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文档简介
学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精滚动训练一(§1~§3)一、选择题1.已知m,n∈R,则eq\f(1,m)>eq\f(1,n)成立的一个充要条件是()A.m>0>n B.n>m>0C.m<n<0 D.mn(m-n)<0答案D解析若eq\f(1,m)>eq\f(1,n)且mn>0⇒n>m⇒m-n<0⇒mn(m-n)<0;若eq\f(1,m)>eq\f(1,n)且mn<0⇒n<m⇒m-n>0⇒mn(m-n)<0,∴eq\f(1,m)>eq\f(1,n)⇒mn(m-n)<0,同样mn(m-n)<0⇒eq\f(1,m)>eq\f(1,n).2.已知a,b,c均为正数,且abc=27,则a+b+c的最小值为()A.3B.6C.9D.27答案C解析a+b+c≥3eq\r(3,abc)=3×3=9,当且仅当a=b=c时“=”成立.3.设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x||x-b|>2,x∈R},若A⊆B,则实数a,b必满足()A.|a+b|≤3 B.|a+b|≥3C.|a-b|≤3 D.|a-b|≥3答案D解析A={x|a-1<x<a+1},B={x|x>b+2或x<b-2}.又A⊆B,∴a-1≥b+2或a+1≤b-2,∴a-b≥3或a-b≤-3,∴|a-b|≥3。4.不等式|3x-2|>4的解集是()A.{x|x>2} B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<-\f(2,3)))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<-\f(2,3)或x>2)))) D。eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(-\f(2,3)<x<2))))答案C解析方法一由|3x-2|>4,得3x-2<-4或3x-2>4.即x<-eq\f(2,3)或x>2.所以原不等式的解集为{x|x<-eq\f(2,3)或x>2}.方法二(数形结合法)画出函数y=|3x-2|=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x-2,x≥\f(2,3),,2-3x,x<\f(2,3)))的图像,如图所示.由|3x-2|=4,解得x=2或x=-eq\f(2,3)。在同一坐标系中画出直线y=4,所以交点坐标为(2,4)与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(2,3),4)).所以当|3x-2|>4时,x<-eq\f(2,3)或x>2.所以原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<-\f(2,3)或x>2))))。5.已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是增函数,则不等式loga|x+1|>loga|x-3|的解集为()A.{x|x<-1} B.{x|x<1}C.{x|x<1且x≠-1} D.{x|x>1}答案C解析因为a>0,且a≠1,所以函数f(x)=2-ax为减函数.又因为y=loga(2-ax)在[0,1]上是增函数,所以0<a<1,y=logax为减函数,所以|x+1|<|x-3|,且x+1≠0,x-3≠0。由|x+1|<|x-3|,得(x+1)2<(x-3)2,即x2+2x+1<x2-6x+9,解得x<1.又x≠-1,且x≠3,所以解集为{x|x<1且x≠-1}.6.下列不等式中恒成立的个数是()①x+eq\f(1,x)≥2(x≠0);②eq\f(c,a)<eq\f(c,b)(a>b>c>0);③|a+b|+|b-a|≥2a.A.0B.3C.2D.1答案C解析①不成立,当x<0时不等式不成立;②成立,a>b>c>0⇒eq\f(a,ab)>eq\f(b,ab),即eq\f(1,b)>eq\f(1,a),又c>0,故eq\f(c,b)>eq\f(c,a);③成立,由绝对值不等式的性质可知,|a+b|+|b-a|≥|(a+b)-(b-a)|=|2a|≥2a,故选C.二、填空题7.若0<x<1,则函数y=x4(1-x2)的最大值是________,此时x=________.答案eq\f(4,27)eq\f(\r(6),3)解析y=x4(1-x2)=eq\f(1,2)x2·x2·(2-2x2)≤eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3=eq\f(4,27),当且仅当x2=2-2x2,即x=eq\f(\r(6),3)时取“="号.8.若关于x的不等式|x+2|+|x-1|<a的解集为∅,则a的取值范围为________.答案(-∞,3]解析方法一由|x+2|+|x-1|=|x+2|+|1-x|≥|x+2+1-x|=3知,当a≤3时,原不等式无解.方法二数轴上任一点到-2与1的距离之和的最小值为3。所以当a≤3时,原不等式的解集为∅.9.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为________.答案12解析2x+4y+8z≥3eq\r(3,2x·4y·8z)=3eq\r(3,2x+2y+3z)=3eq\r(3,26)=12,当且仅当2x=4y=8z,即x=2y=3z=2时等号成立.10.设函数f(x)=|2x-1|+x+3,则f(-2)=______,若f(x)≤5,则x的取值范围是______.答案6[-1,1]解析f(-2)=|2×(-2)-1|+(-2)+3=6。∵|2x-1|+x+3≤5⇔|2x-1|≤2-x⇔x-2≤2x-1≤2-x⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x-1≥x-2,,2x-1≤2-x.))∴-1≤x≤1.11.不等式|eq\r(2x-1)-x|<2的解集为________.答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x<5))))解析原不等式⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(2x-1)-x<2,,\r(2x-1)-x>-2。))因为eq\r(2x-1)-x<2⇔eq\r(2x-1)<x+2⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x-1≥0,,x+2≥0,,2x-1<x+22))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2),,x2+2x+5>0))⇔x≥eq\f(1,2).