初二数学寒假培优班讲义

第一讲分式主要公式：1.同分母加减法则:2.异分母加减法则:;3.分式的乘法与除法:,4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;am●an=am+n;am÷an=am－n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m=ambn,(am)n=amn7.负指数幂:a-p=a0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2±2ab+b2例1、当有何值时，下列分式有意义（1）（2）例2、当取何值时，下列分式的值为0.（1）（2）例3、当为何值时，分式为正；例4、已知：，求的值.例5已知：，求的值.例6、若，求的值.例7、计算：（1）； （2）；例8、先化简后求值，其中满足a=2.例9、解下列分式方程（1）；（2）；例10、若分式方程的解是正数，求的取值范围.例11．甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a小时相遇，若同向而行，则b小时甲追上乙，则甲的速度是乙的速度的（）。（A）(B)(C)(D)例12.A、B两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购贷方式不同，其中，采购员A每次购买1000千克，购贷员B每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购贷方式合算？（）（A）Ａ(B)Ｂ（C)都一样(D)不能确定例13．某林场原计划在一定期限内固沙造林240公顷，实际每天固沙造林的面积比原计划多4公顷，结果提前5天完成任务，设原计划每天固沙造林x公顷，根据题意列方程正确的是（）。（A）（B）（C）（D）例14．某校用420元钱到商场去购买“84”例15．.翻译一份文稿，用某种电脑软件翻译的效率相当于人工翻译的效率的75倍，电脑翻译3300个字的文稿比人工翻译少用2小时28分。求用人工翻译与电脑翻译每分钟各翻译多少个字？练习：1．当取何值时，下列分式有意义：（1） （2） （3）2．当为何值时，下列分式的值为零：（1） （2）3、若，求的值.4．计算（1）； （2）；（3）；（4）；7．解下列方程：（1）； （2）；8．已知关于的分式方程无解，试求的值.第二讲二次根式一、基础知识：1.二次根式：形如（）的式子叫二次根式。2.二次根式的性质：①（）②（）③注意：对于二次根式要明确被开方数必须是非负数；化简特别要注意时，3.二次根式的乘除：①乘法：②除法：③二次根式乘除法则的逆用。④最简二次根式：当二次根式满足：a.被开方数不含分母，即被开方数中因数是整数，因式是整式;b.被开方数中不含开得尽方的因式这两个条件时，我们称这样的二次根式为最简二次根式。⑤加减实质是同类项合并。二、例题：1、化简：__________。2、，。3、计算：eq\r(\f(1,25))＝_______，(eq\r(6))2＝______4、计算＝5、已知，则，．6、计算：(1)(2)7、先化简，再求值：，其中．8、计算：（1）；（2）；（3）|1－SKIPIF1<0|+（3．14-π）SKIPIF1<0-SKIPIF1<0SKIPIF1<09、当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。10.已知，求的值。11.已知为实数，且，求的值。12．若x，y是实数，且，求的值。13.观察下列等式：①=+1；②=+；③=+；……，（1）、请用字母表示你所发现的律：即=。（n为正整数）（2）化简计算：（＋＋＋…＋）．四、练习3．在，，，中最简二次根式的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．下列各式正确的是（）A．B．C．D．5．若1＜x＜2，则的值为（）A．2x-4B．-2C．4-2xD．26．是整数，则正整数的最小值是（）A．4；B．5；C．6；D．77.如果最简根式EQ\R(,3a－8)与EQ\R(,17－2a)是同类二次根式，则使EQ\R(,4a－2x)有意义的x的范围是（）A、x≤10B、x≥10C、x<10D、8、若a，b，c为三角形的三边，化简的结果是{}A、a-b+cB、a+b-cC、a+b+cD、-a+b+c10.当时，有意义。11.若有意义，则的取值范围是。12.若，则的取值范围是。13.已知，则的取值范围是。14.化简：的结果是。15.当时，。16.若与互为相反数，则。17.若，则等于（）A.B.C.D.18.若，则化简后为（）A.B.C.D.19.计算：的值是（）A.0B.C.D.或第三讲勾股定理例1、已知直角三角形的两边长为3、4，则另一条边长是________________．例2、已知两条线段的长为9cm和12cm,当第三条线段的长为

