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文档简介

1三重积分的概念三重积分的计算小结9.3三重积分(1)第9章重积分一、三重积分的概念（1）分割（2）近似代替（3）求和（4）取极限1.引例：是空间有界闭区域Ω上的如当各小闭区域直径中的最大值在每个

2.三重积分的定义将闭区域Ω任意分成n个小闭区域其中并作和作乘积①②③④有界函数.也表示它的体积.表示第i个小闭区域,上任取一点记为函数趋于零时这和的极限总存在,则称此极限为在闭区域Ω上的三重积分.

即体积元素4.三重积分的几何意义设被积函数连续函数或分片连续函数一定可积3.三重积分存在性则区域V的体积为在Ω上是可积的.的三重积分存在性时,(existence)5.三重积分的性质与二重积分的性质类似.补充三重积分对称性质则称f关于变量z的奇函数.(1)关于坐标面的上半部区域.(偶)或而得结果为零.例??0则C则()成立.,0,0,0,22222³³³£++zyxRzyx：W,0,22221³£++zRzyx：设空间区域W例二、三重积分的计算1.在直角坐标系下计算三重积分故直角坐标系下的体积元素为在直角坐标系下三重积分可表为在直角坐标系中,如果用平行于坐标面的平面的来划分直角坐标系中将三重积分化为三次积分

投影法思想是(先一后二法)如图,闭区域面上的投影为闭区域D,过点作直线,X－型再计算的函数,得则如何写出当D为Y–型闭域时,?注化为三次积分的公式三重积分相交不多两点情形.ò)()(21dxyxyy所以,三重积分可以化为六种不同次序的三次积分(累次积分).和积分域Ω选取适当的三次积分进行计算.解题时,要依据具体的被积函数同样,也可以把积分域Ω向yOz、zOx面投影.解化三重积分为三次积分,例所围成的闭区域.其中积分区域为由曲面得交线投影区域解如图，解解原式说明:若被积函数为f(z),且Dz为规则区域(其面积有公式计算),则可采用先二(x,y)后一(z)积分顺序来积分.解如图,将W投影到zox平面得:xzD

122£+zx,先对y积分，再求xzD上二重积分,òòò----=112221zxDydydxdzxxz原式三重积分的轮换对称性:1.(两字母轮换)

如果将x,y换为y,x积分域不变,则2.(三字母轮换)

如果将x,y,z换为y,z,x积分域不变,则例其中为球面x2+y2+z2=1所围成的区域.例计算三重积分其中：0x1，0y1，0z1解错解解正确做法分析

积分区域和被积函数都具有轮换对称性?xzyoxyo1....三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素（计

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