河南省GDP预测建模

基于时间序列模型的河南省GDP预测应用研究摘要在国民经济发展过程中，GDP数据是政府制定经济政策的重要依据，也是宏观经济中备受关注的数据，本文基于时间序列理论，利用ARMA模型对河南省1992年到2012年的GDP时间序列数据进行建模，预测出未来六年河南省的GDP数据，并提出支持河南省经济发展的政策建议，为地方经济的发展提供智力支持。关键词：河南省GDP;时间序列;ARMA模型；文献综述1.问题的引入河南省位于中国中部，是第一人口大省，虽然经济实力在全国属于中等水平，但是近年来发展迅速，并且在2015年河南GDP增长8.3%，全省经济总体平稳，呈现稳中向好的态势，GDP总量排名全国第五位。所以对河南经济走势进行分析具有重要的理论和现实意义。由于GDP是影响经济生活乃至社会生活最重要的经济指标，常被公认为衡量一个国家或地区经济状况的最佳数据，因此对河南省经济的分析自然也就离不开对河南省GDP的分析。2.论文研究的目的和意义GDP是指一个国家或地区所有常住单位在一定时期内生产活动的最终结果。这个指标不仅能从总体上度量国民产出和收入规模，也能从整体上度量经济波动和经济周期状态。成为宏观经济中最受关注的经济数据，被认为是衡量国民经济发展、判断宏观经济运行状况的一个重要指标，也是政府制定经济发展战略和经济政策的重要依据。因此，准确的分析预测GDP具有重要的理论和现实意义。而一个国家的GDP又是由各省GDP所构成的，因此研究各省GDP对研究全国GDP以及各省乃至全国经济都起着重要作用。3.国内外的研究现状3.1时间序列分析的国内外研究现状时间序列方法最早起源于1927年，数学家Yule首先提出建立自回归（AR）模型来预测市场变化的规律；1931年，数学家G.Walker建立了滑动平均（MA）模型和自回归移动平均（ARMA）模型。NorbortWiener和AndreiK.lmogonor对时间序列的参数模型拟合和推断过程作出了贡献；G.P.BoxandG.M.Jenkins（1976）提出ARMA模型，先将非平稳时间序列通过相应处理转化为平稳序列，然后对得到的平稳时间序列利用ACF图和PACF图对模型进行识别，提出了时间序列中的自回归、移动平均、自回归移动平均三种最基本模型，并提出模型识别、模型参数估计、模型适用性检验及控制的一套理论，成为时间序列建模最通用的方法。时间序列分析在社会各领域都得到了广泛的应用，并针对不同的情况又相继提出了一些新模型。比如自回归条件异方差（ARCH）模型、GARCH模型、门限自回归模型、平滑转换和混沌模型、随机方差模型等。在我国，时间序列分析在70年代末到80年代中后期才得到深入研究和广泛应用。70年代，ARMA模型成为时序分析的中心课题，预测领域的主要方法之一。通常把AR模型，MA模型和ARMA模型归入Box-Jenkins方法，称作ARMA模型体系。它是一个重要的预测工具，是时间序列分析中许多基本思想的基础。该方法在统计学上是完善的，有牢固的理论基础，完整的程序化的建模方法。但方法很复杂，对数据的性质也有一定的要求。对于该方法的预测精度，不同的运用环境有着不同的结论。近年来，时间序列已涉及到社会生活的各个领域，如：经济、气象水文、、信号处理、机械振动等，特别是与其它多学科相互交叉，形成新的研究模式。如时间序列分析与控制论、信号信息处理、非线性时间序列与人工神经网络、小波分析及分形等多学科相互交叉，从而对很多的前沿学科领域中的问题展开了研究。3.2国内外有关GDP的时间序列研究近年来，国内外的许多学者对GDP采用时间序列分析法对其发展规律进行研究并用于预测。梁鑫等（2008）利用SPSS软件，在AIC准则下建立了ARIMA(1,2,1)模型，利用非参数统计方法对模型进行了适应性检验，进而用广西1950-2006年的GDP数据进行实证分析及预测。