例3、已知Rt△ABC中，∠C＝900，AB边上的中线长为2，且AC＋BC＝6，则＝例4、已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，你能计算出这个三角形的面积吗？练习：1、在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是__________2、如果梯子底端离建筑物9m，则15m长的梯子可达到建筑物的高度是______________3、已知直角三角形的两边长分别为7和24，则第三边长为4、如果一个直角三角形的一条直角边是另一条直角边的2倍，斜边长是5cm，则这个直角三角形的周长是例5、已知直角三角形的两条直角边长为6，8，则它的最长边上的高为（）A、6B、8 C、D、例6、一等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为()A.12cm B. C. D. 练习：1、CD为直角三角形ABC斜边AB上的高，若AB=10，AC：BC=3：4，则这个直角三角形的面积为（） A、6 B、8 C、12 D、242、直角三角形的两直角边分别为5、12，则斜边上的高为（） A、6 B、8 C、 D、3、在同一平面上把三边BC=3，AC=4、AB=5的三角形沿最长边AB翻折后得到△ABC′，则CC′的长等于（）A、EQ\F(12,5) B、EQ\F(13,5) C、EQ\F(5,6) D、EQ\F(24,5)例7、已知长方体的长为2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，则沿哪条路最近，最短的路程是多少例8、如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，则所用细线最短需要cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕圈到达点B，则所用细线最短需要cm．BABA6cm3cm1cm例8CˊDˊBCDAˊBˊA例9例9例7例7例9、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是_________．例10、如图，公路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在公 路AB上建一车站E，（1）使得C，D两村到E站的距离相等，E站建在离A站多少km处？（2）DE与CE的位置关系（3）使得C，D两村到E站的距离最短，E站建在离A站多少km处？AADEBC例11、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如下图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米／时的速度沿北偏东300方向往C移动，且台风中心风力不变。若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。（1）该城市是否会受到这次台风的影响请说明理由。（2）若会受到台风影响，则台风影响该城市的持续时间有多长（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级练习1、已知，如图，折叠长方形的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，EC的长是__________2、如图，从电线杆离地面6m处向地面拉一条长10m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部____________m3、为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25km，CA=15km，DB=10km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等第四讲函数的初步认识知识点一：变量1、确定自变量、因变量1、确定自变量、因变量2、求变量的值或取值范围例1、写出下列各问题中的函数关系式，并指出其中的常量与变量（1）圆的周长C与半径r的函数关系式（2）厦门BRT以60km/h的速度行驶，它行驶的路程S（km）与所用的时间t（h）的函数关系式。（3）n边形的内角和度数S与边数n的函数关系式（4）n边形对角线条数S与边数n的函数关系式（5）等腰三角形顶角度数y与底角的度数x之间的函数关系式（6）已知等腰三角形的面积为20，设它的底边长为x,求底边上的高y关于x的函数关系式（7）在一个半径为10的圆形纸片中剪出一个半径为r的同心圆得到一个圆环，求圆环的面积S关于r的函数关系式（8）一个正方形边长为3，它的各个边长减少x后，得到的新的正方形的周长为y，求y与x的函数关系式例2、指出下列自变量x的取值范围：（1）（2）（3）（4）例3、找出下列哪些是函数①②③④⑤⑥例4、当x=16时,函数y=－EQ\R(,x)+2的值为____练习：1、在圆周长公式C=2πr中，变量个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个2、函数y=－EQ\R(,x－1)中，自变量x的取值范围为_______________3、已知等腰三角形的周长为20,底边长为y,腰长为x,写出y与x的函数关系式,并注明x的取值范围知识点二：表达方法1、1、图像法 2、列表法 3、解析法例1、（1）图像法问题1、这一天6时、10时、14时的气温分别是多少？问题2、这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？问题3、这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？（2）、列表法一、下表是2006年8月中国人民银行公布的“整存整取”年利率存期X三月六月一年二年三年五年年利率y(%）1.802.252．523.063.694.14（3）、解析式法设S表示圆的面积，r表示圆的半径，则S与r之间满足下列关系，S=π,假设π取3，填写下列表格半径r1234圆面积S3故有S=3,知识点三：平面直角坐标系1、1、Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限坐标，X、Y轴坐标2、点对称问题3、点到坐标轴的距离例1、请在同一直角坐标里描出下列各点：A(3,8)，B(-3,8),C(-3,-8),D(3,-8)E(3,0)F(0,3)G(-3,0)H(0,-3)备用图备用图我们发现每个象限内点的特征：___________________坐标轴上点的特征：________________________________我们又发现A,B关于_____对称，A,D关于

