浅谈中学物理的极值问题

浅谈中学物理极值问题极值问题是中学物理应用数学工具的典型问题，它的特点是综合强，对过程分析要求高，有时还比较隐蔽，使人感到难入手。本文将通过具体分析一些典型的例子，培养大家对极值问题的敏感性，并揭示极值问题的常用方法和注意事项。一、对是否存在极值的判断例1如图1，一根一端封闭的玻璃管开口向上，长L=90cm，管口处有一段长h=15cm的水银柱，水银面与管口相平，此时被封气体的温度为27℃，外管大气压为75加班，求温度至少升高至多少度，水银柱方能从管中全部溢出？图1分析与解当水银不断流出时，封闭气体积增大，压强变小，设还剩余xcm高PV最大，此时对应温度为•。由理想气体状态方程得(75+*)(90r)二(75+!5)(90-15)Tr,- 300 °显然当工=7.5cm时，PV最大，此时Tni=302.5K。点评本题常见的一种错解是以为水银流出时所需温度最高，得T=300K。形成这种错解的原因是对水银在不断流的过程中，PV乘积存在最大值缺乏敏感性。通常当两个物理量一个在增大，另一个在减小时，其乘积很可能存在极值。另外从解得的结果T=300K=’1，也应该能够意识这种解法的错误，并感觉到中间过程中可能存在极值。这种思维方法在例2中有详细说明。例2如图2电路，AB接在一个稳压电源两端，为理想电流表，试分析，当滑动变阻器的滑片从a移向b的过程中的读数将如何变化?

v®-■-——图2分析与解当滑片移至〃端时，先被短路，四的读数为《，而滑至6端时®的读数显然也为A•景,所以在滑片从&移向b过程中肯定存在一个极值，我们不妨研究滑片移至中点时®的读数，井不妨假定亢"2叫，/一小^卜某工荒代n% -、爪0凡+了4・可见®的读数先变小后变大白A点评这种思维方法通常称“极端法”，通常用于处理以中间过程分析、运算比较复杂的问题，一般对于两个“极端”结果相同的问题中间往往存在极值，至于极大还是极小可借助于对于中间某一特定位置的分析计算，必要时可利用数学上常用的“赋值法”加于判断。当然，这种方法由于只研究了一些特殊位置，缺乏严密性，尤其对于中间过程比较复杂(如出现反复几次变大变小)的问题时要慎重。二、极值问题的常用解法.数学方法用数学方法求解极值的方法很多，如配方法、辅助角法、判别式法、基本不等式法、求导法等，在物理中最常用的是配方法和基本不等式法。(1)配方法

