2018-2019数学新学案同步苏教版必修二讲义：第一章 立体几何初步1.2.2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。2.2空间两条直线的位置关系学习目标1。了解两条直线的三种位置关系.2。理解异面直线的定义及判定，能判断两条直线是不是异面直线。3。理解公理4和等角定理,并会用公理4证明线线平行.4。理解异面直线所成的角的概念．知识点一空间两条直线的位置关系思考在同一平面内,两条直线有几种位置关系？观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗?答案平行与相交．教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB与CD。梳理空间两条直线的位置关系位置关系共面情况公共点个数相交直线在同一平面内有且只有一个平行直线在同一平面内没有异面直线不同在任何一个平面内没有知识点二异面直线的判断思考分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？答案不一定,可能平行、相交或异面．梳理判断异面直线的方法方法内容定义法不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线定理法过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线反证法判定两条直线既不平行也不相交，那么这两条直线就是异面直线知识点三平行公理（公理4）思考在平面内有直线a，b,c,若a∥b，b∥c，则a∥c，该结论在空间中是否成立？答案成立．梳理平行公理（1）文字表述:平行于同一条直线的两条直线互相平行．（2）符号表示：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b∥c))⇒a∥c.知识点四等角定理及异面直线所成的角思考1观察图象，在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何?答案从图中可以看出,∠ADC＝∠A′D′C′,∠ADC＋∠D′A′B′＝180°。思考2在平行六面体A1B1C1D1—ABCD中,BC1∥AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”与“直线AD1与直线BC所成的角"是否相等？答案相等．梳理(1）等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．(2)异面直线所成的角定义前提两条异面直线a，b作法经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b结论我们把a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a,b所成的角范围记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90°特殊情况当θ＝90°时，异面直线a,b互相垂直，记作a⊥b1．两直线若不是异面直线，则必相交或平行．（√)2．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠BAC＝∠B′A′C′.（×)类型一公理4与等角定理的应用例1如图，已知在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；（2）∠DNM＝∠D1A1C1。证明（1）如图，连结AC，在△ACD中，∵M，N分别是CD,AD的中点，∴MN是△ACD的中位线，∴MN∥AC，且MN＝eq\f（1，2)AC。由正方体的性质，得AC∥A1C1，且AC＝A1C1.∴MN∥A1C1，且MN＝eq\f(1，2）A1C1,即MN≠A1C1，∴四边形MNA1C1是梯形．（2）由(1）可知，MN∥A1C1.又ND∥A1D1，且∠DNM与∠D1A1C1的两边的方向相同,∴∠DNM＝∠D1A1C1.反思与感悟（1)空间两条直线平行的证明①定义法:即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点．②利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．(2)等角定理的结论是相等，在实际应用时，一般是借助于图形判断两角的两边方向是否相同．跟踪训练1如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．求证：（1)四边形BB1M1M为平行四边形；(2）∠BMC＝∠B1M1C1。证明（1）在正方形ADD1A1中，M,M1分别为AD，A1D1的中点，∴A1M1∥AM，且A1M＝AM，∴四边形AMM1A1为平行四边形，∴A1A∥M1M，且A1A＝M1M.又∵A1A∥B1B，A1A＝B1B，∴M1M∥B1B,且M1M＝B1B,∴四边形BB1M1M为平行四边形．（2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.类型二异面直线的判断例2（1）在四棱锥P—ABCD中，各棱所在的直线互为异面的有________对．答案8解析与AB异面的有侧棱PD和PC,同理，与底面的各条边异面的都有两条侧棱，故共有异面直线4×2＝8(对)．（2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB,CD，EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？