______对称，A,C关于______对称若点Q(2，3)关于Y轴的对称点为____________，关于X轴的对称点为____________，关于原点的对称点为_________例2、点在第_______象限例3、点（a,2）和点（-2，b）关于Y轴对称，则a=

____,b=______例4、已知A（-1，-1），B(1,1)，点A到X轴的距离为_______，点B到Y轴的距离为_______，AB两点间的距离为_______例5、若到X轴的距离为3，则A点坐标为______________例6．若点P(一3，一4)的横坐标变为相反数，纵坐标乘以一2，此时新点的坐标是_________例7、如果a－b＜0,且ab＜0,则点(a，b)在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限,D．第四象限.练习：判断下列各题：①（2，3）和（3，2）表示同一个点（） ②点（4，-1）和（-4，1）关于原点对称（）③坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0（）④点，在第一象限（）2、点A(-2,3)关于X轴的对称点为

________,关于Y轴的对称点为_______,关于原点的对称点为__________3、若点P(a,b)在第四象限,则点Q(b,a)在第______象限.4、点P(－2,3)到x轴的距离是________,到y轴的距离是________5、若点(a,－3)与点(2,b)关于x轴对称,则a=______,b=________6、已知点M(3x－2,2x+1)在x轴上,则M点的坐标为__________7、若m+n<0,mn>0,则P(m,n)在第______象限8、小丽的爷爷饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的街心花园，与朋友聊天10分钟后，用15分钟返回家里.下面图形中表示小丽爷爷离家的时间与外出距离之间的关系是（）综合练习：1、点（0，-2）在（）.A．x轴上B．y轴上 C．第三象限内D．第四象限内2、求下列函数中自变量x的取值范围：

