2018-2019数学新学案浙江专用版讲义：第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.2 2.2.1 第2课时

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第2课时对数的运算学习目标1。掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件。2。掌握换底公式及其推论。3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．知识点一对数运算性质如果a〉0，且a≠1，M>0，N>0，那么：（1)loga(M·N）＝logaM＋logaN；（2）logaeq\f（M,N）＝logaM－logaN；（3）logaMn＝nlogaM（n∈R）．知识点二换底公式思考1观察知识点一的三个公式，我们发现对数都是同底的才能用这三个公式．那么我们在运算和求值中遇到不同底的对数怎么办?答案设法换为同底．梳理对数换底公式：logab＝eq\f（logcb,logca）（a>0，且a≠1,b>0，c>0，且c≠1)．特别地：logab·logba＝1(a>0,且a≠1,b〉0，且b≠1)．1．log2x2＝2log2x。(×)2．loga［(－2）×(－3)]＝loga(－2）＋loga（－3)．(×)3．logaM·logaN＝loga(M＋N）．(×）4．logx2＝eq\f（1，log2x）。(√）类型一具体数字的化简求值例1计算：（1）log345－log35;(2)log2（23×45）;(3)eq\f(lg\r(27)＋lg8－lg\r(1000),lg1。2);（4)log29·log38.考点对数的运算题点对数的运算性质解（1)log345－log35＝log3eq\f(45,5)＝log39＝log332＝2log33＝2。（2）log2(23×45)＝log2（23×210)＝log2（213）＝13log22＝13。（3)原式=＝eq\f（\f（3，2）lg\f（12，10)，lg\f（12,10）)＝eq\f(3，2)。(4)log29·log38＝log2（32)·log3(23)＝2log23·3log32＝6·log23·eq\f(1，log23）＝6.反思与感悟具体数的化简求值主要遵循两个原则（1）把数字化为质因数的幂、积、商的形式．(2)不同底化为同底．跟踪训练1计算：（1）2log63＋log64；(2）(lg25－lgeq\f(1,4））÷（3)log43·log98;（4）log2。56.25＋lneq\r（e）－考点对数的运算题点指数对数的混合运算解（1）原式＝log632＋log64＝log6(32×4)＝log6(62）＝2log66＝2.(2）原式＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（lg\f（25，\f（1，4))））÷＝lg102÷10－1＝2×10＝20.（3)原式＝eq\f（lg3，lg4）·eq\f(lg8，lg9）＝eq\f（lg3，2lg2）·eq\f（3lg2,2lg3）＝eq\f（3,4)。(4）原式＝log2。5(2.5）2＋eq\f（1,2）－＝2＋eq\f(1,2）－eq\f(4，10)＝eq\f（21，10)。类型二代数式的化简命题角度1代数式恒等变换例2化简logaeq\f(x2\r（y)，\r(3，z))。考点对数的运算题点对数的运算性质解∵eq\f（x2\r(y)，\r（3，z））〉0且x2>0，eq\r(y）〉0，∴y>0，z〉0。logaeq\f（x2\r(y）,\r(3,z)）＝loga(x2eq\r（y)）－logaeq\r（3，z)＝logax2＋logaeq\r(y）－logaeq\r（3,z)＝2loga｜x｜＋eq\f(1,2）logay－eq\f（1，3)logaz。反思与感悟使用公式要注意成立条件，如lgx2不一定等于2lgx，反例：log10(－10）2＝2log10(－10)是不成立的．要特别注意loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN。跟踪训练2已知y>0，化简logaeq\f（\r(x），yz)。考点对数的运算题点对数的运算性质解∵eq\f(\r(x），yz)〉0，y〉0，∴x〉0，z>0。∴logaeq\f(\r（x),yz)＝logaeq\r（x）－loga（yz）＝eq\f（1,2）logax－logay－logaz。命题角度2用代数式表示对数例3已知log189＝a,18b＝5,求log3645.考点对数的运算题点用代数式表示对数解方法一∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b，于是log3645＝eq\f（log1845，log1836)＝eq\f(log189×5，log1818×2）＝eq\f(log189＋log185,1＋log182）＝eq\f(a＋b，1＋log18\f(18,9))＝eq\f(a＋b,2－a).