赵盈（2006）以我国1954-2004年GDP的数据资料为依据，采用Box—Jenkins方法建立ARMA(1,1,1)模型，揭示我国GDP增长变化的规律性，并对回归结果进行实证分析。靳珊（2007）对贵州1950-2006年的数据进行分析，采用Eviews软件建立ARIMA(1,1,1)模型来揭示贵州GDP的增长变化规律。刘颖和张智慧（2005）研究了中国人均GDP时间序列分析，讨论了Box-Jenkins模型对中国人均GDP建模及短期预测。而对河南省GDP的统计研究目前仍较少。在国外，WallisandWhitley（1991）对刊载的英国1984-1988年的经济预测模型的误差进行了分析。Mrinalini（2007）利用模糊时间序列去预测印度国内总资产。Antipovetal.（2007）研究俄罗斯家庭最终消费和GDP增长率对生产力的影响。综上所述，基于时间序列对GDP的预测问题虽然取得了一定的研究成果，但是还有许多问题需要进一步研究、完善与深化。现有的研究文献为问题的进一步研究提供了可行的思路与研究手段。4.本论文主要内容本文以河南省1992-2012年国民生产总值数据为例,用时间序列分析法对数据进行分析、建模,并通过所建模型预测2007-2012年的河南省国民生产总值，与2007-2012年的实际生产总值比较，看其是否和实际相吻合，是否可以应用于实际的预测。最后对河南省未来6年的GDP做出预测。拟用到的模型有：河南省GDP的简单指数模型（拟合）；河南省第一、二、三产业对GDP的回归模型（借助于统计软件SPSS与多元线性回归的理论，给出河南省GDP与第一、二、三产业之间的相关系数）；河南省GDP的ARMA模型（数据分析，模型识别与定阶，模型的估计参数，模型的显著性检验，预测）本文主要从以下三个方面做研究：（1）论述分析河南省GDP的原因、研究时间序列分析的目的和意义，时间序列分析的研究现状；（2）时间序列分析建模的基本理论和方法；（3）建立河南省GDP、第一、二、三产业的时间序列模型，进行深入的讨论与研究，并对其进行预测。二.模型的假设与符号说明2.1模型假设（1）假设过去一段时间收集到的数据精确刻画了历史。（2）历史会重复自己，因此可以用历史数据来预测未来。（3）所收集到的数据没有较大的误差或者缺漏。2.2符号说明：河南省某年的GDP值。：AR（p）模型的回归系数.：是误差或白噪声序列.：是移动平均MA（q）模型误差或白噪声序列：移动平均系数：自相关程度由自相关系数.：相关程度用偏相关函数a,b：为待定参数：样本相关函数.：差分值。三．时间序列分析的基本理论和方法时间序列分析法是先对实测数据建立一定的数学模型，并在此基础上进一步分析随机数据的统计特性。该方法是在有限样本数据总量的情况下建立相对精确地数学模型，从而获得具有一定精度（用模型误差方差来表示）的统计特性，与真实结果非常接近，因此在实际应用时比较方便，可操作性较强。虽其在使用时方便实用，但是，要想建立精度相当高的时间序列模型不仅要求对模型参数进行最佳的估计，而且模型阶数也要合适，因此建模过程也相当复杂。3.1模型预测的基本流程：①根据时间序列的散点图、自相关函数和偏自相关函数图以ADF单位根检验其方差、趋势及其季节性变化规律，对序列的平稳性进行识别。一般来讲，经济运行的时间序列都不是平稳序列。②对非平稳序列进行平稳化处理。如果数据序列是非平稳的，并存在一定的增长或下降趋势，则需要对数据进行差分处理，如果数据存在异方差，则需对数据进行技术处理，直到处理后的数据的自相关函数值和偏相关函数值无显著地异于零。③根据时间序列模型的识别规则，建立相应的模型。