（1）y＝3x－1 （2）y＝2x2＋7 （3）y=（4）y＝（5）y=-2x-5x2 （6）y=x（x+3） （7）y=（8）y=3、已知点P在第四象限，它的横坐标与纵坐标的和为l，点P的坐标可以是____________(只要求写出符合条件的-个点的坐标即可).ABCABCDoxy5、请在同一直角坐标里描出下列各点：A(3,8)，B(-3,-8),C(-3,8),D(3,-8)E(4,0)F(0,4)G(-4,0)H(0,-4)备用图备用图第五讲一次函数知识点一：图像画图像三步骤：列表、描点、连线画图像三步骤：列表、描点、连线例1、已知函数，当x＝_________时，函数值为0；例2、当x=时，P（1+x，1-2x）在x轴上。例3、在同一坐标系内画出下列函数的图像：①② 步骤一：列表X0Y0X0Y0②①②①③③步骤二：描点 步骤三：连线备用图备用图练习 1、在同一坐标系内画出下列函数的图像：①② 步骤一：列表X0Y0X0Y0②①②①步骤二：描点 步骤三：连线备用图备用图知识点二：图像与X、Y轴的交点坐标11、与X轴交点坐标为（，0） 2、与Y轴交点坐标为（0，）例1、直线与X轴和Y轴的交点坐标分别为_________，_________；若点(m,2m+7)在这个函数的图象上,则m=____例2、已知函数，找出到轴距离等于1.5的点的坐标为___________例3、直线，分别交，轴于A,B两点，是原点，求的面积。（请把图像画在上面的备用图）练习：1、直线过点（_______,0），（0，_______）；直线过点（______,0），（0，______）2、分别求出下列直线与x,y轴的交点坐标。（1） （2） （3）3、直线y=2x－2与x,y轴围成的三角形的面积是多少知识点三：待定系数法求解析式1、设1、设； 2、把点坐标分别代入 3、联立求解例1、一次函数的图象经过点（3，3）和（1，-1）.求它的函数关系式，并画出图象.2、根据条件写出相应的函数关系式（1）直线经过点（-2，-1）（2）一次函数中,当时，当时， 练习1、已知一次函数的图像经过点(-1,-1)和（1，-5），求当=5时，函数的值？2、写出两个一次函数，使它们的图像都经过点(-2,3)。3、已知一次函数y＝kx＋b（k≠0），当x＝1时，y＝3；当x＝0时，y＝2．则函数解析式为___________，函数不经过第_____象限，4、一次函数（是常数，）的图象如图所示，则不等式的解集是（）A． B． C． D．5、直线y=－2x+b与x轴交于(－1,0),则不等式－2x+b<0的解集是____________综合练习1、画出直线，借助图像找出：（1）直线上横坐标是2的点（2）直线上纵坐标是-3的点（3）直线上到Y轴距离等于2的点2、已知一次函数的图象经过点。（1）求此一次函数的解析式（2）求此函数与轴、轴的交点坐标（3）作出此一次函数的图象（4）求出此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积第六讲一次函数的性质知识点一：性质1:k>0,b>01、k>0，决定y随x的增大而增大且图像必过一、三象限 1、k>0，决定y随x的增大而增大且图像必过一、三象限 2、b>0，决定直线与y轴的交点在y正半轴例1、已知一次函数y=kx+b的图象过第一、二、三象限,则k,b的符号是()A、k>0,b>0B、k>0,b<0C、k<0,b>0D、k<0,b<0例2、若函数y=mx+4m－3的图象过第一、二、三象限，则m的取值范围为________。例3、已知一次函数y=kx+k,若y随x的增大而增大,则该函数的图象不经过第_____象限。例4、对于一次函数y=EQ\F(3,5)x+4,函数值y随x的增大而__________。练习1、如果直线y=ax+b第一、二、三象限，则ab0(填“﹥”，“﹤”，“﹦”)2、已知一条直线，则直线不经过第_____象限。3、若函数的图象过第一、二、三象限，则a，b的取值范围为________。知识点二：性质2:k>0,b<01、k>0，决定y随x的增大而增大且图像必过一、三象限 1、k>0，决定y随x的增大而增大且图像必过一、三象限 2、b<0，决定直线与y轴的交点在y负半轴例1、如果直线y=kx+b经过一、三、四象限，则有（）A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k<0，b＜0D．k＜0，b＞0例2、对于一次函数y=EQ\F(3,5)x－4,函数值y随x的增大而__________。例3、已知一次函数y=kx-k,若y随x的增大而增大,则该函数的图象不经过第_____象限。练习1、已知一次函数的大致图像为()知识点三：性质3:k<0,b>01、k<0，决定y随x的增大而减小且图像必过二、四象限 1、k<0，决定y随x的增大而减小且图像必过二、四象限 2、b>0，决定直线与y轴的交点在y正半轴例1、如果直线y=kx+b经过一、二、四象限，则有（）A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k<0，b＜0D．k＜0，b＞0例2、已知A(a,b),B(c,d),C(e,f)是函数y=－x+3的图象上的点,且a<c<e,b,d,f的大小关系_____________。例3、已知一次函数y=kx－k,若y随x的增大而减小,则该函数的图象不经过第_____象限。练习1、在平面直角坐标系中，函数y=－x+3的图象经过()23第2题图y23第2题图yxO2、一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（）A． B． C． D．知识点四：性质4:k<0,b<01、k<0，决定y随x的增大而减小且图像必过二、四象限 1、k<0，决定y随x的增大而减小且图像必过二、四象限 2、b<0，决定直线与y轴的交点在y负半轴 例1、一次函数y=－5x－3的图象不经过第______象限。例2、已知一次函数y=kx+k,若y随x的增大而减小,则该函数的图象不经过第_____象限。例3、一次函数中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是_________练习1、已知一次函数y=-kx-k,若y随x的增大而减小,则该函数的图象不经过第_____象限。2、已知关于x的函数y=(m－2)x＋n的图象经过第一、二、四象限，则m、n的取值范围。知识点五：两直线位置关系:①平行②相交③重合1、平行（k相等）1、平行（k相等）2、相交（k不相等）：求交点必联立例1、分别在同一直角坐标系内画出下列直线，并指出每一小题中两条直线的位置关系，并求出它们的交点坐标。（1）， （2），例2、直线y=－x－2与y=x+3的交点在() A、第一象限B、第二象限C、第三象限 D、第四象限例3、若直线与的图象交于y轴上，则（） A、B、C、D、例4、直线与平行，且经过（2，1），则k=,b=.练习1、已知直线与，求它们的交点坐标。2、已知一直线平行于，根据下列条件求解析式：（1）经过点（3，5）；（2）与y轴交点到原点的距离为2。综合练习1、已知直线l1：交y轴于点C，直线l2：交l1于点A（-1，m）且经过点B（3，-1）；（1）求m的值；（2）求直线l2和BC的解析式；（3）求S△ABC。2、许老师骑摩托车上班，最初以某一速度匀速前进，中途由于摩托车出现故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，许老师加快了行车速度，但仍保持匀速前进，结果准时到校，在课堂上，许老师画出摩托车行进路程s（千米）与行进时间t（小时）之间的函数关系图象的示意图，其中正确的是（）AAt0sDt0sCt0sBt0s3、画出一次函数y＝3x＋4的图象，回答下列问题：(1)图象通过哪几个象限(2)函数值的变化情况如何(3)该图象与两个坐标轴所围成的三角形面积有多大4、已知函数y＝4x－3．