2020-2021学年高中数学第2章圆锥曲线与方程25圆锥曲线的统一定义学案苏教版2-1

学必求其心得，业必贵于专精2．5圆锥曲线的统必然义学习目标：1.认识圆锥曲线的统必然义，掌握依照圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法．(重点)2。理解并会运用圆锥曲线的共同性质，解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实责问题．（难点）1．平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上）的距离的比等于常数e的点的轨迹．当0<e<1时,它表示椭圆;当e>1时，它表示双曲线；当e＝1时,它表示抛物线．其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线是圆锥曲线的准线．2．椭圆错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)的准线方程为x＝±错误!，错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的准线方程为y＝±错误!.双曲线错误!－错误!＝1（a＞0,b＞0）的准线方程为x＝±错误!，y2双曲线a2－错误!＝1（a＞0，b＞0）的准线方程为y＝±错误!.[基础自测]-1-学必求其心得，业必贵于专精1．思虑辨析（1）平面内到一个定点F和到一条定直线l的距离的比等于2的点的轨迹是双曲线．( )x2(2）椭圆4＋y2＝1的准线方程是x＝±错误!。（）（3)双曲线离心率的取值范围是(1，＋∞)．( )(4)圆锥曲线的准线与其对称轴垂直．(）［答案]（1)×(2）√（3）√（4）×2．双曲线错误!－y2＝1的准线方程为________．[剖析]易知a2＝15，b2＝1，c2＝a2＋b2＝16，即c＝4，则双曲线的准线方程为x＝±错误!.[答案]x＝±错误!3．焦点坐标为F1(－2，0)，F2(2,0）,则准线方程为x＝±错误!的椭圆的标准方程为______．［剖析]由题意知c＝2，则错误!＝错误!＝错误!，故a2＝5，所以b2＝a2－c2＝1，则椭圆的方程为错误!＋y2＝1。-2-学必求其心得，业必贵于专精［答案]错误!＋y2＝14．双曲线错误!－错误!＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，右准线为x＝错误!，则右焦点的坐标为________．[剖析］据题意知错误!解得a＝1,c＝2，则右焦点的坐标为（2,0)．[答案］(2,0)已知焦点和准线求圆锥曲线的方程已知某圆锥曲线的准线是x＝1，在离心率分别取以下各值时,求圆锥曲线的标准方程:1(1）e＝2;(2）e＝1;（3）e＝错误!。［解］（1）离心率决定了它是椭圆,准线方程决定了它的焦点-3-学必求其心得，业必贵于专精在x轴上，由错误!＝1，错误!＝错误!，解得c＝错误!，a＝错误!，b2＝错误!,所求方程为错误!＋错误!＝1.（2）离心率决定了它是抛物线，准线方程决定了它的焦点在x轴负半轴上，错误!＝1,可得y2＝－4x。（3）离心率决定了它是双曲线，准线方程决定了它的焦点在x轴上，错误!＝1，错误!＝错误!，解得c＝错误!,a＝错误!，b2＝错误!。所求方程为错误!－错误!＝1。[规律方法］本例中，由于要求的是圆锥曲线的“标准"方程，其准线有固定公式，所以可直接列出基本量满足的关系式.［追踪训练]1．若抛物线的极点在原点，张口向上,F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝错误!,|AF|＝3,求此抛物线的标准方程．［解］设所求抛物线的标准方程为x2＝2py（p＞0)，设A（x0，y0），由题知M错误!.∵｜AF｜＝3，∴y0＋错误!＝3，∵|AM｜＝错误!，2x错误!＋错误!