23函数的单调性-课件高中数学必修一北师大版

§3

函数的单调性§3问题引航1.函数在某区间上是增加的或减少的定义是什么?单调性与单调函数的定义是什么?2.函数最值的定义是什么?如何求函数的最值?问题1.函数在某区间上是增加的或减少的定义是什么?单调性与单1.函数单调性的相关定义函数是增加的或是减少的条件在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上,如果对于任意两数x1,x2∈A,当x1<x2时都有___________都有___________结论就称函数y=f(x)在区间A上是增加的,有时也称函数y=f(x)在区间A上是递增的就称函数y=f(x)在区间A上是减少的,有时也称函数y=f(x)在区间A上是递减的f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)1.函数单调性的相关定义函数是增加的或是减少的条件在函数y=单调区间______称为y=f(x)的单调区间单调性如果函数y=f(x)在定义域的某个子集上是_______或是_______,那么就称函数y=f(x)在这个子集上具有单调性增(减)函数如果函数y=f(x)在_____________是增加的或是减少的,我们分别称这个函数为增函数或减函数,统称为单调函数区间A增加的减少的整个定义域内单调______称为y=f(x)的单调区间单调如果函数y=f2.函数的最大(小)值f(x)≤Mf(x0)=Mf(x)≥Mf(x0)=M2.函数的最大(小)值f(x)≤Mf(x0)=Mf(x)≥M1.判一判：(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若函数y=f(x)满足f(2)>f(3),则函数f(x)在[2,3]上是减少的.(

)(2)若函数y=f(x),x∈R满足f(x+1)>f(x),则函数在R上是增加的.(

)(3)若函数f(x)在(1,2)和(2,3)两个区间上均是减少的,则函数f(x)在(1,3)上是减少的.(

)(4)任何函数都有最大值或最小值.(

)1.判一判：(正确的打“√”,错误的打“×”)2.做一做：(请把正确的答案写在横线上)(1)函数f(x)=2x+1的单调区间是

.(2)函数f(x)=3x-1在区间[0,7]上是

(填“增加的”或“减少的”).(3)若函数y=f(x)在R上是减函数,则f(3)

f(-1).(4)y=2x2+2,x∈N*的最小值是

.2.做一做：(请把正确的答案写在横线上)【解析】1.(1)错误.由特殊值的大小不能判定函数的单调性.(2)错误.虽然x+1>x,且有f(x+1)>f(x),但不符合定义中的任意x1,x2∈A,当x1<x2