例3在例2中，设在凝有£接入支路时®的读数为,N求人最小时纥值.分析与解f=U ⑹■用］+几比鸣一犯+研一吊= 迫 +凡R+与显然当七4时人最小。点评用配方法，求解极值是最常用的数学方法，其实是写出所需讨论的物理量的函数式（通常为二次函数），然后通过配方法求解。2）利用基本不等式例4如图为等6同种电荷/为其连线的中垂线上的点，户与Q的连线与幼弧连线的夹角为例试求当出之？时户的场强最大.因为cuJifeii/。-1（工阳/因为cuJifeii/。-1（工阳/BctvsJLj先研究cos^sin2e的最大值*Qi◎间距离为2M则而cost+cqsz#+2sin3^=常数,所以当仃暗，二所以当仃暗，二2出in，时，*最大，此时^=aresiu冬点评：本题所用的基本不等式为如果a+b+c=常数，则当a=b=c时，abc最大。基本不等式求解极值比较常见，而且难度相对较大，需要熟悉各类基本不等式，并善于进行等效转换。.矢量图法例5如图4-a所示，一质量为m，带电量为q的小球用一细线悬挂于O点，在一匀强电场中平衡时细线与竖直方向成3角，则所加电场的最小值为。图4-a图4-b分析与解作如图4-b所示的矢量图，当%，£时方电最小，所以最小电场在一谈迎口q点评本题尽管也可以通过列出函数表达式后用数学方法讨论，但是要繁琐得多，所以首选矢量图法。矢量图法的最大优点在于简捷、直观。在处理最小力与渡河问题中最短航程（尤其是■"时）等涉及矢量问题时经常用到。.隐含条件分析法例6 （2005年高考江苏卷）如图5所示，三个质量均为m的弹性小球用两根长约为L的轻绳连成一条直线而静止在光滑水平面上。现给中间的小球B一个水平初速度”二方向与绳垂直。小球相互碰撞时无机械能损失，轻绳不可伸长。求：■小TOC\o"1-5"\h\z4 / C0 0 0\o"CurrentDocument"H L *4* L M（1）当小球A、C第一次相碰时，小球B的速度。⑵当三个小球再次处在同一直线上时，小球B的速度。⑶运动过程中小球A⑶运动过程中小球A的最大动能和此时两根绳的夹角e.（4）当三个小球处在同一直线上时，绳中的拉力F的大小。分析与解（1）设小球A、C第一次相碰时，小球B的速度为“'，考虑到对称性及绳的不可伸长特性，小球A、C沿小球B初速度方向的速度也为‘，由动量守恒定律，得［叫-3曲口，由此解得二上,（2）当三个小球再次处在同一直线上时，则由动量守恒定律和机械能守恒定律，得1之1口. 1 2石叫=爹疗吗斗2x万网域口解得与=f/aM=专％口（三球再次处于同一直线）北二啊翎（二见初始状态，舍去）。所以,三个小球再次处在同一直线上时，小球8的速度为%=-?0（负号裳示与初速度反向）.⑶当小球A的动能最大时，小球B的速度为零。设此时小球A、C的速度大小为u，两根绳间的夹角为e（如图6），则仍由动量守恒定律和机械能守恒定律，得9 〃1 2、L2"V』=2加以5in—=2x—~tnuo另外,£&由此可解得，小球/I的最大动能为%=A侬心此时两根绳间夹角为口=90，(4)小球A、C均以半径L绕小球H做圆周运动，当二个小球处在同一直线上时,以小球£为参考系(小球R的加速度为0,为惯性参考系),小球*C)相对于小球B的速度均为方所以,此时绳中拉力大小为#一若rtn-=m-'5SJ fj点评本题最难的一问是第⑶问，不少考生试图通过列出A球动能的一般表达式然后用数学方法讨论，结果把问题搞得很复杂，中间还错误百出，但如果能抓住当B球动能最小也即为零时，A、C两球动能同时达到最大，就很容易处理了。当然，物理隐含条件往往比较隐蔽，需要清晰的物理概念和敏锐的直觉思维才能运用自如。三、极值问题的注意事项.注意极值两侧的多解例7在如图7-a电路中，电源电动势E=3V，内阻r-1Q，则当滑动变阻器电阻为多少时，电源输出的功率为2W()a.ina.inb.C3)a十g分析与解由a+r科2=（fn）%解得力=2OA=yJX所以选BQc®7T 图7T点评本题常见的错误是漏选，主要原因是对在极值问题两侧往往存在多解缺乏敏感性。由于R=r时电源的输出功率最大，我们可以作出输出功率随外电阻的变化图如图7-b，从图上我们可以很直观地发现在极值两侧存在的多解。.注意自变量的取值范围例8在如图8所示电路中，，则当滑动变阻器电阻从0增加R例8在如图8所示电路中，，则当滑动变阻器电阻从0增加R的过程中（）图8A.电源的输出功率先变大后变小.电源的输出功率不断变小C.变阻器R消耗的功率先变大后变小D. 0消耗的功率不断变小分析与解本题可利用在外电阻与内电阻相等时，电源输出功率最大这一结论（如图7-b），因IL为 」=r，所以在R变大时，外电阻始终大于内电阻，电源的输出功率应不断变小，所以A错误，B正确。%在讨论变阻器功率时，可将口折合成电源内阻，此时变阻器即使调至最大也刚好等于电源的“内阻”，所以变阻器功率为R增大时，应不断变大，所以C错误；而J为定值电阻，只要电流减小功率就减小，所以D正确。点评有些物理问题中，尽管“感受”有极值，但由于自变量取值范围的限制，无法真正取得极

值，用数学语言描述就是“此函数在定义域的某一区间是单调函数”，对于这种变量分析要格外小心。3.注意分析数学解法的物理意义例9在例1中，如果将玻璃管长与水银柱长度改成下列两组数据。(1)L=60cm,h=20cm；(2)L=120cm,h=20cm。其他条件不变，则所需最高温度为多少？分析与解：我们采用例1中的分析方法，设还剩余xcm高时PV乘积最大，此时对应温度为：，(75+x)(60-jc)-5—20)(60-20)TOC\o"1-5"\h\z… …上士一心工.、工, T * 300对第(1)种情况由理想气体状态方程得 "■ 。易得，当x=-7.5cm时，PV乘积最大，但显然x=-7.5cm只有数学意义，没有物理意义，它所反映的物理含义是当水银柱全部流出时对应的PV乘积最高，因此，最高温度应