＝17，-4-学必求其心得，业必贵于专精∴x错误!＝8,代入方程x错误!＝2py0得，8＝2p错误!,解得p＝2或p＝4.∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y。用圆锥曲线的统必然义求轨迹已知动点P（x，y）到点A(0,3)与到定直线y＝9的距离之3比为3，求动点P的轨迹．[思路研究］此题解法有两种：一是定义法，二是直译法．[解]法一:由圆锥曲线的统必然义知，P点的轨迹是椭圆，c＝3，错误!＝9，则a2＝27，a＝3错误!，∴e＝错误!＝错误!，与已知条件切合．∴椭圆中心在原点，焦点为(0,，准±线3）y＝±9。b2＝18，其方程为错误!＋错误!＝1。法二:由题意得错误!＝错误!.整理得错误!＋错误!＝1.P点的轨迹是以（0，±3)为焦点，以y＝±9为准线的椭圆．［规律方法]解决此类题目有两种方法：(1)是直接列方程，代入后化简整理即得方程。-5-学必求其心得，业必贵于专精(2）是依照定义判断轨迹是什么曲线，尔后确定其几何性质，从而得出方程.［追踪训练］2．方程1＋x2＋y2＝|x＋y－1|对应点P(x，y)的轨迹为________．[剖析］由错误!＝|x＋y－1｜，得错误!＝错误!。可看作动点P(x,y)到定点(－1,0）的距离与到定直线x＋y－1＝0的距离比为错误!>1的轨迹方程，由圆锥曲线统必然义可知，轨迹为双曲线．[答案]双曲线圆锥曲线统必然义的应用x2y2已知A(4，0），B（2,2）是椭圆25＋9＝1内的两个点，M是椭圆上的动点．1)求MA＋MB的最大值和最小值；2)求MB＋错误!MA的最小值及此时点M的坐标．[思路研究］（1)利用椭圆的定义进行转变求解．-6-学必求其心得，业必贵于专精2）注意e＝错误!，则错误!MA＝错误!＝d(d为点M到右准线的距离），尔后利用数形结合思想求解．［解](1)以下列图,由错误!＋错误!＝1，得a＝5，b＝3,c＝4.所以A(4，0)为椭圆的右焦点，F(－4，0)为椭圆的左焦点．由于MA＋MF＝2a＝10，所以MA＋MB＝10－MF＋MB.由于｜MB－MF｜≤BF＝错误!＝2错误!，所以－210≤MB－MF≤2错误!。故10－210≤MA＋MB≤10＋2错误!，即MA＋MB的最大值为10＋2错误!，最小值为10－2错误!.(2)由题意得，椭圆的右准线l的方程为x＝错误!.由（1）图可知，点M到右准线的距离为MM′,由圆锥曲线的统必然义，得错误!＝e＝错误!,所以错误!MA＝MM′.所以MB＋错误!MA＝MB＋MM′。由（1）图可知,当B，M，M′三点共线时,MB＋MM′最小，即BM′＝错误!－2＝错误!。-7-学必求其心得，业必贵于专精当y＝2时，有错误!＋错误!＝1，解得x＝错误!（舍去负值），即点M的坐标为错误!。故MB＋错误!MA的最小值为错误!，此时点M的坐标为错误!.［规律方法］1．解答此类题目时,应注意式子中的系数特点，依此合适地采纳定义．2．圆锥曲线的统必然义，可以灵便地将曲线上点到焦点的距离与到相应准线的距离进行转变，从而简化解题过程．[追踪训练］3．已知双曲线错误!－错误!＝1和点A（4,1)，F是双曲线的右焦点，P是双曲线上任意一点,求PA＋错误!PF的最小值．[解］由双曲线的方程，知a＝2，b＝2错误!，∴c＝4，离心率e＝错误!＝2，右准线的方程为x＝1，设点P到右准线的距离为d，由圆锥曲线的定义，有错误!＝2,即错误!PF＝d,以下列图，过P作右准线的垂线,垂足为D，则PA＋错误!PF＝PA＋d＝PA＋PD，所以当P，A，三点共线时,PA＋PD的值最小,为4－1＝3.-8-学必求其心得，业必贵于专精圆锥曲线的统必然义［研究问题]1．圆锥曲线的统必然义又称第二定义，那么第必然义与第二定义有哪些差异?[提示]椭圆、双曲线的第必然义突出了动点与两定点的距离关系，第二定义主要表现了动点与必然点和一条定直线的距离之比的关系，所以在采纳两种定义时可依照题目条件的不同样适当选择．