解三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.还原的正方体如图所示．反思与感悟判定异面直线的方法(1）定义法：利用异面直线的定义，说明两条直线不平行，也不相交,即不可能同在同一个平面内．(2）利用异面直线的判定定理．（3)反证法：假设两条直线不是异面直线,根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即可能相交或平行，然后推出矛盾即可．跟踪训练2如图所示，在三棱锥A—BCD中，E，F是棱AD上异于A,D的两个不同点，G,H是棱BC上异于B，C的两个不同点,给出下列说法：①AB与CD互为异面直线；②FH分别与DC,DB互为异面直线；③EG与FH互为异面直线;④EG与AB互为异面直线．其中说法正确的是________．(填序号）答案①②③④解析因为直线DC⊂平面BCD，直线AB⊄平面BCD，点B∉直线DC，所以由异面直线的判定定理可知，①正确；同理，②③④正确．1．若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是______________．答案相交、平行或异面解析异面直线不具有传递性,可以以长方体为载体加以说明，异面直线a，b，直线c的位置可如图所示．2．下列四个结论中错误命题的个数是________．①垂直于同一直线的两条直线互相平行;②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a,b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c;④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．答案2解析①④均为错误命题．①可举反例，如a，b，c三线两两垂直．④如图甲，c，d与异面直线l1,l2交于四个点,此时c,d异面；当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形,如图乙所示，此时c,d共面相交．3．在三棱锥的所有棱中,互为异面直线的有________对．答案3解析如图，在三棱锥A—BCD中，AB与CD异面，BC与AD异面，AC与BD异面，所以有3对异面直线．4.如图所示,在三棱锥A-BCD中,E，F,G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足________时，四边形EFGH为菱形;当AC，BD满足________时，四边形EFGH是正方形．答案AC＝BDAC＝BD且AC⊥BD解析由题意可得EF∥AC∥HG,且EF＝eq\f（1,2）AC＝HG，∴四边形EFGH为平行四边形,又EH∥BD∥FG，且EH＝eq\f(1,2）BD＝FG，∴当EF＝FG,即AC＝BD时,四边形EFGH为菱形；当EF⊥FG且EF＝FG,即AC⊥BD且AC＝BD时，四边形EFGH为正方形．5.如图所示，已知E，F,G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD,DA的中点．(1)求证:E，F，G，H四点共面；(2）若AC⊥BD，求证：四边形EFGH是矩形．证明(1)如图所示，连结EF,FG，GH，HE，在△ABD中，∵E，H分别是AB,AD的中点，∴EH∥BD，且EH＝eq\f（1,2）BD。同理FG∥BD，且FG＝eq\f（1，2)BD，∴EH∥FG,且EH＝FG，∴E，F，G，H四点共面．（2）由（1)知EH∥FG，且EH＝FG，∴四边形EFGH为平行四边形．∵HG是△ADC的中位线,∴HG∥AC.又EH∥BD，AC⊥BD，∴EH⊥HG,∴四边形EFGH为矩形．1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．对于异面直线的判断，常用判定定理和反证法．2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°］，在解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．作异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生，主要有三种方法:①直接平移法（可利用图中已有的平行线）；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体,以便找到平行线)．一、填空题1．已知空间两个角α，β，α与β的两边对应平行，且α＝60°，则β＝________.答案60°或120°2．如图所示，G,H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是________．(填序号)答案②④解析①中，∵G，M是中点，∴AG∥BM，AG＝BM,∴GM∥AB∥HN，GM＝AB＝HN，故四边形GHNM为平行四边形，∴GH∥MN，即G，H，M，N四点共面；②中，∵H，G，N三点共面，且都在平面HGN内,而点M显然不在平面HGN内，∴H，G，M，N四点不共面，即GH与MN异面；③中，∵G，M是中点,∴GM∥CD，且GM＝eq\f（1，2)CD,∴GM∥HN，且GM＝eq\f(1,2)HN，即GMNH是梯形,则HG,MN必相交，即H，G,M，N四点共面；④中，同②，G，H,M,N四点不共面,即GH与MN异面．3．若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是________．(填序号)①OB∥O1B1且方向相同；②OB∥O1B1；③OB与O1B1不平行；④OB与O1B1不一定平行．