2018-2019数学新学案同步苏教版必修二讲义：第一章 立体几何初步章末复习

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精章末复习学习目标1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练画出几何体的直观图，能熟练地计算空间几何体的表面积和体积，体会通过展开图、截面化空间为平面的方法．1．四个公理公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．直线与直线的位置关系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(平行,,相交，)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.）)3．平行的判定与性质(1)线面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α,a∥ba∥αa∥α,a⊂β，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b(2）面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β,a⊂β结论α∥βα∥βa∥ba∥α（3)空间中的平行关系的内在联系4．垂直的判定与性质(1)线面垂直的判定与性质图形条件结论判定a⊥b,b⊂α（b为α内的任意直线）a⊥αa⊥m，a⊥n,m，n⊂α，m∩n＝Oa⊥αa∥b，a⊥αb⊥α性质a⊥α，b⊂αa⊥ba⊥α，b⊥αa∥b(2)面面垂直的判定与性质文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1(l⊂β，l⊥α))⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1(α⊥β，α∩β＝a，l⊂β，l⊥a）)⇒l⊥α(3)空间中的垂直关系的内在联系5．空间角(1)异面直线所成的角①定义:设a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角．②范围：设两异面直线所成的角为θ，则0°<θ≤90°。(2)直线和平面所成的角①平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．（3）二面角的有关概念①二面角：一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．②二面角的平面角:一般地,以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．6．几何体的侧面积和体积的有关计算柱体、锥体、台体和球体的侧面积和体积公式面积体积圆柱S侧＝2πrhV＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrlV＝eq\f（1，3）Sh＝eq\f（1，3)πr2h＝eq\f（1,3)πr2eq\r(l2－r2)圆台S侧＝π(r1＋r2）lV＝eq\f(1,3）（S上＋S下＋eq\r（S上S下））h＝eq\f（1，3）π（req\o\al（2,1）＋req\o\al（2,2)＋r1r2）h直棱柱S侧＝chV＝Sh正棱锥S侧＝eq\f(1，2)ch′V＝eq\f(1,3）Sh正棱台S侧＝eq\f(1,2)(c＋c′）h′V＝eq\f(1,3)（S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S球面＝4πR2V＝eq\f(4,3）πR31．简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．(√）2．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β.（×）3．若α⊥β，a⊥β，则a∥α.（×）类型一空间中的平行关系例1如图,E，F，G，H分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，求证：(1)GE∥平面BB1D1D；（2)平面BDF∥平面B1D1H.证明（1）如图，取B1D1的中点O，连结GO，OB,易证OG綊eq\f(1，2）B1C1,BE綊eq\f（1，2）B1C1，∴OG綊BE,∴四边形BEGO为平行四边形，∴OB∥GE。又∵OB⊂平面BDD1B1,GE⊄平面BDD1B1,∴GE∥平面BDD1B1.（2）由正方体性质得B1D1∥BD，∵B1D1⊄平面BDF,BD⊂平面BDF，∴B1D1∥平面BDF.连结HB，D1F，易证HBFD1是平行四边形,∴HD1∥BF.又∵HD1⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，∴HD1∥平面BDF.∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.反思与感悟（1)判断线面平行的两种常用方法①利用线面平行的判定定理．②利用面面平行的性质，即当两平面平行时,其中一平面内的任一直线平行于另一平面．（2)判断面面平行的常用方法①利用面面平行的判定定理．②面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ）．③利用线面垂直的性质（l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．跟踪训练1如图所示,四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在,请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．解当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD.证明如下:如图，连结BD,和AC交于点O，连结FO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点．∴OF∥PD.又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD,∴OF∥平面PMD.又MA綊eq\f（1，2）PB,∴PF綊MA。∴四边形AFPM是平行四边形，∴AF∥PM。又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD，∴AF∥平面PMD.又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC，∴平面AFC∥平面PMD。类型二空间中的垂直关系例2如图，斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形,∠ACB＝90°，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BC＝AA1.求证：（1）平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；（2)BC1⊥AB1。证明（1）设BC的中点为M，连结B1M.∵点B1在底面ABC上的射影恰好是点M，∴B1M⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC,∴B1M⊥AC.又∵BC⊥AC，B1M∩BC＝M，∴AC⊥平面B1C1CB。又∵AC⊂平面ACC1A1，∴平面ACC1A1⊥平面B1C1CB。（2）连结B1C。∵AC⊥平面B1C1CB，∴AC⊥BC1.在斜三棱柱ABC－A1B1C1中,∵BC＝AA1＝CC1。∴四边形B1C1CB是菱形，∴B1C⊥BC1。又∵B1C∩AC＝C,∴BC1⊥平面ACB1，∴BC1⊥AB1.反思与感悟空间垂直关系的判定方法（1)判定线线垂直的方法①计算所成的角为90°（包括平面角和异面直线所成的角）．②线面垂直的性质(若a⊥α，b⊂α，则a⊥b）．（2)判定线面垂直的方法①线面垂直定义（一般不易验证任意性）．②线面垂直的判定定理（a⊥b，a⊥c,b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α)．③平行线垂直平面的传递性质（a∥b，b⊥α⇒a⊥α）．④面面垂直的性质（α⊥β，α∩β＝l，a⊂β,a⊥l⇒a⊥α）．⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β）．⑥面面垂直的性质（α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ）．(3)面面垂直的判定方法①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°）．②面面垂直的判定定理（a⊥β，a⊂α⇒α⊥β）．跟踪训练2如图，A,B，C，D为空间四点．在△ABC中，AB＝2,AC＝BC＝eq\r（2),等边△ADB以AB为轴运动．(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；(2）当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD？证明你的结论．解（1）如图,取AB的中点E,连结DE，CE，因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB。当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE。由已知可得DE＝eq\r（3），EC＝1，在Rt△DEC中,CD＝eq\r（DE2＋EC2)＝2。(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明如下:①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD,所以C,D都在线段AB的垂直平分线上,即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由（1)知AB⊥DE。又因为AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE，由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD。综上所述，总有AB⊥CD。类型三平行与垂直的综合应用例3如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.（1)求证:DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；（3）设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF?说明理由．(1）证明∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PC⊥DC.又AC⊥DC，PC∩AC＝C，PC⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴DC⊥平面PAC.(2）证明∵AB∥CD，CD⊥平面PAC,∴AB⊥平面PAC,AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAC.（3)解棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF。证明如下:取PB的中点F，连结EF，CE，CF,∵E为AB的中点，∴EF为△PAB的中位线，∴EF∥PA.又PA⊄平面CEF,EF⊂平面CEF,∴PA∥平面CEF.