋10k(1－k）x＋25k（k－2)＝0，∴Δ＝［10k(1－k)]2－4（k2＋1)·25k（k－2)>0，解得k>0。又∵x1＋x2＝－eq\f(10k1－k,k2＋1），x1x2＝eq\f(25kk－2,k2＋1)，由斜率公式,得y1－y2＝k(x1－x2），∴AB＝eq\r（x1－x22＋y1－y22）＝eq\r(1＋k2x1－x22）＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r（1＋k2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(100k21－k2，k2＋12)－4·\f(25kk－2,k2＋1)）））＝4eq\r（5),两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0,解得k＝eq\f(1，2)或k＝2，均符合题意．∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.反思与感悟求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1)交点法:将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标,根据两点间的距离公式AB＝eq\r(x1－x22＋y1－y22）求解．（2）弦长公式：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A（x1，y1），B(x2,y2)，则AB＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|，或AB＝eq\r（1＋\f(1,k2）)｜y1－y2|(直线l的斜率k存在）．（3）几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d,圆的半径为r，弦长为AB,则有eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（AB,2）））2＋d2＝r2，即AB＝2eq\r（r2－d2).通常采用几何法较为简便．跟踪训练3已知直线l：kx－y＋k＋2＝0与圆C:x2＋y2＝8.(1)证明：直线l与圆相交；（2)当直线l被圆截得的弦长最短时,求直线l的方程,并求出弦长．（1）证明∵l：kx－y＋k＋2＝0，直线l可化为y－2＝k(x＋1），∴直线l经过定点(－1，2）．又∵(－1)2＋22<8，∴(－1,2）在圆C内，∴直线l与圆相交．（2）解由（1）知，直线l过定点P（－1，2)．又圆C:x2＋y2＝8的圆心为原点O,∴与OP垂直的直线截得的弦长最短．∵kOP＝－2，∴kl＝eq\f（1,2），∴直线l:y－2＝eq\f(1,2)（x＋1）,即x－2y＋5＝0。设直线l与圆交于A，B两点，OP＝eq\r(－12＋22)＝eq\r（5），∴AB＝2eq\r(r2－OP2）＝2eq\r（8－5)＝2eq\r(3）。∴直线l的方程为x－2y＋5＝0，弦长为2eq\r（3).1．直线3x＋4y＋12＝0与圆（x－1)2＋(y＋1）2＝9的位置关系是________．答案相交解析∵圆心(1，－1)到直线的距离d＝eq\f（|3－4＋12｜,\r（32＋42)）＝eq\f(11，5）＜3＝r，∴直线与圆相交．2．若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0没有公共点,则实数m的取值范围是____________．答案(－∞，0）∪(10，＋∞）解析将圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0化为标准方程为（x－1）2＋(y＋2)2＝1，则圆心坐标为（1，－2),半径为1.若直线与圆没有公共点，则圆心到直线的距离大于半径，即d＝eq\f（｜3×1＋4×－2＋m|,\r(32＋42))＝eq\f(｜m－5｜，5)〉1,所以m〈0或m>10.3．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线方程为________________．答案2x＋y＋5＝0和2x＋y－5＝0解析依题意可设所求切线方程为2x＋y＋c＝0，则圆心（0，0)到直线2x＋y＋c＝0的距离为eq\f（|c｜,\r(22＋12））＝eq\r（5），解得c＝±5。故所求切线的直线方程为2x＋y＋5＝0和2x＋y－5＝0.4．设A、B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则AB＝________.答案2解析由直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0，0），得AB＝2.5．直线y＝kx＋3与圆(x－1）2＋(y－2)2＝4相交于M,N两点，且MN≥2eq\r（3)，则k的取值范围是________．答案（－∞，0]解析因为MN≥2eq\r（3)，所以圆心（1,2)到直线y＝kx＋3的距离不大于eq\r(22－\r(3)2）＝1，即eq\f(|k＋1|,\r（k2＋1））≤1，解得k≤0。1．直线与圆位置关系的两种判断方法比较(1)若直线和圆的方程已知，或圆心到直线的距离易表达，则用几何法较为简单．（2）若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂,则用代数法较简单．2．过一点的圆的切线方程的求法（1)当点在圆上时，当切线的斜率存在且不为0时，由圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程．如果切线斜率存在或为0，则切线方程可直接写出．(2)若点在圆外时,过该点的切线将有两条,但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条,这是因为有一条过该点的切线的斜率不存在．3．与圆相关的弦长问题的两种解决方法（1)由于半径长r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，利用勾股定理可求出弦长，这是常用解法．(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y）的一元二次方程,利用根与系数的关系，得到两交点的横坐标（或纵坐标)之间的关系，代入两点间的距离公式求解，此法是通法．一、填空题1．设m>0，则直线l:eq\r(2）（x＋y)＋1＋m＝0与圆O：x2＋y2＝m的位置关系为______________．答案相切或相离解析圆心到直线l的距离为d＝eq\f（1＋m，2)，圆的半径为r＝eq\r（m)，∵d－r＝eq\f(1＋m,2)－eq\r（m）＝eq\f(1,2）(m－2eq\r(m）＋1）＝eq\f(1,2)(eq\r(m)－1)2≥0,∴d≥r，故直线l和圆O相切或相离．2．