答案④解析如图（1），∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1但OB与O1B1不平行，故①②排除；如图（2），∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，此时OB∥O1B1，故③排除．4．下列三种说法：①若直线a，b相交,b，c相交,则a，c相交；②若a∥b,则a，b与c所成的角相等；③若a⊥b，b⊥c,则a∥c.其中正确的个数是________．答案1解析若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行、异面均有可能，故①不对;若a⊥b，b⊥c，则a，c平行、相交、异面均有可能，故③不对；②正确．5．已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点,且AC＝4，BD＝6，则MN的取值范围为________．考点平行公理题点判断、证明线线平行答案(1，5）解析取AD的中点H，连结MH，NH，则MH∥BD，且MH＝eq\f(1,2）BD,NH∥AC，且NH＝eq\f(1,2)AC,且M，N，H三点构成三角形,由三角形中三边关系，可得MH－NH〈MN〈MH＋NH，即1〈MN〈5.6。如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1,C1C的中点，有以下四个结论:①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________．(写出所有正确结论的序号)答案③④解析∵A,M，C，C1四点不共面，∴直线AM与CC1是异面直线，故①错；同理,直线AM,BN也是异面直线,故②错；同理，直线BN与MB1是异面直线，直线AM与DD1是异面直线，∴③④正确．7。如图所示，设E，F，G,H依次是空间四边形ABCD边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，eq\f(AE，AB)＝eq\f（AH，AD)＝λ,eq\f（CF，CB)＝eq\f(CG,CD)＝μ,则下列结论中不正确的是________．（填序号）①当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形；②当λ≠μ时,四边形EFGH是梯形；③当λ≠μ时，四边形EFGH一定不是平行四边形;④当λ＝μ时，四边形EFGH是梯形．答案④解析由eq\f（AE，AB)＝eq\f(AH，AD）＝λ，得EH∥BD，且eq\f（EH,BD）＝λ。同理得FG∥BD,且eq\f（FG,BD）＝μ。当λ＝μ时，EH∥FG且EH＝FG.当λ≠μ时，EH∥FG,但EH≠FG.所以只有④错误．8．如果把两条异面直线看成“1对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有________对．答案24解析六条侧棱不是异面直线，一条侧棱与底面六边形的两条边相交，与另外四条边异面，这样异面直线一共有4×6＝24（对）．9．一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②EF与MN是异面直线；③MN∥CD.以上结论中正确的序号为________．答案①②解析把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF,EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，所以只有①②正确．10．从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条,使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k的最大值是________．答案4解析正方体共有8个顶点，若选出的k条线两两异面,则不能共顶点,即至多可选出4条，∴k的最大值为4。二、解答题11。如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD,且BC＝eq\f（1，2）AD，BE∥FA，且BE＝eq\f(1，2）FA，G，H分别为FA，FD的中点．(1）证明：四边形BCHG是平行四边形;（2)判断C，D，F,E四点是否共面？为什么？(1）证明由已知得FG＝GA，FH＝HD，可得GH∥AD，且GH＝eq\f(1,2)AD。又BC∥AD，且BC＝eq\f(1，2）AD,∴GH∥BC，且GH＝BC，∴四边形BCHG为平行四边形．（2)解由BE∥AF，且BE＝eq\f(1，2)AF，G为FA的中点知，BE∥FG,且BE＝FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG。由(1)知BG∥CH，且BG＝CH，∴EF∥CH,∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．12.如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′、BB′、CC′交于同一点O，且eq\f(OA，OA′)＝eq\f（BO,OB′）＝eq\f（CO,OC′)＝eq\f（2，3)。(1)求证：A′B′∥AB,A′C′∥AC,B′C′∥BC；（2)求eq\f(S△ABC，S△A′B′C′）的值．(1）证明∵AA′∩BB′＝O,且eq\f(AO,A′O）＝eq\f（BO,B′O）＝eq\f(2，3),∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′。(2）解∵A′B′∥AB，A′