反思与感悟平行、垂直也可以相互转化，如图．跟踪训练3在如图所示的几何体中，D是AC的中点,EF∥DB.(1)已知AB＝BC,AE＝EC。求证：AC⊥FB；（2)已知G，H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面ABC.证明（1）因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF,如图,连结DE。因为AE＝EC,D为AC的中点，所以DE⊥AC。同理可得BD⊥AC。又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.因为FB⊂平面BDEF,所以AC⊥FB。(2）设FC的中点为I,连结GI,HI.在△CEF中,因为G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥DB,所以GI∥DB。在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I,所以平面GHI∥平面ABC,因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC。类型四空间几何体的表面积与体积例4如图，从底面半径为2a,高为eq\r(3）a的圆柱中，挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比．解由题意知，S1＝2π×2a×eq\r(3)a＋2π×(2a)2＝(4eq\r（3）＋8）πa2，S2＝S1＋πaeq\r(\r(3）a2＋a2)－πa2＝（4eq\r(3)＋9）πa2，∴S1∶S2＝（4eq\r(3)＋8)∶（4eq\r（3)＋9）．反思与感悟空间几何体的体积与表面积的计算方法(1）等积变换法：三棱锥也称为四面体,它的每一个面都可作底面来处理，恰当地进行换底等积变换便于问题的求解．（2)割补法：像求平面图形的面积一样，割补法是求几何体体积的一个重要方法，“割”就是将几何体分割成几个熟悉的柱、锥、台体或它们的组合体;“补”就是通过补形，使它转化为熟悉的几何体．总之，割补法的核心思想是将不熟悉的几何体转化为熟悉的几何体来解决．(3）展开法:把简单几何体沿一条侧棱或母线展开成平面图形，这样便把空间问题转化为平面问题，可以有效地解决简单空间几何体的表面积问题或侧面上(球除外）两点间的距离问题．（4）构造法:当探究某些几何体性质较困难时，我们可以将它放置在我们熟悉的几何体中，如正方体等这些对称性比较好的几何体,以此来研究所求几何体的性质．跟踪训练4如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，求三棱锥A1－AB1D1的高．解设三棱锥A1－AB1D1的高为h，则＝eq\f(1,3)h×eq\f（\r（3)，4)×(eq\r（2)a)2＝eq\f（\r(3)a2h,6)。又＝＝eq\f(1，3）a×eq\f（1,2）a2＝eq\f(a3,6)，所以eq\f（\r(3）a2h，6）＝eq\f（a3,6)，所以h＝eq\f（\r(3）,3）a.所以三棱锥A1－AB1D1的高为eq\f(\r（3)，3）a。1．如图，AE⊥平面α，垂足为点E，BF⊥平面α，垂足为点F，l⊂α，C,D∈α，AC⊥l，则当BD与l________时，平面ACE∥平面BFD。答案垂直解析当BD⊥l时，由BF⊥l知，l⊥平面BDF.又同理可得l⊥平面ACE，所以平面ACE∥平面BFD.2．已知平面α∥β∥γ，两条直线l，m分别与平面α,β，γ相交于点A,B，C和D，E,F，已知AB＝6,eq\f（DE,DF）＝eq\f（2，5），则AC＝________.答案15解析∵α∥β∥γ，∴eq\f（AB,BC)＝eq\f（DE,EF).由eq\f(DE,DF)＝eq\f(2,5)，得eq\f(DE，EF）＝eq\f(2，3），∴eq\f（AB,BC）＝eq\f(2,3).而AB＝6，∴BC＝9，∴AC＝AB＋BC＝15.3．设m,n,l是三条不同的直线，α是一个平面，l⊥m，则下列说法正确的是________．(填序号）①若m⊄α，l⊥α，则m∥α；②若l⊥n，则m⊥n；③若l⊥n，则m∥n;④若m∥n，n⊂α，则l⊥α。答案①解析若l⊥m，l⊥n，则m与n可能平行，也可能相交或异面，即②③都不正确；由l⊥m,m∥n，可得l⊥n，不一定有l⊥α，即④不正确;对①，可在l上取一点P，过P作m′∥m，则m′⊥l，m′与l确定一个平面β,β∩α＝a，由l⊥α,得l⊥a.又m′，a，l同在平面β内，则由l⊥m′，l⊥a，得m′∥a,于是m∥a，又m⊄α,所以m∥α。故填①.4．已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为60πcm2,则此圆锥的体积为________cm3。答案96π解析圆锥的侧面积为πrl＝10πr＝60π，得r＝6。则h＝eq\r(l2－r2）＝eq\r（102－62)＝8，所以圆锥的体积为eq\f（1，3)πr2h＝eq\f（1,3）π×62×8＝96π.5．如图所示,PA⊥平面ABC,点C在以AB为直径的圆O上，点E为线段PB的中点，点M在上，且OM∥AC。求证：(1)平面MOE∥平面PAC;（2)平面PAC⊥平面PCB。证明(1）因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OE∥PA。因为PA⊂平面PAC，OE⊄平面PAC,所以OE∥平面PAC。因为OM∥AC,又AC⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，所以OM∥平面PAC。因为OE⊂平面MOE，OM⊂平面MOE，OE∩OM＝O，所以平面MOE∥平面PAC.(2)因为点C在以AB为直径的圆O上，所以∠ACB＝90°,即BC⊥AC.因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC.因为AC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC。因为BC⊂平面PCB,所以平面PAC⊥平面PCB。1．空间中平行关系的转化2．空间中垂直关系的转化3．空间角的求法(1）找异面直线所成角的三种方法①利用图中已有的平行线平移．②利用特殊点（线段的端点或中点)作平行线平移．③补形平移．（2)线面角:求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形．一、填空题1．湖面上浮着一个球,湖水结冰后将球取出，冰上留下一个冰面直径为24cm，深为8cm的空穴,则这个球的半径为________cm。答案13解析冰面空穴是球的一部分，截面图如图所示，设球心为O，冰面圆的圆心为O1，球半径为R,由图知OB＝R，O1B＝eq\f（1，2）AB＝12,OO1＝OC－O1C＝R－8，在Rt△OO1B中，由勾股定理R2＝（R－8）2＋122,解得R＝13（cm)．2．用长、宽分别是3π和π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,则圆柱的表面积是________．答案3π2＋eq\f（9,2）π或3π2＋eq\f(1，2)π解析以长为π的边为高时,底面半径为eq\f(3，2),S＝3π2＋2·π·eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＝3π2＋eq\f(9,2)π。以长为3π的边为高时，底面半径为eq\f（1,2)，S＝3π2＋2·π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2）)）2＝3π2＋eq\f(1，2）π.3．已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是________．(填序号）①l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3；②l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3；③l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面；④l1，l2，l3共点⇒l1,l2，l3共面．答案②解析当l1⊥l2，l2⊥l3时,l1与l3平行或相交或异面，故①不正确；当l1⊥l2，l2∥l3时,l1⊥l3，故②正确;当l1∥l2∥l3，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱所在的直线，故③不正确；当l1，l2，l3共点时，l1,l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱所在的直线，故④不正确．4.如图所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1，高为8,则一质点从A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路径的长为________．答案10解析如图所示，将两个三棱柱的侧面沿侧棱AA1展开并拼接，则最短路径为l＝eq\r（62＋82)＝10.5.如图，在四面体P-ABC中，PA＝PB＝eq\r(13）,平面PAB⊥平面ABC,∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6,则PC＝________。答案7解析取AB的中点D，连结PD，∵PA＝PB，∴PD⊥AB.∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB,PD⊂平面PAB,∴PD⊥平面ABC.连结DC，则△PDC为直角三角形，在Rt△ABC中，AB＝eq\r（AC2－BC2）＝eq\r（82－62)＝2eq\r（7）,在Rt△DBC中,DC＝eq\r(BC2＋BD2)＝eq\r(62＋\r（7）2）＝eq\r(43)，∴PD＝eq\r(PA2－AD2）＝eq\r（13－7)＝eq\r（6)，∴PC＝eq\r(DC2＋PD2)＝eq\r（\r(43)2＋\r（6)2)＝7.6．一个正四面体木块如图所示,点P是棱VA的中点，过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC,若木块的棱长为a，则截面面积为________．答案eq\f（a2,4）解析在平面VAC内作直线PD∥AC，交VC于点D，在平面VBA内作直线PF∥VB，交AB于点F,过点D作直线DE∥VB，交BC于点E，连结EF.∵PF∥DE，∴P，D,E，F四点共面，且平面PDEF与VB和AC都平行,则四边形PDEF是边长为eq\f（1，2）a的正方形，故其面积为eq\f（a2，4)。7．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径,且SC＝2，则此棱锥的体积为________．答案eq\f（\r（2),6）解析由于三棱锥S－ABC与三棱锥O－ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S－ABC的高是三棱锥O－ABC高的2倍，所以三棱锥S－ABC的体积也是三棱锥O－ABC体积的2倍．在三棱锥O－ABC中，其棱长都是1，如图所示，S△ABC＝eq\f(\r(3），4)×AB2＝eq\f(\r（3),4）,高OD＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(\r(3），3）））2)＝eq\f（\r(6）,3），∴VS－ABC＝2VO－ABC＝2×eq\f(1，3）×eq\f(\r（3），4）×eq\f（\r（6),3）＝eq\f（\r(2),6）.8。