函数单调性习题(含参问题)

一、选择题1、在上是减函数，则a的取值范围是（

）。A．

B．

C．

D．2、当时，函数的值有正也有负，则实数a的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．3、若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是（）A.；B.；C.；D.4、若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）A．；B．；C．；D．5、已知函数，若存在实数，当时，恒成立，则实数的最大值是（）A．1；B．2；C．3；D．46、已知关于y轴对称的函数在区间单调递增，则满足＜的x取值范围是()A．（，）B．（，）C．（，）D．7、已知定义域为(－1，1)的关于原点对称的函数y=f(x)又是减函数，且,则a的取值范围是()A.(2，3) B.(3，)C.(2，4) D.(－2，3)二、填空题8、函数,当时,是增函数,当x∈时是减函数,则f(1)=_____________9、函数在[2，＋∞]上递减，则a的取值范围是10、已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则11、已知函数若，则与的大小关系为12、定义在上的函数是减函数，若，则实数的范围为_____________13、已知是上的减函数，那么的取值范围是14、已知为实数，函数，若，求函数在上的最大值和最小值分别为、。三、解答题15、讨论函数在(-2,2)内的单调性。16、定义在R上的函数，，当x＞0时，，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）.（1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；（3）求证：f（x）是R上的增函数； （4）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值范围.17、已知函数，．（1）讨论函数的单调区间；（2）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．18、已知函数（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意恒成立,试求实数的取值范围。19、已知定义域为的函数是奇函数。（1）求的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；20、已知向量eq\o(→,m)＝(sinA,cosA)，eq\o(→,n)＝(eq\r(3),－1)，eq\o(→,m)·eq\o(→,n)＝1，且为锐角(1)求角A的大小；(2)求函数f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x∈R)的值域．21、△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，eq\o(→,m)＝(2b－c，a)，eq\o(→,n)＝(cosA，－cosC)，且eq\o(→,m)⊥eq\o(→,n)．(1)求角A的大小；(2)当y＝2sin2B＋sin(2B＋eq\f(,6))取最大值时，求角的大小.22、已知eq\o(→,a)＝(cosx＋sinx，sinx)，eq\o(→,b)＝(cosx－sinx，2cosx)，（1）求证：向量eq\o(→,a)与向量eq\o(→,b)不可能平行；（2）若f(x)＝eq\o(→,a)·eq\o(→,b)，且x∈[－eq\f(,4),eq\f(,4)]时，求函数f(x)的最大值及最小值．1.A；由题知解得2.D；由题知，当y=0时，ax+2a+1=0得x=，则，解得。3．C；因为，由其图象知，若函数在区间上为减函数，则应有4．A；若函数在上是增函数，则对于恒成立，即对于恒成立，而函数的最大值为，实数的取值范围是5.D；依题意，应将函数向右平行移动得到的图象，为了使得在上，的图象都在直线的下方，并且让取得最大，则应取，这时取得最大值46.A；f(x)在上是减少的，在上是减少的，所以有或解得。7.A；因为f(x)关于原点对称，所以有f(-x)=-f(x),于是可变形为，所以有，解得。8．－3；f(x)＝2(x－eq\f(m,4))2＋3－eq\f(m2,8)，由题意eq\f(m,4)＝2，∴m＝8.9.，由题知，解得.10.1；显然函数的最大值只能在或时取到，若在时取到，则，得或，时，；，时，（舍去）；若在时取到，则，得或，时，；，时，（舍去）所以11.；函数的图象开口向上，对称轴为，因，故，从而，又，所以的对应点到对称轴的距离大于的对应点到对称轴的距离，故12.