若P（2,－1)为圆C:(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点,则直线AB的方程是______________．答案x－y－3＝0解析由题意知，PC⊥AB，∴kAB＝－eq\f(1,kPC）＝1，∴直线AB的方程为y＋1＝x－2,即x－y－3＝0.3．圆x2＋y2－4x＝0在点P（1，eq\r(3））处的切线方程为______________．答案x－eq\r(3）y＋2＝0解析由于点P在圆上，故所求切线的斜率为eq\f（\r（3),3）,故所求切线方程为y－eq\r(3）＝eq\f(\r(3）,3）(x－1),即x－eq\r(3）y＋2＝0。4．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E（0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为______．答案10eq\r（2)解析将圆的方程化为标准形式为（x－1)2＋(y－3）2＝10。由圆的性质可知最长弦AC＝2eq\r(10)，最短弦BD恰以E(0,1）为中点，且与AC垂直．设点F为其圆心，坐标为（1,3),故EF＝eq\r(5),∴BD＝2eq\r（10－\r（5）2）＝2eq\r（5），∴S四边形ABCD＝eq\f(1，2）AC·BD＝10eq\r（2)。5．过点(－1,－2）的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为eq\r(2），则直线l的斜率为________．答案1或eq\f（17,7）解析将圆的方程化成标准方程为(x－1）2＋(y－1）2＝1，其圆心为(1，1),半径r＝1。由弦长为eq\r（2），得弦心距为eq\f(\r(2)，2）。由题意知,直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y＋2＝k(x＋1），即kx－y＋k－2＝0，则eq\f（|2k－3｜，\r（k2＋1）)＝eq\f（\r(2)，2）,化简得7k2－24k＋17＝0,解得k＝1或eq\f（17，7)。6．以点（2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为______________．答案(x－2)2＋(y＋1)2＝9解析由（2,－1）到直线3x－4y＋5＝0的距离为d＝3知,r＝3.∴圆的方程为(x－2)2＋（y＋1）2＝9。7．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1）2＋(y－a）2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.答案4±eq\r(15）解析圆心C（1，a）到直线ax＋y－2＝0的距离为eq\f（｜a＋a－2｜，\r(a2＋1))。因为△ABC为等边三角形，所以AB＝BC＝2，所以eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（|a＋a－2｜，\r（a2＋1)）)）2＋12＝22，解得a＝4±eq\r(15）。8．已知圆C过点(1，0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l:y＝x－1被该圆所截得的弦长为2eq\r（2),则圆C的标准方程为____________．答案(x－3）2＋y2＝4解析设圆心坐标为（x0，0）（x0〉0）．由于圆过点(1,0）,则半径为r＝｜x0－1|，圆心到直线x－y－1＝0的距离为d＝eq\f（|x0－1｜，\r(2）)。由弦长为2eq\r（2)可知，eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（｜x0－1｜，\r(2)））)2＝（x0－1)2－2,解得(x0－1）2＝4,∴x0－1＝±2，∴x0＝3或－1（舍去）．故圆心坐标为(3，0），半径为2，∴圆C的标准方程为(x－3）2＋y2＝4.9．由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．答案eq\r(7）解析切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心的距离最小时取得，圆心（3,0)到直线的距离为d＝eq\f(|3－0＋1｜,\r(2）)＝2eq\r(2)，圆的半径为1,故切线长的最小值为eq\r(d2－r2)＝eq\r(8－1）＝eq\r（7).10．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为eq\r(2)的点有________个．答案3解析圆的一般方程化为标准方程为(x＋1)2＋（y＋2)2＝8。圆心坐标为（－1，－2）,圆的半径为2eq\r（2），圆心到直线l的距离为eq\f(｜－1－2＋1｜，\r(12＋12))＝eq\f（2，\r（2)）＝eq\r(2）.因此和l平行的圆的直径的两端点及与l同侧且与l平行的圆的切线的切点到l的距离都为eq\r（2）。二、解答题11．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0。问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB满足：以AB为直径的圆经过原点O。解假设存在且设l为y＝x＋m,圆C化为标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9,圆心C（1，－2）．解方程组eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝x＋m,，y＋2＝－x－1，))得AB的中点N的坐标为Neq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(m＋1，2），\f（m－1，2)））。由于以AB为直径的圆过原点，所以AN＝ON.又AN＝eq\r(CA2－CN2）＝eq\r(9－\f（m＋32,2）)，ON＝eq\r（\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(m＋1,2)))2＋\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(m－1，2）））2），所以9－eq\f（3＋m2，2）＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(m＋1，2）））2＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(m－1,2）))2，解得m＝1或m＝－4.所以存在直线l，方程为x－y＋1＝0和x－y－4＝0，并可以检验,这时l与圆C是相交于两点的．12．已知圆C：x2＋(