2018-2019学年北师大版数学选修4-5同步指导学案：第一章 不等关系与基本不等式 滚动训练一（§1～§3）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精滚动训练一(§1～§3）一、选择题1．已知m，n∈R，则eq\f(1，m)＞eq\f（1,n）成立的一个充要条件是()A．m＞0＞n B．n＞m＞0C．m＜n＜0 D．mn(m－n)＜0答案D解析若eq\f(1，m）＞eq\f（1，n）且mn＞0⇒n＞m⇒m－n＜0⇒mn(m－n）＜0；若eq\f(1,m）＞eq\f(1,n）且mn＜0⇒n＜m⇒m－n＞0⇒mn（m－n）＜0，∴eq\f(1，m）＞eq\f(1,n)⇒mn(m－n)＜0，同样mn(m－n）＜0⇒eq\f（1，m)＞eq\f（1，n）.2．已知a，b，c均为正数，且abc＝27，则a＋b＋c的最小值为（）A．3B．6C．9D．27答案C解析a＋b＋c≥3eq\r（3,abc)＝3×3＝9，当且仅当a＝b＝c时“＝”成立．3．设集合A＝{x|｜x－a｜＜1，x∈R｝，B＝｛x|｜x－b|＞2,x∈R},若A⊆B，则实数a,b必满足()A．｜a＋b｜≤3 B．｜a＋b|≥3C．｜a－b|≤3 D．|a－b|≥3答案D解析A＝{x｜a－1＜x＜a＋1}，B＝｛x|x＞b＋2或x＜b－2}．又A⊆B，∴a－1≥b＋2或a＋1≤b－2，∴a－b≥3或a－b≤－3,∴|a－b｜≥3。4．不等式|3x－2｜＞4的解集是()A．{x｜x＞2｝ B.eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜－\f(2，3））））)C.eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜－\f(2，3）或x＞2)）)) D。eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f（2,3)＜x＜2)）)）答案C解析方法一由|3x－2|＞4，得3x－2＜－4或3x－2＞4.即x＜－eq\f（2,3)或x＞2.所以原不等式的解集为{x｜x＜－eq\f（2,3)或x＞2｝．方法二(数形结合法)画出函数y＝｜3x－2|＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(3x－2,x≥\f（2,3）,，2－3x，x＜\f(2，3))）的图像，如图所示．由｜3x－2｜＝4，解得x＝2或x＝－eq\f(2，3)。在同一坐标系中画出直线y＝4，所以交点坐标为（2，4）与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（2，3),4))．所以当|3x－2|＞4时,x＜－eq\f（2,3)或x＞2.所以原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1（x＜－\f（2,3）或x＞2)))）。5．已知y＝loga（2－ax）在［0,1]上是增函数，则不等式loga|x＋1|＞loga|x－3｜的解集为()A．｛x｜x＜－1} B．｛x｜x＜1}C．{x|x＜1且x≠－1｝ D．{x|x＞1}答案C解析因为a＞0，且a≠1，所以函数f(x）＝2－ax为减函数．又因为y＝loga（2－ax）在［0，1]上是增函数，所以0＜a＜1，y＝logax为减函数，所以｜x＋1｜＜｜x－3｜，且x＋1≠0，x－3≠0。由｜x＋1｜＜｜x－3｜，得(x＋1)2＜（x－3)2，即x2＋2x＋1＜x2－6x＋9，解得x＜1.又x≠－1，且x≠3，所以解集为{x｜x＜1且x≠－1｝．6．下列不等式中恒成立的个数是（）①x＋eq\f(1，x）≥2（x≠0)；②eq\f(c,a)＜eq\f（c，b)(a＞b＞c＞0)；③｜a＋b|＋|b－a｜≥2a.A．0B．3C．2D．1答案C解析①不成立，当x＜0时不等式不成立；②成立，a＞b＞c＞0⇒eq\f(a，ab）＞eq\f(b，ab)，即eq\f(1,b）＞eq\f(1，a),又c＞0，故eq\f(c，b)＞eq\f(c,a）；③成立,由绝对值不等式的性质可知,｜a＋b|＋|b－a｜≥|（a＋b)－(b－a）|＝｜2a｜≥2a,故选C.二、填空题7．若0＜x＜1,则函数y＝x4(1－x2)的最大值是________，此时x＝________.答案eq\f(4,27)eq\f（\r（6),3）解析y＝x4（1－x2)＝eq\f(1，2）x2·x2·(2－2x2）≤eq\f(1，2）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（2,3）））3＝eq\f（4，27)，当且仅当x2＝2－2x2，即x＝eq\f（\r（6），3)时取“＝"号．8．若关于x的不等式｜x＋2｜＋｜x－1|＜a的解集为∅，则a的取值范围为________．答案(－∞，3]解析方法一由|x＋2｜＋｜x－1｜＝｜x＋2|＋|1－x|≥|x＋2＋1－x｜＝3知,当a≤3时，原不等式无解．方法二数轴上任一点到－2与1的距离之和的最小值为3。所以当a≤3时，原不等式的解集为∅.9．已知x＋2y＋3z＝6,则2x＋4y＋8z的最小值为________．答案12解析2x＋4y＋8z≥3eq\r（3，2x·4y·8z）＝3eq\r（3,2x＋2y＋3z)＝3eq\r（3，26）＝12，当且仅当2x＝4y＝8z，即x＝2y＝3z＝2时等号成立．10．设函数f(x)＝｜2x－1｜＋x＋3,则f(－2)＝______，若f(x）≤5,则x的取值范围是______．答案6［－1,1］解析f(－2)＝|2×（－2）－1|＋(－2)＋3＝6。∵|2x－1｜＋x＋3≤5⇔｜2x－1｜≤2－x⇔x－2≤2x－1≤2－x⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1≥x－2，,2x－1≤2－x.))∴－1≤x≤1.11．不等式|eq\r(2x－1）－x｜＜2的解集为________．答案eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(1，2）≤x＜5）)))解析原不等式⇔eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\r(2x－1)－x＜2，,\r(2x－1)－x＞－2。））因为eq\r(2x－1)－x＜2⇔eq\r（2x－1）＜x＋2⇔eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2x－1≥0,，x＋2≥0，,2x－1＜x＋22））⇔eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x≥\f(1,2），,x2＋2x＋5＞0)）⇔x≥eq\f(1,2).