时,有f(x1)<f(x2).(3)错误.函数在定义域内的两个区间A,B上都是增加(或减少)的，一般不能认为函数在A∪B上是增加(或减少)的.例如，函数f(x)=(x≠0)在(－∞,0)和(0,+∞)上分别是递减的,但不能说在(－∞,0)∪(0,+∞)上是递减的,不能写成两个区间的并集.【解析】1.(1)错误.由特殊值的大小不能判定函数的单调性.(4)错误.如函数y=x,x∈R就无最大值和最小值.答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(4)错误.如函数y=x,x∈R就无最大值和最小值.2.(1)函数f(x)=2x+1是一次函数,根据一次函数的性质知它在R上是增函数.答案：R(2)函数f(x)=3x-1是一次函数,根据一次函数的性质知它在R上是增函数,所以当x∈[0,7]时,函数f(x)=3x-1是增加的.答案：增加的2.(1)函数f(x)=2x+1是一次函数,根据一次函数的性(3)因为函数y=f(x)在R上是减函数,又3>-1,所以f(3)<f(-1).答案：<(4)因为x∈N*,所以x2≥1,所以y=2x2+2≥4,即y=2x2+2在x∈N*上的最小值为4,此时x=1.答案：4(3)因为函数y=f(x)在R上是减函数,又3>-1,【要点探究】知识点1函数的单调性1.对函数单调性定义中关键字词的说明(1)“定义域内”：函数定义域是构成函数的一个关键要素,是需要优先考虑的.(2)“区间”：函数的单调性是相对于定义域内的某个区间而言的,离开相应的区间就谈不上函数的单调性.【要点探究】(3)“任意”和“都有”：“任意”两个字很重要,它是指不能取特定的值来判断函数的单调性.而“都有”的意思是只要x1,x2有大小,则f(x1),f(x2)必分出大小.(3)“任意”和“都有”：“任意”两个字很重要,它是指不能取2.从三方面正确理解单调函数(1)单调区间一定是定义域的子集.(2)单调区间不能用“∪”，只能用“和”或“，”隔开，如在(-∞，0)和(0，+∞)上是增加的，但不能说在(-∞，0)∪(0，+∞)上是增加的.(3)函数的单调性是一个整体的性质，说函数的单调性离不开单调区间.2.从三方面正确理解单调函数3.图像法判断函数单调性的适用范围、优缺点及一般步骤(1)适用范围：基本初等函数或基本初等函数的变形.(2)优点：可以直观明了地判断单调区间.(3)缺点：并不是每个函数都能画出图形,有的函数画图比较烦琐.(4)步骤：3.图像法判断函数单调性的适用范围、优缺点及一般步骤【知识拓展】与函数y=f(x)单调性有关的结论(1)函数y=f(x)与y=-f(x)的单调性相反.(2)当c＞0时,函数y=f(x)与y=cf(x)的单调性相同;当c＜0时，函数y=f(x)与y=cf(x)的单调性相反.(3)当函数y=f(x)恒为正或恒为负时，y=f(x)与的单调性相反.(4)函数y=f(x)与函数y=f(x)+c的单调性相同.(5)函数y=f(x)和y=g(x)在定义域A上都为增加的(或减少的),则函数y=f(x)+g(x)亦为增加的(或减少的).【知识拓展】与函数y=f(x)单调性有关的结论【微思考】(1)函数图像与单调区间的关系是什么?提示：函数图像在某区间上升⇔函数在某区间上是增加的,函数图像在某区间下降⇔函数在某区间上是减少的.(2)函数y=x2在区间(-∞,0)上是减少的,能否也说在(-∞,0]上是减少的?提示：可以,一般来说只要在区间端点有定义,含不含端点值不影响单调性.【微思考】(3)在函数是增加的或减少的定义中,x1-x2的符号与f(x1)-f(x2)的符号之间有什么关系?提示：当函数是增加的时,x1-x2与f(x1)-f(x2)是同号的;当函数是减少的时,x1-x2与f(x1)-f(x2)是异号的.(3)在函数是增加的或减少的定义中,x1-x2的符号与f(x【即时练】1.(2014·西安高一检测)下列四个函数中，在(0,+∞)上是增加的是()2.函数在区间________上是减少的.【即时练】3.观察如图气温θ关于时间t的函数θ=f(t)的图像，指出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性.3.观察如图气温θ关于时间t的函数θ=f(t)的图像，指出函【解析】1.选A.结合函数的性质可知B，C错误，而D在(0,+∞)上是减少的.2.因为函数f(x)=在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是减少的，所以f(x)=在区间(-∞，0)和(0，+∞)上是减少的.答案：(-∞,0)和(0,+∞)3.由图像知,此函数的单调区间是：［0，4)，［4,14］,(14，24］.此函数在［4，14］上是增加的，在［0，4)，(14，24］上是减少的.【解析】1.选A.结合函数的性质可知B，C错误，而D在(0,知识点2