方法二∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b，于是log3645＝eq\f(log1845,log1836）＝eq\f(log189×5,log1818×2）＝eq\f（log189＋log185，2log1818－log189）＝eq\f(a＋b,2－a）。方法三∵log189＝a，18b＝5，∴lg9＝alg18,lg5＝blg18，∴log3645＝eq\f（lg45,lg36)＝eq\f(lg9×5，lg\f(182，9））＝eq\f(lg9＋lg5,2lg18－lg9）＝eq\f(alg18＋blg18，2lg18－alg18）＝eq\f（a＋b，2－a).反思与感悟此类问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元．跟踪训练3已知log23＝a,log37＝b，用a,b表示log4256.考点对数的运算题点用代数式表示对数解∵log23＝a，则eq\f（1,a）＝log32，又∵log37＝b，∴log4256＝eq\f（log356，log342)＝eq\f(log37＋3log32,log37＋log32＋1）＝eq\f(ab＋3，ab＋a＋1).1．log5eq\f(1,3)＋log53等于(）A．0B．1C．－1D．log5eq\f(10,3）考点对数的运算题点对数的运算性质答案A2．设a，b,c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是(）A．logab·logcb＝logcaB．logab·logca＝logcbC．loga（bc）＝logab·logacD．loga(b＋c)＝logab＋logac考点对数的运算题点换底公式的应用答案B解析由logab·logcb＝eq\f(lgb，lga）·eq\f(lgb，lgc）≠logca，故A错;由logab·logca＝eq\f(lgb，lga）·eq\f（lga，lgc)＝eq\f(lgb，lgc)＝logcb。故选B。3．log29×log34等于()A。eq\f（1，4）B。eq\f(1,2)C．2D．4考点对数的运算题点换底公式的应用答案D4．lg0.01＋log216的值是________．考点对数的运算题点对数的运算性质答案2解析lg0。01＋log216＝－2＋4＝2.5．若2x＝3y，则eq\f（x，y)＝________。考点对数的运算题点用代数式表示对数答案log23解析方法一设2x＝3y＝t，则x＝log2t，y＝log3t.∴eq\f(x，y）＝eq\f（log2t，log3t)＝eq\f(\f(1,log3t）,\f(1，log2t））＝eq\f（logt3，logt2)＝log23。方法二∵2x＝3y，则lg2x＝lg3y，∴xlg2＝ylg3,∴eq\f(x,y）＝eq\f（lg3,lg2)＝log23。1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用;使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意：(1）在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．(2）根据不同的问题选择公式的正用或逆用．（3）在运算过程中避免出现以下错误：①logaNn＝（logaN)n,②loga（MN)＝logaM·logaN，③logaM±logaN＝loga(M±N)．一、选择题1．下列各式（各式均有意义）不正确的个数为()①loga（MN）＝logaM＋logaN；②loga（M－N）＝eq\f（logaM，logaN）；③a＝eq\f(1，\r(m,an）)；④（am)n＝amn；⑤＝－nlogab.A．2B．3C．4D．5考点对数的运算题点对数的运算性质答案B解析①正确，②不正确，③正确，④不正确，⑤不正确．2．如果lgx＝lga＋3lgb－5lgc，那么(）A．x＝eq\f(ab3，c5) B．x＝eq\f(3ab，5c)C．x＝a＋3b－5c D．x＝a＋b3－c3考点对数的运算题点对数的运算性质答案A解析lga＋3lgb－5lgc＝lga＋lgb3－lgc5＝lgeq\f(ab3,c5），∴由lgx＝lgeq\f（ab3，c5)，可得x＝eq\f（ab3,c5）.3．log4等于（)A.eq\f（1,2）B。eq\f(1,4)C．2D．4考点对数的运算题点对数的运算性质答案D解析log4＝log（eq\r(2）)4＝4。4．化简eq\f(log58，log52)等于（）A．log54B．3log52C．2D．3考点对数的运算题点换底公式的应用答案D解析eq\f(log58，log52）＝log28＝log223＝3.5．已知lg2＝a，lg3＝b，则用a，b表示lg15为（)A．b－a＋1 B．b(a－1)C．b－a－1 D．b（1－a)考点对数的运算题点用代数式表示对数答案A解析lg15＝lg(3×5)＝lg3＋lg5＝lg3＋lgeq\f(10，2）＝lg3＋1－lg2＝b－a＋1。6．已知函数f（x）＝lneq\f（ex，e－x),若f

eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(e,2013））)＋f

eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（2e，2013）))＋…＋f

eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（2012e，2013))）＝503（a＋b），则a2＋b2的最小值为()A．6B．8C．9D．12答案B解析∵f(x)＋f（e－x）＝2,∴f

eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(e,2013）)）＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(2e，2013）)）＋…＋f

eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（2012e,2013))）＝2012，∴503（a＋b)＝2012，∴a＋b＝4。∴a2＋b2≥a2＋(4－a）2＝2(a－2)2＋8≥8，当且仅当a＝b＝2时取等号．7．（2017·湖州中学期中)设a，b，c都是正数,且3a＝4b＝6c,那么（）A.eq\f（1，c)＝eq\f（1,a)＋eq\f（1，b) B.eq\f(2，c）＝eq\f（2，a）＋eq\f（1,b）C.eq\f（1,c）＝eq\f（2,a)＋eq\f（2,b） D。eq\f(2,c）＝eq\f(1,a）＋eq\f（2,b)答案B解析设3a＝4b＝6c＝k，所以a＝log3k,b＝log4k,c＝log6k，变形为eq\f(1,a）＝logk3,eq\f（1,b）＝logk4，eq\f（1，c）＝logk6，所以eq\f(2，c)＝logk36,eq\f（2，a)＋eq\f(1，b)＝logk36，故eq\f(2,c）＝eq\f(2,a）＋eq\f(1，b）.8．化简:eq\r（log232－4log23＋4)＋log2eq\f(1，3）等于()A．2 B．2－2log23C．－2 D．2log23－2考点对数的运算题点对数的运算性质答案B解析eq\r(log232－4log23＋4)＝eq\r(log23－22)＝｜log23－2|＝2－log23。∴原式＝2－log23＋log2eq\f（1，3）＝2－log23－log23＝2－2log23.二、填空题9．(log43＋log83)(log32＋log92）＝________。考点对数的运算题点换底公式的应用答案eq\f(5，4)解析原式＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(log23,log24）＋\f(log23，log28)））eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，log23）＋\f(1,log232)））＝eq\f（5，6)log23·eq\f（3,2log23）＝eq\f（5，4).10．计算：eq\f（1－log632＋log62·log618，log64）＝________。答案1解析原式＝eq\f（1－2log63＋log632＋log6\f（6,3）·log66×3，log64)＝eq\f(1－2log63＋log632＋1－log632,log64)＝eq\f(21－log63，2log62)＝eq\f(log66－log63，log62）＝eq\f（log62,log62）＝1。11．若3x＝4y＝36，则eq\f(2,x）＋eq\f(1,y)＝________。考点对数的运算题点用代数式表示对数答案1解析3x＝4y＝36，两边取以6为底的对数，得xlog63＝ylog64＝2，∴eq\f(2,x）＝log63，eq\f(2,y）＝log64，即eq\f(1，y）＝log62，故eq\f（2,x）＋eq\f（1,y）＝log63＋log62＝1.三、解答题12．计算：（1)（log33)2＋log0。25eq\f(1，4）＋9log5eq\r(5)－log1；(2）eq\f（2lg2＋lg3，1＋\f(1，2）lg0.36＋\f（1，3）lg8）.考点对数的运算题点对数的运算性质解（1)（log33）2＋log0.25eq\f（1,4)＋9log5eq\r（5)－log1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，2）））2＋1＋9×eq\f(1，2)－0＝eq\f(1，4)＋1＋eq\f（9,2)＝eq\f（23，4）。(2）eq\f(2lg2＋lg3,1＋\f（1,2)lg0.36＋\f(1，3)lg8）＝eq\f（2lg2＋lg3，1＋\f(1，2)lg0。62＋\f(1,3）lg23）＝eq\f（2lg2＋lg3,1＋lg0.6＋lg2)＝eq\f(2lg2＋lg3，1＋lg6－lg10＋lg2）＝eq\f(2lg2＋lg3，lg6＋lg2）＝eq\f(2lg2＋lg3,lg2＋lg3＋lg2)＝eq\f（2lg2＋lg3，2lg2＋lg3)＝1。13．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py。(1)求p的值；（2）求证：eq\f（1,z）－eq\f（1，x)＝eq\f(1,2y)。考点对数的运算题点用代数式表示对数(1）解设3x＝4y＝6z＝t，则t〉0，且t≠1.∴x＝log3t,y＝log4t，z＝log6t.∵2x＝py，∴2log3t＝plog4t＝p·eq\f(log3t，log34)。∵log3t≠0,∴p＝2log34＝4log32.(2）证明eq\f(1，z）－eq\f