又eq\r(2x－1)－x＞－2⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（2x－1≥0，,x－2≥0，，2x－1＞x－22）)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（2x－1≥0，,x－2＜0))⇔eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x≥2,，x2－6x＋5＜0)）或eq\f(1,2)≤x＜2，⇔eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x≥2,，1＜x＜5）)或eq\f(1，2）≤x＜2⇔2≤x＜5或eq\f(1,2)≤x＜2⇔eq\f(1,2）≤x＜5.所以eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2），，\f(1，2)≤x＜5）)⇔eq\f（1，2)≤x＜5。因此，原不等式的解集为eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（1，2）≤x＜5))））.三、解答题12．设不等式｜x－2｜＜a(a∈N＋）的解集为A，且eq\f（3,2）∈A，eq\f（1,2)∉A。（1）求a的值；(2）求函数f（x)＝｜x＋a|＋|x－2|的最小值．解（1)因为eq\f（3，2）∈A，且eq\f（1，2）∉A，所以｜eq\f（3,2）－2|＜a,且|eq\f(1，2)－2|≥a,解得eq\f(1，2）＜a≤eq\f(3，2）。又因为a∈N＋，所以a＝1。（2)因为f(x)＝｜x＋1|＋｜x－2|≥｜（x＋1）－（x－2)｜＝3，当且仅当(x＋1)（x－2)≤0，即－1≤x≤2时取到等号．所以f（x）的最小值为3.13．已知函数f（x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3。(1)当a＝－2时,求不等式f(x)＜g(x）的解集；(2）设a＞－1，且当x∈[－eq\f（a，2)，eq\f(1，2))时，f（x)≤g(x)，求a的取值范围．解（1）当a＝－2时,不等式f（x）＜g(x）化为|2x－1｜＋｜2x－2|－x－3＜0，设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－5x，x＜\f（1,2)，,－x－2，\f（1，2)≤x≤1，，3x－6，x＞1。)）其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈(0,2）时，y＜0。所以原不等式的解集是｛x｜0＜x＜2｝．（2)当x∈eq\b\lc\[\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（a,2），\f(1,2）））时，f(x)＝1＋a，不等式f(x）≤g(x）化为1＋a≤x＋3，所以当x≥a－2时，对x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（a,2),\f（1,2）))都成立．故－eq\f（a,2）≥a－2，即a≤eq\f(4，3)。所以a的取值范围是eq\b\lc\（\rc\］(\a\vs4\al\co1（－1，\f（4，3))).四、探究与拓展14．对于c＞0,当非零实数a，b满足4a2－2ab＋b2－c＝0且使|2a＋b｜最大时，eq\f(1，a)＋eq\f（2,b）＋eq\f(4,c)的最小值为________．答案－1解析由题意知，c＝4a2－2ab＋b2＝（2a＋b)2－6ab，∴(2a＋b)2＝c＋6ab.若｜2a＋b｜最大，则ab＞0.当a＞0，b＞0时,（2a＋b）2＝c＋6ab＝c＋3×2a·b≤c＋3eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(2a＋b，2))）2，∴（2a＋b)2≤c＋eq\f(3,4)（2a＋b)2，∴(2a＋b)2≤4c,｜2a＋b|≤2eq\r（c),当且仅当b＝2a,即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝\f(\r(c),2），，b＝\r(c)））时取等号，此时eq\f（1,a）＋eq\f(2,b）＋eq\f(4,c）＝eq\f（2，\r（c））＋eq\f（2，\r（c))＋eq\f(4,c)＞0.当a＜0,b＜0时，（2a＋b）2＝c＋6ab＝c＋3（－2a）·(－b)≤c＋3eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(2a＋b，2))）2,∴（2a＋b）2≤4c，|2a＋b|≤2eq\r(c），即－2a－b≤2eq\r(c）.当且仅当b＝2a，即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝－\f(\r(c)，2),,b＝－\r（c）)）时取等号．此时eq\f(1，a）＋eq\f（2，b)＋eq\f(4，c)＝－eq\f(2，\r（c）)－eq\f(2，\r(c））＋eq\f（4，c）＝eq\f(4，c)－eq\f(4，\r（c))＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,\r（c)）－\f(1,2)))2－1≥－1,当eq\f(1,\r（c))＝eq\f(1,2）,即c＝4时等号成立．综上可知，当c＝4，a＝－1，b＝－2时，eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,a）＋\f（2，b）＋\f(4,c))）min＝－1。15．(2017·全国Ⅰ）已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4,g(x）＝|x＋1|＋|x－1|。(1）当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x）的解集；(2)若不等式f(x）≥g(x）的解集包含[－1，1]，求a的取值范围．解(1）当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于x2－x＋｜x＋1｜＋｜x－1|－4≤0.①当x〈－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；当x〉1时，①式化为x2＋x－4≤0，从而1〈x≤eq\f（－1＋\r（17),2）。所以f（x）≥g(x）的解集为eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\