若平稳序列的偏相关函数是截尾的，而自相关函数是拖尾的，可断定序列适合AR模型；若平稳序列的偏相关函数是拖尾的，而自相关函数是截尾的，则可断定序列适合MA模型；若平稳序列的偏相关函数和自相关函数均是拖尾的，则序列适合ARMA模型。④进行参数估计，检验是否具有统计意义。⑤进行假设检验，诊断残差序列是否为白噪声。⑥利用已通过检验的模型进行预测分析。3.2分析数据预处理时间序列由于受到各种偶然或随机因素的影响，其具有动态随机变化的性质。从表面看杂乱无章、毫无规律，实际上却具有一定的统计规律性。因此，要想对所研究的时间序列建立适当的模型，首先必须了解时间序列的基本统计特性，从而确保时间序列模型的可靠性，并满足一定的精度。一般可以从时间序列的平稳性、纯随机性和季节性三个方面去考虑。因此需要考虑时间序列的平稳性检验、纯随机性检验，需要用到AIC准则，即Akaike最小信息准则，其定义为:样本外预测误差方法的有效估计量，但受自由度约束较严重，常用于预测模型的选择，其计算公式为：，其中k为回归元的个数，N为观察次数，在实际应用中，AIC准则也是常用的定阶方法。另一个用到的是BIC准则，即Schwarz-Bayes准则。其定义为：。AIC和BIC共同的特点是在残差最小的情况下，用尽可能少的参数建立模型。在比较两个或多个模型时，一般选用具有最小AIC值和BIC值的模型。3.3平稳时间序列和非平稳时间序列平稳时间序列的均值为常数，自协方差函数与起点无关，而非平稳时间序列则不满足这两条要求。对于非平稳时序的分析处理，基本思路是考虑如何转化到平稳时序，或者如何与平稳时序联系起来。非平稳时序有两个最主要的表现形式，一个是序列带有趋势项，一个是单位根过程。

对于带有趋势项的时序，处理办法是从序列里减去趋势项，即减去一个函数；对于单位根过程，处理办法是作序列的差分，即序列自身前后项相减。还有一个办法，就是找到另外的有共同趋势的时序相减，即减去另外的序列，几个非平稳的时序组合可以变成平稳的。这样理解时序的平稳化办法，包括理解协稳（Cointegration）过程，应该比较通俗形象。3.4时间序列的常用模型①自回归AR（p）模型（即变量对变量自己回归）基本形式为：其中（）是AR（p）模型的自回归系数，其描述了每改变一个单位值对所产生的影响，它是一个待估参数。是误差或白噪声序列，独立正态分布。②移动平均MA（q）模型若时间序列x,为它的当前与前期的误差和随机项的线性函数,可以表示为：则称该时间序列x,为移动平均序列,该模型为q阶移动平均模型,记为MA(q)，参数为移动平均系数，是误差或白噪声序列，独立正态分布。③自回归移动平均ARMA（p，q）模型；若时间序列{xt}为它的当前与前期的误差和随机项,以及它的前期值的线性函数,可以表示：则称该时间序列{xt}为自回归移动平均序列，该模型为（p，q）阶自回归移动平均模型，记为ARMA（p，q），其中为自回归系数，为移动平均系数，是误差或白噪声序列，独立正态分布。拟考虑各种模型的建立过程，包括时间序列模型的动态特征函数比如自相关函数，偏自相关函数。对数据进行平稳性检验，对平稳序列进行ARMA拟合，对模型的参数进行检验，最后，对模型做显著性检验。3.5随机时间序列的特性(1)自相关函数构成时间序列之间的简单相关关系称为自相关，自相关程度由自相关系数度量，表示时间序列中相隔K期的观测值之间的相关程度，其中自相关系数的取值范围是,越接近1，自相关程度越高。(2偏相关函数偏相关函数是对于时间序列，在给定条件下，与的条件相关关系，其相关程度用偏相关函数度量，，其中是滞后k期的自相关系数。3.6平稳性检验3.6.1特征统计量描述时间序列统计特征的方法一般是研究该序列的低阶矩，特别是均值、方差、自协方差和自相关系数等。