利用第必然义可以把到一个定点的距离转变成到另一点的距离,利用第二定义可以把到定点与到定直线的距离互相转变，对于抛物线，第必然义与第二定义是一致的．2．在圆锥曲线的统必然义中，定点F和直线l是如何对应的？[提示］在统必然义中，圆锥曲线是椭圆或双曲线时，若定点是左焦点,则定直线是左准线，若定点是右焦点，则定直线是右准线．而抛物线只有一个焦点对应一条准线．也就是说,定点F和定直线是“相对应"的．3．利用圆锥曲线的统必然义,如何表示焦半径？[提示]依照定义错误!＝e，则PF＝ed（e为离心率）．（1)椭圆的焦半径-9-学必求其心得，业必贵于专精x2y2设P（x0，y0）是椭圆a2＋b2＝1（a〉b〉0)的一点,且F1是左焦点，F2是右焦点,则PF1＝a＋ex0，PF2＝a－ex0.(2)双曲线的焦半径设P（x0,y0)是双曲线错误!－错误!＝1(a〉0，b>0）的一点，且F1是左焦点，F2是右焦点，则PF1＝｜ex0＋a｜，PF2＝｜ex0－a｜。(3）抛物线的焦半径设P（x0，y0）是抛物线y2＝2px的一点，F是焦点,则PF＝x0＋错误!。椭圆C的一个焦点为F1(2,0），相应准线为x＝8，离心率e错误!。1）求椭圆的方程；2)求过另一个焦点且倾斜角为45°的直线截椭圆C所得的弦长．[思路研究］(1)利用统必然义求解;（2）利用焦点弦弦长公式求解．［解](1)设椭圆上任一点P（x,y），由统必然义得错误!＝错误!，两边同时平方，得4[(x－2)2＋y2］＝（8－x）2，x2化简得16＋错误!＝1。-10-学必求其心得，业必贵于专精2)设椭圆的另一个焦点为F2(－2，0），过F2且倾斜角为45°的直线方程为y＝x＋2，与椭圆错误!＋错误!＝1联立消去y，得7x2＋16x－32＝0。设交点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－错误!，AB＝AF2＋BF2＝a＋ex1＋a＋ex2＝2a＋e(x1＋x2）＝2×4＋错误!(x1＋x2)＝错误!。[追踪训练]4．过双曲线错误!－错误!＝1的右焦点F，且倾斜角为45°的直线与双曲线交于A,B两点，求线段AB的长．[解］易知F（5,0)，则直线的方程为y＝x－5.由错误!得7x2－160x＋544＝0。设A(x1,y1)，B（x2，y2）,则x1＋x2＝错误!。由圆锥曲线的统必然义，知AF＝e·d＝e错误!＝错误!x1－a，同理BF＝错误!x2－a，cAB＝AF＋BF＝错误!－2a＝错误!×错误!－8＝错误!.a即AB的长为错误!。1．若椭圆C:错误!＋错误!＝1的焦点为F1，F2,点P在椭圆C上,且｜-11-学必求其心得，业必贵于专精PF2｜＝4，则∠F1PF2等于（）A．30°B．60°C．120°D．150°[由题意得a＝3，c＝7，所以｜PF1|＝2.在△F2PF1中，由余弦定理可得cos∠F2PF1＝错误!＝－错误!，所以∠F2PF1＝120°.］2．已知椭圆错误!＋y2＝1，则以椭圆的左准线为准线的抛物线方程为________．[剖析]由椭圆的方程，知a2＝4，b2＝1，所以c2＝3，即c＝错误!，故椭圆的左准线方程为x＝－错误!，故所求抛物线的方程为y2＝错误!x.［答案］y2＝错误!x3．到点F(2,0)与直线x＝错误!的距离的比等于2的曲线方程为________．［剖析]由圆锥曲线的统必然义可知,曲线为焦点在x轴上的双曲线，且c＝2，错误!＝错误!,即a2＝1，故b2＝3,则双曲线的方程为x2－错误!＝1。［答案]x2－错误!＝1-12-学必求其心得，业必贵于专精x24．椭圆25＋错误!＝1上一点P到左焦点F1的距离为3,则点P到左准线的距离为________．[剖析］由错误!＋错误!＝1,得a＝5，b＝4，c＝3，∴e＝错误!。依照椭圆的第二定义得错误!＝e.又∵PF1＝3，d＝错误!＝3×错误!＝5，∴点P到左准线的距离为5。[答案］55．过双曲线x2－错误!＝1的左焦点F1作倾斜角为错误!的弦AB,求△ABF2的周长（F2为双曲线的右焦点)．[解］依照题意，得F1（－2，0)，F2(2