；由题知解得。13.；要在上是减函数，则，要在上为减函数，则需并且，所以14.6，；∵，得： 当当因此，在区间内单调递减，而在内单调递减，且又，15.略（动轴定区间问题）16.（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f2（0）.又f（0）≠0，∴f（0）=1.（2）证明：当x＜0时，－x＞0，∴f（0）=f（x）·f（－x）=1.∴f（－x）=＞0.又x≥0时f（x）≥1＞0，∴x∈R时，恒有f（x）＞0.（3）证明：设x1＜x2，则x2－x1＞0.∴f（x2）=f（x2－x1+x1）=f（x2－x1）·f（x1）.∵x2－x1＞0，∴f（x2－x1）＞1.又f（x1）＞0，∴f（x2－x1）·f（x1）＞f（x1）.∴f（x2）＞f（x1）.∴f（x）是R上的增函数.（4）解：由f（x）·f（2x－x2）＞1，f（0）=1得f（3x－x2）＞f（0）.又f（x）是R上的增函数，∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.17.（1）求导：当时，，，在上递增当，求得两根为即在递增，递减，递增（2），且解得：18.（1）当时，∵，。在区间上为增函数。在区间上的最小值为。（2）∵在区间上恒成立；在区间上恒成立；在区间上恒成立；∵函数在区间上的最小值为3，即19.[解析]（Ⅰ）因为是奇函数，所以，即又由知（Ⅱ）[解法一]由（Ⅰ）知，易知在上为减函数。又因是奇函数，从而不等式：等价于，因为减函数，由上式推得：．即对一切有：，从而判别式[解法二]由（Ⅰ）知．又由题设条件得：，即，整理得上式对一切均成立，从而判别式20.(Ⅰ)由题意得eq\o(→,m)·eq\o(→,n)＝eq\r(3)sinA－cosA＝1，2sin(A－eq\f(,6))＝1，sin(A－eq\f(,6))＝eq\f(1,2)，由A为锐角得A－eq\f(,6)＝eq\f(,6)，A＝eq\f(p,3).(Ⅱ)由（Ⅰ）知cosA＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2(sinx－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,2)，因为x∈R，所以sinx∈[－1,1]，因此，当sinx＝eq\f(1,2)时，f(x)有最大值eq\f(3,2)．当sinx＝－1时，f(x)有最小值－3，所以所求函数f(x)的值域是[－3，eq\f(3,2)]．21．(Ⅰ)由eq\o(→,m)⊥eq\o(→,n)，得eq\o(→,m)·eq\o(→,n)＝0，从而(2b－c)cosA－acosC＝0，由正弦定理得2sinBcosA－sinCcosA－sinAcosC＝0∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，2sinBcosA－sinB＝0，∵A、B∈(0，π)，∴sinB≠0，cosA＝eq\f(1,2)，故A＝eq\f(p,3).(Ⅱ)y＝2sin2B＋2sin(2B＋eq\f(,6))＝(1－cos2B)＋sin2Bcoseq\f(,6)＋cos2Bsineq\f(,6)＝1＋eq\f(eq\r(3),2)sin2B－eq\f(1,2)cos2B＝1＋sin(2B－eq\f(,6)).由(Ⅰ)得，0＜B＜eq\f(2p,3)，－eq\f(,6)＜2B－eq\f(,6)＜eq\f(7,6)，∴当2B－eq\f(,6)＝eq\f(p,2)，即B＝eq\f(p,3)时，y取最大值2.22.（Ⅰ）假设eq\o(→,a)∥eq\o(→,b)，则2cosx(cosx＋sinx)－sinx(cosx－sinx)＝0，∴2cos2x＋sinxcosx＋sin2x＝0，2·eq\f(1＋cos2x,2)＋eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1－cos2x,2)＝0，即sin2x＋cos2x＝－3，∴eq\r(2)(sin2x＋eq\f(,4))＝－3，与|eq\r(2)(sin2x＋eq\f(,4))|≤eq\r(2)矛盾，故向量eq\o(→,a)与向量eq\o(→,b)不可能平行．（Ⅱ）∵f(x)＝eq\o(→,a)·eq\o(→,b)＝(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)＋sinx·2cosx＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x＝eq\r(2)(eq\f(eq\r(2),2)cos2x＋eq\f(eq\r(2),2)sin2x)＝eq