通过分析这些统计量的统计特性，推断出随机序列的性质。3.6.2平稳时间序列的意义由于时间序列数据结构的特殊性（可列多个随机变量，而每个变量只有一个样本观察值）所以，平稳性就显得尤为重要。平稳性极大地减少了随机变量的个数，并增加了待估变量的样本容量；极大地简化了时序分析的难度，同时也提高了对特征统计量的估计精度。3.6.3平稳性的检验对序列的平稳性有两种检验方法，一种是根据时序图和自相关图显示的特征做出判断的图检验方法；一种是构造检验统计量进行假设检验的方法。①时序图检验根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界、无明显趋势及周期特征。②自相关图检验平稳序列通常具有短期相关性。该性质用自相关系数来描述就是随着延迟期数的增加，平稳序列的自相关系数会很快地衰减向零。一个零均值平稳序列的自相关函数要么是截尾的，要么是拖尾的。因此，如果一个时间序列零均值化以后的自相关函数出现了缓慢衰减或周期性的衰减的情况，则说明序列可能存在某种趋势或周期性。图检验方法是一种操作简单、运用广泛的平稳性判别方法，它的缺点是判别结论带有很强的主观色彩。所以最好能用统计检验方法加以辅助判断。3.7纯随机性检验如果序列平稳，情况就简单多了，有一套非常成熟的平稳序列建模方法。但是，并不是所有的平稳序列都值得建模。只有那些序列值之间具有密切的相关关系，历史数据对未来的发展有一定影响的序列，才值得我们花时间去挖掘历史数据中的有效信息，用来预测序列未来的发展。如果序列值彼此之间没有任何相关性，那就意味着该序列是一个没有记忆的序列，过去的行为对将来的发展没有丝毫影响，这种序列我们称之为纯随机序列。从统计分析的角度而言，纯随机序列是没有任何分析价值的序列。为了确定平稳序列还值不值得继续分析下去，我们需要对平稳序列进行纯随机性检验。3.7.1纯随机序列的定义纯随机序列也称为白噪声序列，容易证明白噪声序列一定是平稳序列，而且是最简单的平稳序列。3.7.2纯随机性检验纯随机性检验也称为白噪声检验，是专门用来检验序列是否为纯随机序列的一种方法。我们知道如果一个序列是纯随机序列，那它的序列值之间应该没有任何相关关系。这是一种理论上才会出现的理想状态。实际上，由于观测值序列的有限性，导致纯随机序列的样本自相关系数不会绝对为零。如果样本自相关图显示这个纯随机序列没有一个样本自相关系数严格等于零。但这些自相关系数确实都非常小，都在零值附近以一个很小的幅度做着随机波动。这就提醒我们应该考虑样本自相关系数的分布性质，从统计意义上来判断序列的性质。如果一个平稳序列短期延迟的序列值之间都不存在显著的相关关系，通常长期延迟之间就更不会存在显著的相关关系。另一方面，假如一个平稳序列显示出显著的短期相关性，那么该序列就一定不是白噪声序列，我们就可以对序列值之间存在的相关性进行分析。假如此时考虑的延迟期数太长，反而可能淹没了该序列的短期相关性。因为平稳序列只要延迟期足够长，自相关系数都会收敛于零。四．模型建立与求解4.1数据处理选取1992年—2012年河南省GDP数据如下，试对该时间序列进行建模并预测表1河南省1992年—2012年GDP（单位：亿元）年份GDP年份GDP19921279.7520036867.7019931660.1820048553.7919942216.83200510587.4219952988.37200612362.7919963634.69200715012.4619974041.09200818018.5319984308.24200919480.4619994517.94201023092.3620005052.99201126931.0320015533.01201229599.3120026035.484.2问题分析与模型建立首先画出数据的趋势图，这一时间序列是具有明显趋势且不含有周期性变化的经济波动序列，即为非平稳的时间序列，对此序列进行建模预测需要用非平稳时间序列分析方法。