函数的最值1.对函数最值概念的两点说明(1)存在性：定义中M首先是一个函数值,它是值域中的一个元素.(2)可比性：对于定义域内任意元素,都有f(x)≥M或f(x)≤M成立,“任意”是说对每一个值都必须满足不等式.知识点2函数的最值2.函数的最值与单调性的关系已知函数y=f(x)的定义域是[a,b],则有以下两种情况：(1)若函数在[a,b]上单调,函数的最值在端点处取得,如图①,函数是增加的,则f(x)min=f(a),f(x)max=f(b);如图②,函数是减少的,则f(x)min=f(b),f(x)max=f(a).2.函数的最值与单调性的关系(2)若函数在闭区间[a,b]上先增加后减少,则最大值在区间内部取得,若先减少后增加,则最小值在区间内部取得,另一个最值可比较两个区间端点函数值f(a)与f(b)的大小确定.(2)若函数在闭区间[a,b]上先增加后减少,则最大值在区间【微思考】(1)函数f(x)对于定义域内任意元素,都有f(x)≥M,则M是否就是函数的最小值?提示：不一定,必须满足定义域内存在元素x0,使得f(x0)=M.(2)求函数的最值时一般需要确定函数的什么性质?提示：求函数的最值时一般需借助函数的单调性,故需要确定函数的单调性.【微思考】【即时练】1.函数f(x)=|x|的最小值是_________.2.函数x∈［1,8］的最小值是_________.【即时练】【解析】1.函数f(x)=|x|的图像是一、二象限的角平分线,可知函数f(x)=|x|的最小值是0.答案：02.函数f(x)=在x∈［1,8］上是减少的,则函数f(x)=，x∈［1,8］的最小值是答案：【解析】1.函数f(x)=|x|的图像是一、二象限的角平分线【题型示范】类型一用定义法证明(或判断)函数的单调性【典例1】(1)函数f(x)=-2x+1在(-∞，+∞)上是_______(填“增加的”或“减少的”).(2)证明函数在上是增加的.【题型示范】【解题探究】1.题(1)中的函数是几次函数，一次项系数是多少？2.题(2)中若设x1,x2∈则x1x2与2的关系如何？【探究提示】1.因为f(x)=-2x+1,故此函数是一次函数，且一次项系数为-2.2.因为x1,x2∈所以x1x2＞2.【解题探究】1.题(1)中的函数是几次函数，一次项系数是多【自主解答】(1)方法一：设x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-2x1+1-(-2x2+1)=-2(x1-x2).因为x1<x2,所以x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)>0,所以函数f(x)=-2x+1在(-∞,+∞)上是减少的.【自主解答】(1)方法一：设x1,x2∈(-∞,+∞),且x方法二：函数f(x)=-2x+1的图像如图所示.由图像知，此函数在(-∞，+∞)上是减少的.答案：减少的方法二：函数f(x)=-2x+1的图像如图所示.(2)任取x1,x2∈且x1<x2,f(x1)-f(x2)==(x1-x2)+=(x1-x2)+=因为<x1<x2,所以x1-x2<0,x1x2>2,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函数在上是增加的.(2)任取x1,x2∈且x1<x2,【方法技巧】1.定义法判断函数单调性的一般步骤【方法技巧】2.定义法证明函数单调性时的关注点(1)变形手段：因式分解、配方、有理化或利用函数的性质.(2)证明关键：作差变形和定号是关键,如果作差不易判断时,对于同正或同负的两个式子,也可以通过作商,比较它与1的大小来证明.2.定义法证明函数单调性时的关注点【变式训练】证明函数在(2，+∞)上是减少的.【证明】任取x1,x2∈(2,+∞)且x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=因为x1,x2∈(2,+∞)且x1＜x2,所以x2＞x1＞2,x1-2＞0,x2-2＞0,所以f(x1)-f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2)，所以在(2，+∞)上是减少的.【变式训练】证明函数在(2，+∞)上是【补偿训练】判断函数在(-1，1)上的单调性.【解析】设-1<x1<x2<1,则f(x1)-f(x2)===因为x1<x2,所以x2-x1>0.又所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数在(-1，1)上是减少的.【补偿训练】判断函数在(-1，1)上类型二求函数的最值(值域)【典例2】(1)(2014·赤峰高一检测)函数f(x)=x2-2x+3(0≤x<3)的值域为___________.(2)已知函数x∈［3，5］.①判断函数f(x)的单调性；②求函数f(x)的最大值与最小值.类型二求函数的最值(值域)【解题探究】1.题(1)中二次函数的对称轴是什么?2.题(2)中函数的定义域是什么？求函数f(x)的最大值与最小值时可借助函数的什么性质？【探究提示】1.二次函数的对称轴为x=1.2.由已知此函数的定义域是［3，5］，求函数的最值时可借助函数的单调性.【解题探究】1.题(1)中二次函数的对称轴是什么?【自主解答】(1)函数f(x)=x2-2x+3(0≤x<3)的对称轴为x=1,所以函数f(x)=x2-2x+3(0≤x<3)在[0,1]上是减少的,在[1,3)上是增加的.所以值域为[2,6).答案：[2,6)【自主解答】(1)函数f(x)=x2-2x+3(0≤x<3)(2)①任取x1,x2∈［3，5］且x1＜x2,则f(x1)-f(x2)====(2)①任取x1,x2∈［3，5］且x1＜x2,则因为x1,x2∈［3，5］且x1＜x2,所以x1-x2＜0,x1+2＞0,x2+2＞0,所以f(x1)-f(x2)＜0,所以f(x1)＜f(x2),所以函数f(x)=在［3，5］上是增加的.因为x1,x2∈［3，5］且x1＜x2,②由①知当x∈［3，5］时，f(x)=是增加的，所以当x=3时取最小值为当x=5时取最大值为②由①知当x∈［3，5］时，f(x)=是增加的，【方法技巧】求函数最值的方法(1)函数图像法求最值：①利用函数图像求最值是求函数最值的常用方法；②对较为简单的且图像易作出的函数求最值较常用.(2)单调性法求最值：①判断函数的单调性；②利用单调性写出最值.【方法技巧】求函数最值的方法【变式训练】1.函数的最小值为_______.2.求函数(x∈［2,+∞))的最小值.【变式训练】1.函数的最小值为_【解题指南】1.解答本题可利用图像解决.2.先化简原函数,再利用定义证明函数在给定区间上的单调性,然后再求最值.【解题指南】1.解答本题可利用图像解决.【解析】1.由于其图像如图所示,所以函数的最小值为6.答案：6【解析】1.由于2.f(x)=任取x1,x2∈［2,+∞),且x1<x2,则f(x1)－f(x2)=(x1－x2)因为x1<x2,所以x1－x2<0.又因为x1≥2,x2>2,所以x1x2>4,即所以f(x1)－f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)，故f(x)在［2,+∞)上是增加的，所以当x=2时,f(x)有最小值,即2.f(x)=任取x1【补偿训练】函数的值域为()A.［3，+∞)B.(-∞,3］C.［0，+∞)