又eq\r(2x-1)-x>-2⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x-1≥0,,x-2≥0,,2x-1>x-22))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x-1≥0,,x-2<0))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥2,,x2-6x+5<0))或eq\f(1,2)≤x<2,⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥2,,1<x<5))或eq\f(1,2)≤x<2⇔2≤x<5或eq\f(1,2)≤x<2⇔eq\f(1,2)≤x<5.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2),,\f(1,2)≤x<5))⇔eq\f(1,2)≤x<5。因此,原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x<5)))).三、解答题12.设不等式|x-2|<a(a∈N+)的解集为A,且eq\f(3,2)∈A,eq\f(1,2)∉A。(1)求a的值;(2)求函数f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值.解(1)因为eq\f(3,2)∈A,且eq\f(1,2)∉A,所以|eq\f(3,2)-2|<a,且|eq\f(1,2)-2|≥a,解得eq\f(1,2)<a≤eq\f(3,2)。又因为a∈N+,所以a=1。(2)因为f(x)=|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当(x+1)(x-2)≤0,即-1≤x≤2时取到等号.所以f(x)的最小值为3.13.已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3。(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(2)设a>-1,且当x∈[-eq\f(a,2),eq\f(1,2))时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.解(1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0,设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-5x,x<\f(1,2),,-x-2,\f(1,2)≤x≤1,,3x-6,x>1。))其图像如图所示.从图像可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0。所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.(2)当x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(a,2),\f(1,2)))时,f(x)=1+a,不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3,所以当x≥a-2时,对x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(a,2),\f(1,2)))都成立.故-eq\f(a,2)≥a-2,即a≤eq\f(4,3)。所以a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-1,\f(4,3))).四、探究与拓展14.对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+b2-c=0且使|2a+b|最大时,eq\f(1,a)+eq\f(2,b)+eq\f(4,c)的最小值为________.答案-1解析由题意知,c=4a2-2ab+b2=(2a+b)2-6ab,∴(2a+b)2=c+6ab.若|2a+b|最大,则ab>0.当a>0,b>0时,(2a+b)2=c+6ab=c+3×2a·b≤c+3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a+b,2)))2,∴(2a+b)2≤c+eq\f(3,4)(2a+b)2,∴(2a+b)2≤4c,|2a+b|≤2eq\r(c),当且仅当b=2a,即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=\f(\r(c),2),,b=\r(c)))时取等号,此时eq\f(1,a)+eq\f(2,b)+eq\f(4,c)=eq\f(2,\r(c))+eq\f(2,\r(c))+eq\f(4,c)>0.当a<0,b<0时,(2a+b)2=c+6ab=c+3(-2a)·(-b)≤c+3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(2a+b,2)))2,∴(2a+b)2≤4c,|2a+b|≤2eq\r(c),即-2a-b≤2eq\r(c).当且仅当b=2a,即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=-\f(\r(c),2),,b=-\r(c)))时取等号.此时eq\f(1,a)+eq\f(2,b)+eq\f(4,c)=-eq\f(2,\r(c))-eq\f(2,\r(c))+eq\f(4,c)=eq\f(4,c)-eq\f(4,\r(c))=4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(c))-\f(1,2)))2-1≥-1,当eq\f(1,\r(c))=eq\f(1,2),即c=4时等号成立.综上可知,当c=4,a=-1,b=-2时,eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)+\f(2,b)+\f(4,c)))min=-1。15.(2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|。(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.解(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①当x〈-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;当x〉1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1〈x≤eq\f(-1+\r(17),2)。所以f(x)≥g(x)的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\
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