采用模型：其中表示中随时间变化的趋势值，是中剔出的剩余部分。散点图1-24.3模型求解4.3.1确定性趋势从图中可以判断国内生产总值的确定趋势是按指数趋势发展的，因，其中a,b为待定参数，对指数曲线线性化，即取对数为分别画出预测的数据散点原始数据与指数回归图1-2由上图可以看出，仅用指数回归分析效果较差。不能做较好的预测。4.3.2随机性趋势(1)做残差根据拟合的值，这里求出残差序列,残差序列图如下图1-3所示残差散点图1-3观察残差序列散点图可知，该序列有很大波动，可认为是非平稳的，应该经过多次差分使其平稳。(2)做差分将残差序列进行差分(MATLAB命令:diff)使其平稳化，观察其差分散点图如下图所示，可认为二次差分后的序列是平稳的，即令得到序列,我们可以认为是平稳的。一阶差分图1-4二阶差分图1-5(3)的时间序列分析非平稳时间序列的非平稳性检验可以有以下几种方法：1、通过时间序列的趋势图判断：对于明显的非平稳序列可以判断，对于不明显的序列不易准确判断。2、通过自相关函数判断：平稳时间序列的自相关函数要么截尾要么托尾。3、特征根检验法：先拟合时间序列的适应模型，求由该适应模型的参数组成的特征方程的特征根，若所有方程的特征根都满足|x|》1，则该序列非平稳，否则为平稳序列。4、用非参数检验方法判断序列的平稳性：是一种不依赖于总体分布知识的检验方法，由于它不对总体分布加以限制性假定，所以也称为自由分布检验。5、随机游走的单位根检验：它是特殊的齐次非平稳过程，主要有David

Dickey和WayneFuller的单位根检验法。本文采用方法二。一个零均值平稳时间序列的自相关和偏相关函数，要么拖尾，要么截尾。如果零值化的时序既不拖尾，也不截尾，而是呈现出缓慢衰减或者周期性衰减，则认为可能存在趋势或周期性，视为非平稳。4.3.3相关函数（1）MA(q)自相关与偏自相关函数自协方差函数相关样本函数其中序列的相关函数在以后全部都是0，这种性质称为自相关函数的q步截尾性；偏自相关函数随着滞后期k的增加，呈现指数或者正弦波衰减，趋于0，这种特性称为偏自相关函数的拖尾性。（2）AR（p）的自相关与偏向关函数

偏自相关函数是p步截尾的；自协方差函数满足=0，自相关函数满足=0，他们呈现指数或者正弦波衰减，具有拖尾性。（3）ARMA(p,q)的自相关函数与偏自相关函数序列的自相关与偏自相关函数均是拖尾的。灵均值平稳时间序列的自相关函数和偏自相关函数统计如下模型AR(p)MA(q)ARMA(p,q)自相关函数拖尾截尾拖尾偏自相关函数截尾拖尾拖尾计算后得到的自相关和偏相关图结果如下图1-5所示，可以看出随着k的增大而衰减，有拖尾现象，而偏相关函数在尾部为随即区（在零附近波动），根据上面介绍的方法可知序列平稳。自相关图1-6偏自相关图1-74.4.预测分析结果4.4.1首先利用可以得到二阶差分的预测值；然后，利用二阶差分公式，得,即可得到残差的预测值；最后通过指数预测的值加上残差的预测值并可以得到最终预测结果。（结果见下表1-7）未来六年河南省GDP预测值时间201320142015201620172018预测值33743.4537483.2940066.5842062.2244600.0846953.71表1-8从1992年到2018年GDP总趋势图图1-94.4.2GDP与三大产业的关系。河南省1992年—2012年第一、二、三产业数据表格（单位：亿元）年份第一产业第二产业