D.R【解析】选A.根据题意，由于函数的定义域为{x|x≥0}，那么可知函数在定义域内是增加的，故可知函数的最小值为x=0时为3，没有最大值，故值域为［3，+∞).【补偿训练】函数的值域为()类型三函数单调性的应用【典例3】(1)(2014·重庆高一检测)函数y=(2a-1)x-6是减函数，那么实数a的取值范围是_________.(2)若函数在区间(－2,+∞)上是减少的，求a的取值范围.类型三函数单调性的应用【解题探究】1.题(1)中函数的增减性由哪个参数决定?2.题(2)中已知函数是减少的能得到什么?【探究提示】1.此函数的增减性由2a-1的正负决定.2.由此函数是减少的能得到对任意x1,x2∈(-2,+∞),当x2>x1时,有f(x2)<f(x1).【解题探究】1.题(1)中函数的增减性由哪个参数决定?【自主解答】(1)函数y=(2a-1)x-6是减函数,所以2a-1<0,即答案：(2)设任取x1,x2且-2＜x1＜x2,f(x1)-f(x2)====【自主解答】(1)函数y=(2a-1)x-6是减函数,所以2因为-2＜x1＜x2,所以x1+2＞0,x2+2＞0,x1-x2＜0,由在区间(-2，+∞)上是减少的，得f(x1)-f(x2)＞0,所以2a-1＜0.所以故a的取值范围是因为-2＜x1＜x2,【延伸探究】若题(1)中的函数y=(2a-1)x-6是增函数，则结果又如何?【解析】函数y=(2a-1)x-6是增函数,所以2a-1>0,【误区警示】此题易出现这种结果,当时,函数是常数函数,不具有单调性.【延伸探究】若题(1)中的函数y=(2a-1)x-6是增函数【方法技巧】函数单调性的常见应用(1)比较大小：利用函数的单调性可以把函数值的大小比较问题转化为自变量的大小比较问题.(2)求函数的值域：根据单调性可求出函数在定义域上的最值,进而求出值域.(3)求解析式中的参数(或其范围)：根据单调性的定义可列出参数满足的等式(或不等式),进而可求出参数(或其范围).【方法技巧】函数单调性的常见应用【变式训练】(2014·驻马店高一检测)函数y=f(x)在R上是增加的，且f(2m-1)>f(-m)，则实数m的取值范围是()A.(-∞,-1)B.C.(-1,0)D.(-∞,-1)∪(0,+∞)【解析】选B.由于函数y=f(x)在R上是增加的，且f(2m-1)>f(-m),则2m-1>-m，所以【变式训练】(2014·驻马店高一检测)函数y=f(x)在R【补偿训练】(2013·大同高一检测)定义在[0,+∞)上的函数f(x)，对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有则()A.f(3)<f(2)<f(1)B.f(1)<f(2)<f(3)C.f(2)<f(1)<f(3)D.f(3)<f(1)<f(2)【解析】选A.当x2>x1时，可知f(x2)<f(x1)；同理当x2<x1时，可知f(x2)>f(x1)，则函数f(x)在[0,+∞)上是减少的，可知答案.【补偿训练】(2013·大同高一检测)定义在[0,+∞)上的【易错误区】已知函数的单调性求参数时忽视特殊值致误