如图,已知点E,F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值为________．考点二面角题点知题作角答案eq\f（\r（2），3)解析在平面BC1内延长FE，CB，相交于点G，连结AG，过点B作BH垂直AG于点H，连结EH.∵BE⊥平面ABCD，AG⊂平面ABCD，∴BE⊥AG.∵BH⊥AG，BH∩EB＝B,∴AG⊥平面BEH，∴AG⊥EH。故∠BHE是平面AEF与平面ABC所成二面角的平面角．设正方体的棱长为a,则BE＝eq\f(a，3)，CF＝eq\f(2，3)a，∴GB∶GC＝BE∶CF＝1∶2,∴BG＝a，∴BH＝eq\f(\r（2),2)a，故tan∠BHE＝eq\f(BE,BH)＝eq\f（\f(a,3）,\f（\r（2），2)a)＝eq\f(\r（2）,3)。9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中,M是DD1的中点,则下列结论正确的是________．（填序号)①直线A1M与直线B1C为异面直线；②直线BD1⊥平面AB1C；③平面AMC⊥平面AB1C；④直线A1M∥平面AB1C.答案①②③解析由异面直线的定义，所以①正确；易证明BD1⊥AB1，BD1⊥AC，所以BD1⊥平面AB1C，所以②正确;连结BD交AC于点O，连结OM，可以证明OM∥BD1，所以OM⊥平面AB1C，可得平面AMC⊥平面AB1C，所以③正确;由题意，得直线A1M与平面AB1C相交,所以④不正确．10。一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示),桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的eq\f（1,4)，则当油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是________．答案eq\f（1,4）－eq\f（1，2π）解析设圆柱桶的底面半径为R，高为h，油桶直立时油面的高度为x，由题意知，油部分所在圆弧对应的扇形的圆心角为eq\f(π,2）,则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，4)πR2－\f（1，2)R2）)h＝πR2x，所以eq\f（x,h)＝eq\f(1，4)－eq\f（1，2π).二、解答题11．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上,A1E＝D1F＝4。过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由）；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．解(1)交线围成的正方形EHGF如图所示．(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4,EB1＝12，EM＝AA1＝8。因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10。于是MH＝eq\r(EH2－EM2)＝6,AH＝10，HB＝6.故＝eq\f(1，2)×(4＋10）×8＝56,＝eq\f（1，2）×（12＋6）×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为eq\f（9，7)（eq\f（7,9）也正确）．12．在三棱锥P－ABC中,PA⊥平面ABC，AB＝AC＝2,BC＝2eq\r(3）,M，N分别为BC，AB的中点．(1）求证:MN∥平面PAC;（2）求证:平面PBC⊥平面PAM；(3)在AC上是否存在点E，使得ME⊥平面PAC,若存在,求出ME的长，若不存在，请说明理由．(1）证明因为M，N分别为BC，AB的中点，所以MN∥AC.又因为MN⊄平面PAC,AC⊂平面PAC,所以MN∥平面PAC.(2)证明因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC.因为AB＝AC＝2，M为BC的中点,所以AM⊥BC.因为AM∩PA＝A，所以BC⊥平面PAM.因为BC⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAM。(3）解存在．过点M作ME⊥AC交AC于点E，因为PA⊥平面ABC，ME⊂平面ABC，所以PA⊥ME.又因为ME⊥AC，AC∩PA＝A，所以ME⊥平面PAC.因为在△ABC中，AB＝AC＝2,BC＝2eq\r(3)，M为BC的中点,所以ME＝eq\f（\r（3）,2).13。如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥CD,AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°,BC＝CD＝eq\f（1,2)AD.(1）在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB，并说明理由;(2）证明：平面PAB⊥平面PBD。(1）解取棱AD的中点M(M∈平面PAD），点M即为所求的一个点,理由如下：因为AD∥BC，BC＝eq\f（1,2)AD.所以BC∥AM,且BC＝AM.所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM∥AB.又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB，所以CM∥平面PAB。（2)证明连结BM。由已知，PA⊥AB，PA⊥CD。因为AD∥BC，BC＝eq\f(1,2）AD，所以直线AB与CD相交,所以PA⊥平面ABCD。从而PA⊥BD。因为AD∥BC,BC＝eq\f（1,2）AD，所以BC∥MD，且BC＝MD。所