当x取何值时，函数的图象在第四象限？5、不论b取什么值，直线y=3x+b必经过（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限6、写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式（写出一个即可）（1）y随着x的增大而减小。（2）图象经过点（1，-3）7、直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为．第七讲正比例函数知识点一：图像画图像三步骤：列表、描点、连线画图像三步骤：列表、描点、连线在下面直角坐标系内画出下列四个函数①y＝一2x，②y＝2x，③y＝-x+2，④y＝-x+3 步骤一：列表 步骤二：描点 步骤三：连线 备用备用知识点二：性质必过点（0，0）必过点（0，0）k>0，则y随x的增大而增大且图像必过象限；k<0，则y随x的增大而增大且图像必过象限例1、若函数y=(4－m)xEQ\S(∣m－3∣)是正比例函数，则m的值是() A．4 B．±2 C．4或2 D．2例2、若函数，则下列坐标不在直线上的是() A．(2，6) B．(1，3) C．(4，5) D．(0，0)例3、若正比例函数y=(1—2m)x的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当x1<x2时，y1>y2，则m的取值范围是()A．m<0 B．m>0 C．m< D．m>练习1、写出一个y随x的增大而增大的正比例函数的解析式：。2、直线y＝－x的图像过象限。3、下列说法正确的是()。A．正比例函数是一次函数 B．一次函数是正比例函数C．变量x，y是x的函数，但x不是y的函数 D．正比例函数不是一次函数，一次函数也不是正比例函数4、下列函数关系式：①y＝一x；②y=－2x+11；③y=x2＋x＋1；④y=．其中一次函数的个数是()。A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5、结合正比例函数y=4x的图象回答：当x>1时，y的取值范围是()A．y<1 B．1≤y<4 C．y＝4 D．y>4 知识点三：待定系数法求解析式1、设1、设 2、把点坐标分别代入 3、联立求解例1、已知直线y=kx经过（2，-6），则k的值是（）A．3B．-3 C．1/3 D．-1/3例2、已知y与x成正比例，当x=4时，y＝3。（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）y与x之间是什么函数关系；（3）求x=3时，y的值。练习1、一个正比例函数的图像过点（2，-3），它的表达式为（）A．B．C．D．2、如果正比例函数的图象经过点(2，3)，则这个函数的解析式是__________。3、已知y与x一3成正比例，当x=4时，y＝3。（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）y与x之间是什么函数关系；（3）求x=2．5时，y的值．知识点四：求交点1、设1、设 2、联立求解例1、直线y=2x+1与直线y=3x的交点坐标为________例2、直线y=bx+1与直线y=ax的交点坐标为(1，2)，则a=________，b=________。练习： 1、求两直线的交点坐标2、写出同时具备下列两个条件的正比例函数表达式（写出一个即可）（1）y随着x的增大而减小，（2）图象经过点（1，-3）_________________________________3、两直线y=2x+m与直线y=x-1的交点在x轴上，则m=_________________________________综合练习1、下列函数关系中表示一次函数的有()①y＝2x+l；②y＝；③y＝；④s=60t；⑤y＝100—25x． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个S(米)2、甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的关系如图所示（图中实线为甲的路程与时间的关系图象，虚线为乙的路程与时间的关系图象）S(米)乙甲1500乙甲150010001000t（秒）500t（秒）500300283300283小王根据图象得到如下四个信息，其中错误的是（）A．这是一次1500米的赛跑B．甲、乙两人中乙先到达终点 C．甲、乙同时起跑D．甲的这次赛跑中的速度为5米/秒3、已知一次函数的图象经过点(1，2)和(-2，-1)。（1）求此一次函数的解析式（2）求此函数与轴、轴的交点坐标（3）作出此一次函数的图象（4）求出此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积4、已知函数求当、取何值时（1）是正比例函数？（2）是一次函数？第八、九讲平行四边形性质与判定知识点一：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．表示：平行四边形用符号“”来表示．平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．平行四边形性质1平行四边形的对边相等．平行四边形性质2平行四边形的对角相等．例1、如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE．练习1．填空：（1）在ABCD中，∠A=，则∠B=度，∠C=度，∠D=度．（2）如果ABCD中，∠A—∠B=240，则∠A=度，∠B=度，∠C=度，∠D=度．（3）如果ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，则AB=cm，BC=cm，CD=cm，CD=cm．2．如图4.3－9，在ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE＝DF．知识点二：平行四边形的性质：①具有一般四边形的性质（内角和是）．②角：平行四边形的对角相等，邻角互补．边：平行四边形的对边相等．平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；平行四边形的对角线互相平分．例2、已知：如图4－21，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．例3、若例2中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，则例1的结论是否成立？若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c和图d），例1的结论是否成立，说明你的理由．例4、已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以和ABCD的面积．练习：1．在平行四边形中，周长等于48，已知一边长12，求各边的长已知AB=2BC，求各边的长已知对角线AC、BD交于点O，△AOD与△AOB的周长的差是10，求各边的长2．如图，ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm，AC+BD=14cm，则△OBC的周长是_______cm．3．ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成，的两条线段，则ABCD的周长是_____．知识点三：平行四边形判定方法1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。平行四边形判定方法2：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。平行四边形判定方法3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形平行四边形判定方法4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。平行四边形判定方法5：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。例5、已知：如图ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．例6、已知：如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC．求证：(1)∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；(2)△ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的中点．例7、已知：如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE=DF．例8、已知：如图，ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF是平行四边形．．2．已知：如图，ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DF∥BE，EF交BD于点O．求证：EO=OF．3、已知：如图，在ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线．求证：四边形AFCE是平行四边形．知识点四：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE=BC．例10、已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．．练习1．（填空）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20m，则A、B两点的距离是m，理由是．2．已知：三角形的各边分别为8cm、10cm和12cm，求连结各边中点所成三角形的周长．3．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，（1）若EF=5cm，则AB=cm；若BC=9cm，则DE=cm；（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．综合练习1．在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（）．（A）对角相等（B）对角互补（C）邻角互补（D）内角和是2．在ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交与点O，则图中的平行四边形一共有（）．（A）4个（B）5个（C）8个（D）9个3．下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（）．（A）对角线互相垂直（B）对角线相等（C）对角线互相垂直且相等（D）对角线互相平分4．判断对错（1）在ABCD中，AC交BD于O，则AO=OB=OC=OD．（）（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等．（）（3）平行四边形的两组对边分别平行且相等．（）（4）平行四边形是轴对称图形．（）5．在ABCD中，AC＝6、BD＝4，则AB的范围是________．6．在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是．7．如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证AB=CE．8．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB＝15cm，AD＝12cm，AC⊥BC，求小路BC，CD，OC的长，并算出绿地的面积．、9．已知：如图，△ABC，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF∥BC，求证：BE=CF第十讲特殊平行四边形知识点一：矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．矩形性质1矩形的四个角都是直角．矩形性质2矩形的对角线相等．矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．例1、已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长．例2、已知：如图，矩形ABCD，AB长8cm，对角线比AD边长4cm．求AD的长和点A到BD的距离AE的长．已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC。求证：CE＝EF．∴例3、下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？

（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（）

（2）有四个角是直角的四边形是矩形；（）

（3）四个角都相等的四边形是矩形；（）

（4）对角线相等的四边形是矩形；（）

（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（）（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（）（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（）（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（）

（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形．()例4、已知ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4cm，求这个平行四边形的面积．

已知：如图（1），ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．1．下列说法正确的是（）．（A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形（C）对角线互相平分的四边形是矩形（D）对角互补的平行四边形是矩形2．（1）矩形的定义中有两个条件：一是，二是．（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、．（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为cm，cm，cm，cm．）3、