【典例】已知函数是R上的减函数,则a的取值范围是()A.(0,3)B.(0,3］C.(0,2)

D.(0,2］【易错误区】已知函数的单调性求参数时忽视特殊值致误【解析】选D.因为当x≤1时，f(x)是减少的,所以a-3<0,所以a<3.当x>1时，f(x)是减少的,故2a>0,所以a>0.分段点1处的值应满足(a-3)+5≥2a，所以a≤2.故0<a≤2.【解析】选D.因为当x≤1时，f(x)是减少的,【常见误区】错解错因剖析选A忽略阴影处函数值的大小比较,造成解答错误【常见误区】错解错因剖析选A忽略阴影处函数值的大小比较,造成【防范措施】注意特殊情况的处理在应用分段函数整体的单调性求解参数的取值范围时,不仅要保证分段函数的每一段的函数是单调的,而且还要求函数的特殊点——分段点处的值,也要结合函数的单调性比较大小,如本例中分段点1处的值应满足(a-3)+5≥2a.【防范措施】【类题试解】已知函数是(－∞，+∞)上的减函数，则实数a的取值范围是()【解析】选A.当x<0时，函数f(x)=x2－ax+1是减函数，解得a≥0，当x≥0时，函数f(x)=－x+3a是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a，解得a≤，所以0≤a≤.【类题试解】已知函数是§3

函数的单调性§3问题引航1.函数在某区间上是增加的或减少的定义是什么?单调性与单调函数的定义是什么?2.函数最值的定义是什么?如何求函数的最值?问题1.函数在某区间上是增加的或减少的定义是什么?单调性与单1.函数单调性的相关定义函数是增加的或是减少的条件在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上,如果对于任意两数x1,x2∈A,当x1<x2时都有___________都有___________结论就称函数y=f(x)在区间A上是增加的,有时也称函数y=f(x)在区间A上是递增的就称函数y=f(x)在区间A上是减少的,有时也称函数y=f(x)在区间A上是递减的f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)1.函数单调性的相关定义函数是增加的或是减少的条件在函数y=单调区间______称为y=f(x)的单调区间单调性如果函数y=f(x)在定义域的某个子集上是_______或是_______,那么就称函数y=f(x)在这个子集上具有单调性增(减)函数如果函数y=f(x)在_____________是增加的或是减少的,我们分别称这个函数为增函数或减函数,统称为单调函数区间A增加的减少的整个定义域内单调______称为y=f(x)的单调区间单调如果函数y=f2.函数的最大(小)值f(x)≤Mf(x0)=Mf(x)≥Mf(x0)=M2.函数的最大(小)值f(x)≤Mf(x0)=Mf(x)≥M1.判一判：(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若函数y=f(x)满足f(2)>f(3),则函数f(x)在[2,3]上是减少的.(

)(2)若函数y=f(x),x∈R满足f(x+1)>f(x),则函数在R上是增加的.(

)(3)若函数f(x)在(1,2)和(2,3)两个区间上均是减少的,则函数f(x)在(1,3)上是减少的.(

)(4)任何函数都有最大值或最小值.(

)1.判一判：(正确的打“√”,错误的打“×”)2.做一做：(请把正确的答案写在横线上)(1)函数f(x)=2x+1的单调区间是

.(2)函数f(x)=3x-1在区间[0,7]上是

(填“增加的”或“减少的”).(3)若函数y=f(x)在R上是减函数,则f(3)

f(-1).(4)y=2x2+2,x∈N*的最小值是

.2.做一做：(请把正确的答案写在横线上)【解析】1.(1)错误.由特殊值的大小不能判定函数的单调性.(2)错误.虽然x+1>x,且有f(x+1)>f(x),但不符合定义中的任意x1,x2∈A,当x1<x2

时,有f(x1)<f(x2).(3)错误.函数在定义域内的两个区间A,B上都是增加(或减少)的，一般不能认为函数在A∪B上是增加(或减少)的.例如，函数f(x)=(x≠0)在(－∞,0)和(0,+∞)上分别是递减的,但不能说在(－∞,0)∪(0,+∞)上是递减的,不能写成两个区间的并集.【解析】1.(1)错误.由特殊值的大小不能判定函数的单调性.(4)错误.如函数y=x,x∈R就无最大值和最小值.答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(4)错误.如函数y=x,x∈R就无最大值和最小值.2.(1)函数f(x)=2x+1是一次函数,根据一次函数的性质知它在R上是增函数.答案：R(2)函数f(x)=3x-1是一次函数,根据一次函数的性质知它在R上是增函数,所以当x∈[0,7]时,函数f(x)=3x-1是增加的.答案：增加的2.(1)函数f(x)=2x+1是一次函数,根据一次函数的性(3)因为函数y=f(x)在R上是减函数,又3>-1,所以f(3)<f(-1).答案：<(4)因为x∈N*,所以x2≥1,所以y=2x2+2≥4,即y=2x2+2在x∈N*上的最小值为4,此时x=1.答案：4(3)因为函数y=f(x)在R上是减函数,又3>-1,【要点探究】知识点1函数的单调性1.对函数单调性定义中关键字词的说明(1)“定义域内”：函数定义域是构成函数的一个关键要素,是需要优先考虑的.(2)“区间”：函数的单调性是相对于定义域内的某个区间而言的,离开相应的区间就谈不上函数的单调性.【要点探究】(3)“任意”和“都有”：“任意”两个字很重要,它是指不能取特定的值来判断函数的单调性.而“都有”的意思是只要x1,x2有大小,则f(x1),f(x2)必分出大小.(3)“任意”和“都有”：“任意”两个字很重要,它是指不能取2.从三方面正确理解单调函数(1)单调区间一定是定义域的子集.(2)单调区间不能用“∪”，只能用“和”或“，”隔开，如在(-∞，0)和(0，+∞)上是增加的，但不能说在(-∞，0)∪(0，+∞)上是增加的.(3)函数的单调性是一个整体的性质，说函数的单调性离不开单调区间.2.从三方面正确理解单调函数3.图像法判断函数单调性的适用范围、优缺点及一般步骤(1)适用范围：基本初等函数或基本初等函数的变形.(2)优点：可以直观明了地判断单调区间.(3)缺点：并不是每个函数都能画出图形,有的函数画图比较烦琐.(4)步骤：3.图像法判断函数单调性的适用范围、优缺点及一般步骤【知识拓展】与函数y=f(x)单调性有关的结论(1)函数y=f(x)与y=-f(x)的单调性相反.(2)当c＞0时,函数y=f(x)与y=cf(x)的单调性相同;当c＜0时，函数y=f(x)与y=cf(x)的单调性相反.(3)当函数y=f(x)恒为正或恒为负时，y=f(x)与的单调性相反.(4)函数y=f(x)与函数y=f(x)+c的单调性相同.(5)函数y=f(x)和y=g(x)在定义域A上都为增加的(或减少的),则函数y=f(x)+g(x)亦为增加的(或减少的).【知识拓展】与函数y=f(x)单调性有关的结论【微思考】(1)函数图像与单调区间的关系是什么?提示：函数图像在某区间上升⇔函数在某区间上是增加的,函数图像在某区间下降⇔函数在某区间上是减少的.(2)函数y=x2在区间(-∞,0)上是减少的,能否也说在(-∞,0]上是减少的?提示：可以,一般来说只要在区间端点有定义,含不含端点值不影响单调性.【微思考】(3)在函数是增加的或减少的定义中,x1-x2的符号与f(x1)-f(x2)的符号之间有什么关系?提示：当函数是增加的时,x1-x2与f(x1)-f(x2)是同号的;当函数是减少的时,x1-x2与f(x1)-f(x2)是异号的.(3)在函数是增加的或减少的定义中,x1-x2的符号与f(x【即时练】1.(2014·西安高一检测)下列四个函数中，在(0,+∞)上是增加的是()2.函数在区间________上是减少的.【即时练】3.观察如图气温θ关于时间t的函数θ=f(t)的图像，指出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性.3.观察如图气温θ关于时间t的函数θ=f(t)的图像，指出函【解析】1.选A.结合函数的性质可知B，C错误，而D在(0,+∞)上是减少的.2.因为函数f(x)=在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是减少的，所以f(x)=在区间(-∞，0)和(0，+∞)上是减少的.答案：(-∞,0)和(0,+∞)3.由图像知,此函数的单调区间是：［0，4)，［4,14］,(14，24］.此函数在［4，14］上是增加的，在［0，4)，(14，24］上是减少的.【解析】1.选A.结合函数的性质可知B，C错误，而D在(0,知识点2

函数的最值1.对函数最值概念的两点说明(1)存在性：定义中M首先是一个函数值,它是值域中的一个元素.(2)可比性：对于定义域内任意元素,都有f(x)≥M或f(x)≤M成立,“任意”是说对每一个值都必须满足不等式.知识点2函数的最值2.函数的最值与单调性的关系已知函数y=f(x)的定义域是[a,b],则有以下两种情况：(1)若函数在[a,b]上单调,函数的最值在端点处取得,如图①,函数是增加的,则f(x)min=f(a),f(x)max=f(b);如图②,函数是减少的,则f(x)min=f(b),f(x)max=f(a).2.函数的最值与单调性的关系(2)若函数在闭区间[a,b]上先增加后减少,则最大值在区间内部取得,若先减少后增加,则最小值在区间内部取得,另一个最值可比较两个区间端点函数值f(a)与f(b)的大小确定.(2)若函数在闭区间[a,b]上先增加后减少,则最大值在区间【微思考】(1)函数f(x)对于定义域内任意元素,都有f(x)≥M,则M是否就是函数的最小值?提示：不一定,必须满足定义域内存在元素x0,使得f(x0)=M.(2)求函数的最值时一般需要确定函数的什么性质?提示：求函数的最值时一般需借助函数的单调性,故需要确定函数的单调性.【微思考】【即时练】1.函数f(x)=|x|的最小值是_________.2.函数x∈［1,8］的最小值是_________.【即时练】【解析】1.函数f(x)=|x|的图像是一、二象限的角平分线,可知函数f(x)=|x|的最小值是0.答案：02.函数f(x)=在x∈［1,8］上是减少的,则函数f(x)=，x∈［1,8］的最小值是答案：【解析】1.函数f(x)=|x|的图像是一、二象限的角平分线【题型示范】类型一用定义法证明(或判断)函数的单调性【典例1】(1)函数f(x)=-2x+1在(-∞，+∞)上是_______(填“增加的”或“减少的”).(2)证明函数在上是增加的.【题型示范】【解题探究】1.题(1)中的函数是几次函数，一次项系数是多少？2.题(2)中若设x1,x2∈则x1x2与2的关系如何？【探究提示】1.因为f(x)=-2x+1,故此函数是一次函数，且一次项系数为-2.2.因为x1,x2∈所以x1x2＞2.【解题探究】1.题(1)中的函数是几次函数，一次项系数是多【自主解答】(1)方法一：设x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-2x1+1-(-2x2+1)=-2(x1-x2).因为x1<x2,所以x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)>0,所以函数f(x)=-2x+1在(-∞,+∞)上是减少的.【自主解答】(1)方法一：设x1,x2∈(-∞,+∞),且x方法二：函数f(x)=-2x+1的图像如图所示.由图像知，此函数在(-∞，+∞)上是减少的.答案：减少的方法二：函数f(x)=-2x+1的图像如图所示.(2)任取x1,x2∈且x1<x2,f(x1)-f(x2)==(x1-x2)+=(x1-x2)+=因为<x1<x2,所以x1-x2<0,x1x2>2,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函数在上是增加的.(2)任取x1,x2∈且x1<x2,【方法技巧】1.定义法判断函数单调性的一般步骤【方法技巧】2.定义法证明函数单调性时的关注点(1)变形手段：因式分解、配方、有理化或利用函数的性质.(2)证明关键：作差变形和定号是关键,如果作差不易判断时,对于同正或同负的两个式子,也可以通过作商,比较它与1的大小来证明.2.定义法证明函数单调性时的关注点【变式训练】证明函数在(2，+∞)上是减少的.【证明】任取x1,x2∈(2,+∞)且x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=因为x1,x2∈(2,+∞)且x1＜x2,所以x2＞x1＞2,x1-2＞0,x2-2＞0,所以f(x1)-f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2)，所以在(2，+∞)上是减少的.【变式训练】证明函数在(2，+∞)上是【补偿训练】判断函数在(-1，1)上的单调性.【解析】设-1<x1<x2<1,则f(x1)-f(x2)===因为x1<x2,所以x2-x1>0.又所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数在(-1，1)上是减少的.【补偿训练】判断函数在(-1，1)上类型二求函数的最值(值域)【典例2】(1)(2014·赤峰高一检测)函数f(x)=x2-2x+3(0≤x<3)的值域为___________.(2)已知函数x∈［3，5］.①判断函数f(x)的单调性；②求函数f(x)的最大值与最小值.类型二求函数的最值(值域)【解题探究】1.题(1)中二次函数的对称轴是什么?2.题(2)中函数的定义域是什么？求函数f(x)的最大值与最小值时可借助函数的什么性质？【探究提示】1.二次函数的对称轴为x=1.2.由已知此函数的定义域是［3，5］，求函数的最值时可借助函数的单调性.【解题探究】1.题(1)中二次函数的对称轴是什么?【自主解答】(1)函数f(x)=x2-2x+3(0≤x<3)的对称轴为x=1,所以函数f(x)=x2-2x+3(0≤x<3)在[0,1]上是减少的,在[1,3)上是增加的.所以值域为[2,6).答案：[2,6)【自主解答】(1)函数f(x)=x2-2x+3(0≤x<3)(2)①任取x1,x2∈［3，5］且x1＜x2,则f(x1)-f(x2)====(2)①任取x1,x2∈［3，5］且x1＜x2,则因为x1,x2∈［3，5］且x1＜x2,所以x1-x2＜0,x1+2＞0,x2+2＞0,所以f(x1)-f(x2)＜0,所以f(x1)＜f(x2),所以函数f(x)=在［3，5］上是增加的.因为x1,x2∈［3，5］且x1＜x2,②由①知当x∈［3，5］时，f(x)=是增加的，所以当x=3时取最小值为当x=5时取最大值为②由①知当x∈［3，5］时，f(x)=是增加的，【方法技巧】求函数最值的方法(1)函数图像法求最值：①利用函数图像求最值是求函数最值的常用方法；②对较为简单的且图像易作出的函数求最值较常用.(2)单调性法求最值：①判断函数的单调性；②利用单调性写出最值.【方法技巧】求函数最值的方法【变式训练】1.函数的最小值为_______.2.求函数(x∈［2,+∞))的最小值.【变式训练】1.函数的最小值为_【解题指南】1.解答本题可利用图像解决.2.先化简原函数,再利用定义证明函数在给定区间上的单调性,然后再求最值.【解题指南】1.解答本题可利用图像解决.【解析】1.由于其图像如图所示,所以函数的最小值为6.答案：6【解析】1.由于2.f(x)=任取x1,x2∈［2,+∞),且x1<x2,则f(x1)－f(x2)=(x1－x2)因为x1<x2,所以x1－x2<0.又因为x1≥2,x2>2,所以x1x2>4,即所以f(x1)－f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)，故f(x)在［2,+∞)上是增加的，所以当x=2时,f(x)有最小值,即2.f(x)=任取x1【补偿训练】函数的值域为()A.［3，+∞)B.(-∞,3］C.［0，+∞)

D.R【解析】选A.根据题意，由于函数的定义域为{x|x≥0}，那么可知函数在定义域内是增加的，故可知函数的最小值为x=0时为3，没有最大值，故值域为［3，+∞).【补偿训练】函数的值域为()类型三函数单调性的应用【典例3】(1)(2014·重庆高一检测)函数y=(2a-1)x-6是减函数，那么实数a的取值范围是_________.(2)若函数在区间(－2,+∞)上是减少的，求a的取值范围.类型三函数单调性的应用【解题探究】1.题(1)中函数的增减性由哪个参数决定?2.题(2)中已知函数是减少的能得到什么?【探究提示】1.此函数的增减性由2a-1的正负决定.